北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第6讲 不等式及其性质(基础)

不等式及其性质（基础）知识讲解

【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.
2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点诠释：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．用不等式表示：
(1)x与-3的和是负数；
(2)x与5的和的28％不大于-6;
(3)m除以4的商加上3至多为5．
【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．
【答案与解析】
解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)≤5．
【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x是非负数，则x≥0；若x是非正数，则x≤0；若x大于y，则有x-y＞0；若x小于y，则有x-y＜0等．
举一反三：
【变式】的值一定是（ ）．
A.大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零
【答案】D.
2.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10＜2；?③“x的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（　　）.
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
【答案与解析】
①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10≤2；故②错误；③“x的倒数超过10”就是“③“x的倒数大于10”，可表示为＞10．故③正确；④“a，b两数的平方和为正数”，即“；④“a，b两数的平方和大于零”，可表示为a2+b2＞0．故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C．
【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
类型二、不等式的基本性质
3.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；　 　
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；　
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；　 　
（4）若ac2＞bc2，则a＞b；　 　
（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．　 　
（6）若a＞b＞0，则＜．　 　．
【答案与解析】
解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；
（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；
（3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误；
（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；
（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．
（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．
4.（2019?青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（　　）
A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b
【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．
【答案】D.
【解析】
解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；
B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；
C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；
D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.
【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
举一反三：
【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞”，则m的取值范围是　 ．
【答案】m＜0.
解：∵将“mx＜3”变形为“x＞”，
∴m的取值范围是m＜0．
故答案为：m＜0．
不等式及其性质（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. （2019春?北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列不等式表示正确的是( ).
A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5
C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0
3.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．-a＜-b D．a-b＜0
5．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（　　）.
A.a>c B.a 6．下列变形中，错误的是（ ）.
A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若，则
C．若，则x＞-5 D．若，则
二、填空题
7．（2019秋?太仓市校级期末）如果a＜b，则﹣3a　 　﹣3b（用“＞”或“＜”填空）．
8．用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为　 　．
9．在-l，，0，，2中，能使不等式5x＞3x+3成立的x的值是________；________是不等式-x＞0的解．
10．假设a＞b，请用“＞”或“＜”填空
(1)a-1________b-1； (2)2a______2b；
(3)_______； (4)a+l________b+1．
11．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空．
(1)2a________a+b (2)_______
(3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c|
12. k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是_______．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）
三、解答题
13．现有不等式的性质：
①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．
请解决以下两个问题：
（1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）；
（2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）．
14. ①当a=3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是_______；②当a=-3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是__________；③当a=1，b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是________；④根据上述数学实验你猜想a2+b2与2ab的大小关系_______；⑤用a、b的其他值检验你的猜想______．
15．已知x＜y，比较下列各对数的大小．
(1)8x-3和8y-3； (2)和； (3) x-2和y-1．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代数式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4个．故选C.
2. 【答案】D；
【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误；
x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。
3.【答案】B.
4.【答案】D；
【解析】从不等式a＜b入手，由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式a＜b的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a＜2b，故选项B不成立；由不等式的性质3，不等式a＜b的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a＞-b，故选项C也不成立；由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都减去b后，不等号的方向不变，得a-b＜0．故应选D．
5.【答案】A.
6.【答案】B；
【解析】B错误，应改为：，两边同除以，可得：。
二、填空题
7. 【答案】＞.
【解析】在a＜b的两边同时乘以﹣3，得：﹣3a＞﹣3b，两边同时加上，得：﹣3a＞﹣3b．故答案为：＞．
8.【答案】x2﹣a2≤0；
9.【答案】2；-1、
【解析】一一代入验证.
10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞；
11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜；
【解析】利用不等式的性质进行判断。
12.【答案】-1＜k≤3．
三、解答题
13.【解析】
解：（1）a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a，
a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a；
（2）a＞0时，2＞1，得2?a＞1?a，即2a＞a；
a＜0时，2＞1，得2?a＜1?a，即2a＜a．
14.【解析】
解：①当a=3，b=5时，a2+b2=34，2ab=30，∵34＞30，∴a2+b2＞2ab；②当a=-3，b=5时，a2+b2=34，2ab=-30，∵34＞-30，∴a2+b2＞2ab；③当a=1，b=1时a2+b2=2，2ab=2，∵1=1，∴a2+b2=2ab；④综合①②③得出结论：a2+b2≥2ab（a=b时，取“=”）．证明：∵（a-b）2≥0（a=b时，取“=”），∴a2+b2-2ab≥0，∴a2+b2≥2ab．⑤设a=2，b=2，则a2+b2=2ab=8，上述结论正确；设a=5，b=3，则a2+b2=34，2ab=30，所以a2+b2＞2ab，综上所述，a2+b2≥2ab（a=b≠0时，取“=”）正确．
15.【解析】
解： (1)∵ x＜y ∴ 8x＜8y， ∴ 8x-3＜8y-3．
(2)∵ x＜y，∴ ，
∴ ．
(3)∵ x＜y，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1，
∴ x-2＜y-1．