北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第7讲 一元一次不等式(基础)

一元一次不等式的解法（基础）知识讲解
【学习目标】
1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；
2. 能够熟练解一元一次不等式；
3. 掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
【要点梳理】
要点一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
要点诠释：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
要点二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
要点三、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点诠释：
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．其含义：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点诠释：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
【典型例题】
类型一、一元一次不等式的概念
1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些?
(1)3x+5＝0 (2)2x+3＞5 (3) (4)≥2 (5)2x+y≤8
【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5)含有两个未知数．
【答案与解析】
解：(2)、(3)是一元一次不等式．
【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．
类型二、解一元一次不等式
2.解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．
【答案与解析】
解：去括号，得：
移项、合并同类项，得：
系数化1得：
这个不等式的解集在数轴上表示如图：
【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．
举一反三：
【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为( ).
【答案】C.
3. （2019?连云港）解不等式，并将解集在数轴上表示出来．
【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
【答案与解析】
解：去分母，得：1+x＜3x﹣3，
移项，得：x﹣3x＜﹣3﹣1，
合并同类项，得：﹣2x＜﹣4，
系数化为1，得：x＞2，
将解集表示在数轴上如图：
【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．去分母时，不要漏乘不含分母的项．
举一反三：
【变式】若,,问x取何值时，．
【答案】
解：∵,,
若，
　　　　则有
　　　　即
　　　　∴当时，．
4.关于x的不等式2x-a≤-1的解集为x≤-1，则a的值是_________．
【思路点拨】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤-1即可得到关于a的方程，解方程即可求解．
【答案】－１
【解析】由已知得：，由，得．
【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号．
举一反三：
【变式1】如果关于x的不等式(a+1)x＜a+1的解集是x＞l，则a的取值范围是________．
【答案】.
【变式2】求不等式1+≥2﹣的非正整数解．
【答案】
解：1+≥2﹣
6+3（x+1）≥12﹣2（x+7）
6+3x+3≥12﹣2x﹣14
3x+2x≥12﹣14﹣6﹣3
5x≥﹣11
x≥﹣2
所以非正整数解为0，﹣1，﹣2．
类型三、不等式的解及解集
5.对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是( ).
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拨】根据不等式解的定义作答．
【答案】D
【解析】
解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8，
当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8，
当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8，
当x＝2时，4x+7(x-2)＝8．
故知x＝2不是原不等式的解．
【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．
6.不等式x＞1在数轴上表示正确的是 ( ).
【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．
【答案】C
【解析】
解：∵不等式x＞1∴在数轴上表示为: 故选C．
【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．
举一反三：
【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．
A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4
【答案】B.
一元一次不等式的解法（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）.A.5+4＞8　　B.2x－1　　C.2x≤5　　D.－3x≥0
2．已知a＞b，则下列不等式正确的是( ).
A．-3a＞-3b B．
C．3-a＞3-b D．a-3＞b-3
3.下列说法中，正确的是( ).
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
4.在下列解不等式的过程中，错误的一步是（　　）
A．去分母得5（2+x）＞3（2x﹣1） B．去括号得10+5x＞6x﹣3
C．移项得5x﹣6x＞﹣3﹣10 D．系数化为1得x＞3
5.不等式的非负整数解有（ ）.
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.（2019?六盘水）不等式3x+2＜2x+3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质：
(1)如果x+2＞5，那么x_______3；根据是_______．
(2)如果，那么a_______；根据是________．
(3)如果，那么x________；根据是________．
(4)如果x-3＜-1，那么x_______2；根据是________．
8. 若a＞0，则关于x的不等式ax＞b的解集是________；
若a＜0，则关于x的不等式以ax＞b的解集是_______．
9.不等式x﹣4≤的解集是　 　．
10.不等式的非负整数解为 ．
11.（2019?新城区校级模拟）不等式﹣x+2＞0的最大正整数解是　　．
12.若m＞5，试用m表示出不等式(5－m)x＞1－m的解集______．
三、解答题
13．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（1）5x﹣12＜2（4x﹣3）； （2）≥﹣1．
14．a取什么值时，代数式3－2a的值： 　　(1)大于1？　　 (2)等于1？　 (3)小于1？
15．y取什么值时，代数式2y－3的值：　　(1)大于5y－3的值？　　(2)不大于5y－3的值？
16．求不等式64－11x＞4的正整数解．

【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】考查一元一次不等式的概念；
2. 【答案】D；
【解析】考查一元一次不等式的性质；
3. 【答案】A ；
4. 【答案】D；
【解析】解：去分母得，5（2+x）＞3（2x﹣1）
去括号得，10+5x＞6x﹣3，
移项得，5x﹣6x＞﹣3﹣10，
合并同类项得，﹣x＞﹣13，
系数化为1得，x＜13，故D错误．
故选D．
5. 【答案】C；
【解析】先求得解集为，所以非负整数解为：0,1,2；
6.【答案】D；
【解析】解：3x+2＜2x+3移项及合并同类项，得x＜1，故选D．
二、填空题
7. 【答案】(1)＞，不等式基本性质1；(2)＞，不等式基本性质3； (3)＜，不等式基本性质2；(4)＜，不等式基本性质1；
8.【答案】，；
【解析】不等式两边同除以一个正数，不等号不变；不等式两边同除以一个负数，不等号改变方向.
9.【答案】x≥﹣2；
【解析】解：x﹣4≤
3（x﹣4）≤4x﹣10
3x﹣12≤4x﹣10
3x﹣4x≤﹣10+12
﹣x≤2
x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
10．【答案】0，1，2；
【解析】解不等式得
11.【答案】5．
【解析】解：﹣x+2＞0，移项，得：﹣x＞﹣2，系数化为1，得：x＜6，
故不等式﹣x+2＞0的最大正整数解是5．
12.【答案】．
【解析】∵，∴，所以(5－m)x＞1－m，可得：
三、解答题
13.【解析】
解：（1）去括号得：5x﹣12＜8x﹣6，
5x﹣8x＜﹣6+12，
﹣3x＜6，
x＞﹣2，
在数轴上表示不等式的解集为：
；
（2）去分母得：3（3x﹣2）≥5（2x+1）﹣15，
9x﹣6≥10x+5﹣15，
9x﹣10x≥﹣15+5+6，
﹣x≥﹣4，
x≤4，
在数轴上表示不等式的解集为：
．
14.【解析】
解：(1)由3-2a＞1，得a＜1；
(2)由3-2a＝1，得a =1；
(3)由3-2a＜1，得a＞1．
15.【解析】
解：(1)由2y-3＞5y-3，得y＜0；
(2)由2y-3≤5y-3，得y≥0．
16.【解析】
解：先解不等式的解集为x＜,所以正整数解为1，2，3，4，5．