北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第5讲 三角形的证明全章复习与巩固(基础)

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.
2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.
3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、等腰三角形
1.三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等.
判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
2.等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）
3.等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.
判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.含30°的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释：
等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.
要点二、直角三角形
1.勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
2.命题与逆命题
命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；
3.直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.
要点诠释：
①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.
②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.
要点三、线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.
要点诠释：
①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.
要点四、角平分线
1.角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
2.三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
3.如何用尺规作图法作出角平分线
要点诠释：
①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.
【典型例题】
类型一、 三角形的证明
1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．
求证：△ABC是等腰三角形．
【思路点拨】欲证△ABC是等腰三角形，又已知DE⊥AC，DF⊥AB，BF=CE，可利用三角形中两内角相等来证明．
【答案与解析】
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△BDF与△CDE为直角三角形，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】（2019秋 江阴市校级期中）已知：如图，△AMN的周长为18，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O点的直线MN∥BC交AB、AC于点M、N．求AB+AC的值．
【答案】解：∵MN∥BC，
∴∠BOM=∠OBC，∠CON=∠OCB，
∵∠B，∠C的平分线相交于点O，
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，
∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，
∴BM=OM，CN=ON，
∵△AMN的周长为18，
∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．
【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴ BD=CE．
类型二、直角三角形
2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．
（1）当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；
（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．
【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；
（2）在Rt△ADE中，根据∠A及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠A的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC进行求解即可．
【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．
证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，
∵C点折叠后与AB边上的一点D重合，
∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，
∴∠EBD=30°，
∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；
∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，
∴D为AB中点．
（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD=，
∴AB=2，∵∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=AB=．
在Rt△ABC中，AC==3，
∴S△ABC=×AC×BC=．
【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．
①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？
②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．
【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△OCP与Rt△ODP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），所以∠COP=∠DOP，即OP平分∠AOB．
②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．
【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，
∴△OCM≌△ODN（AAS），
∴OC=OD，
在△OCP与△ODP中，
∵
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴∠COP=∠DOP，
即OP平分∠AOB；
②解：①利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OC=OD；
②过C，D分别作OA，OB的垂线，两垂线交于点E；
③作射线OE，OE就是所求的角平分线．
∵CE⊥OA，ED⊥OB，
∴∠OCE=∠ODE=90°，
在Rt△OCE与Rt△ODE中，
∵，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴∠EOC=∠EOD，
∴OE为∠AOB的角平分线．
【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．
类型三、线段垂直平分线
4.（2019秋 麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．
（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．
【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；
（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．
【答案与解析】
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=65°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；
（2）∵AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；
∵△ABC的周长为41cm，
∴AB+AC+BC=41cm，
若AB=AC=15cm，
则BC=11cm，
则△BCE的周长为：15+11=26cm；
若BC=15cm，则AC=AB=13cm，
∵AB＞BC，
∴不符合题意，舍去．
∴△BCE的周长为26cm．
【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
举一反三：
【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．
【答案】解：∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA．
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，
∴∠BAF=∠ACF．
类型四、角平分线
5.（2019秋 兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．
【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
【答案与解析】
证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，
∵BE平分∠ABC，点P在BE上，
∴PD=PM，
同理，PM=PN，
∴PD=PN，
∴点P在∠A的平分线上．
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　）
　
1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D．
解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）
【巩固练习】
选择题
1.△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（　　）
　 A． 35° B． 40° C． 70° D． 110°
2．三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（　　）
　 A． 1 个 B． 2 个 C． 3个 D． 不确定
3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（　　）
　 A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④
4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）
　 A． AD=AE B． ∠AEB=∠ADC C． BE=CD D． AB=AC
5．（2019 青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（　　）
A． B．2 C．3 D．+2
6．（2019 湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（　　）
A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对
7．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（　　）
　 A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不对
8．面积相等的两个三角形（　　）
　 A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不对
填空题
9.如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是　_________　度．
10.△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大12°，那么∠B=　_________　度．
11．（2019秋 洛阳校级月考）如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，则这个三角形是　 　．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　_________　，使△AEH≌△CEB．
　
13．等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是　_________　．
14．在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：　_________　．
15．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是　_________　．
16．已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC=　_________　．
解答题
17.（2019秋 定州市期中）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
18.（2019秋 太和县期中）如图：△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：
（1）BD=DF．
（2）△ADE的周长等于AB+AC．
19. 如图，D，E是△ABC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数．
20.（2019春 建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．
（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为　 　；
（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为　 　；
（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】B；
【解析】解：设∠A的度数是x，则∠C=∠B=，
∵BD平分∠ABC交AC边于点D
∴∠DBC=，
∴++75=180°，
∴x=40°.
∴∠A的度数是40°.
故选B．
2．【答案】B；
【解析】解：由三角形内角和为180度可知：三角形的三个内角中，锐角的个数不少于2个．故选B．
3.【答案】D；
【解析】解：两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）；
若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成．
4.【答案】B；
【解析】解：A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD
正确，故本选项错误；
B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；
C、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
5.【答案】C；
【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3．
故选C．
6.【答案】C；
【解析】解：当4cm为等腰三角形的腰时，
三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，
∴周长为13cm；
当5cm为等腰三角形的腰时，
三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，
∴周长为14cm，
故选C.
7.【答案】A；
【解析】解：有两个角和其中一个角的对边对应相等，
符合“角角边”判定方法，
所以，两个三角形必定全等．
8.【答案】C；
【解析】解：因为两个面积相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等．
二、填空题
9．【答案】 20；
【解析】解：∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角相等，
∵等腰三角形的一个底角是80°，
∴另一个底角也是80°，
∴顶角的度数为180°﹣80°﹣80°=20°．
10．【答案】28；
【解析】解：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x+12°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x+12°=180°，解得x=28°．
故答案为：28．
11.【答案】等边三角形；
【解析】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，
∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0，
∴a=b，a=c，b=c，
∴a=b=c，
∴这个三角形是等边三角形；
故答案为：等边三角形．
12.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE；
【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEC=∠AEC=90°，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，
又∵∠EAH=∠BAD，
∴∠BAD=90°﹣∠AHE，
在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，
∴∠EAH=∠DCH，
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，
所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；
根据ASA添加AE=CE．
可证△AEH≌△CEB．
13.【答案】cm或cm；
【解析】解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；
（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是cm，再根据其高是斜边的一半得高是cm；所以它斜边上的高是cm或cm．
14.【答案】在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．
【解析】解：把①②作为条件③作为结论，
∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴BC=BD．
故答案为：在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．
15.【答案】PA=PB=PC;
【解析】∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC．
16.【答案】135°;
【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵角平分线BE、CF交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=45°，
∴∠BOC=180°﹣45°=135°．
故答案为135°．
三、解答题
17.【解析】
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即M为BC的中点．
18.【解析】
证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．
∵DE∥BC，
∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF；
（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．
∵DE=DF+EF，
∴DE=BD+CE，
∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．
19.【解析】
解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，
所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．
因为BD=AD，AE=EC，
所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，
∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．
所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．
20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴DC==6（m），
则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为：32m；
（2）如图2，当BA=BD=10m时，
则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），
故AD==4（m），
则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；
故答案为：（20+4）m；
（3）如图3，∵DA=DB，
∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，
∴DC2+AC2=AD2，
即x2+82=（6+x）2，
解得；x=，
∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．