北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第8讲 实际问题与一元一次不等式(基础)

实际问题与一元一次不等式（基础）知识讲解
【学习目标】
1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；
2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，/
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：/.
要点二、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
要点诠释：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
/
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B型车x辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B型车 ”．这一点应十分注意．
【典型例题】
类型一、行程问题
/1．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外（包括100m）的安全地区，导火索至少需要多长？
【思路点拨】设导火索要xcm长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m的安全地区，可列不等式求解．
【答案与解析】
解：设导火索要xcm长，根据题意得：
/
解得：/
答：导火索至少要16cm长．
【总结升华】本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是以100m的安全距离作为不等量关系列不等式求解．
类型二、工程问题
/2.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要完成多少土方？
【思路点拨】假设以后几天平均每天完成x土方，一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，那么该土方工程还剩300-60=240土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，说明至多4天完成任务，用去一天，还剩4-1=3（天）则列不等式/ 解得x即可知以后平均每天至少完成多少土方．
【答案与解析】
解：设以后几天平均每天完成x土方．由题意得：
/
解得： x≥80答：现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成80土方．
【总结升华】解本类工程问题，主要是找准正确的工程不等式，如本题，以天数作为基准列不等式．
举一反三：
【变式】某人计划20天内至少加工400个零件，前5天平均每天加工了33个零件，此后，该工人平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内完成任务？
【答案】解：设以后平均每天加工x个零件，
由题意的：5×33+（20﹣5）x≥400，
解得：x≥．
∵x为正整数，
∴x取16．
答：该工人以后平均每天至少加工16个零件．
类型三、利润问题
/3.水果店进了某种水果1t，进价是7元/kg．售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果至少可以按原定价的几折出售？
【答案与解析】
解：设余下的水果可以按原定价的x折出售,根据题意得：
1t＝1000kg
/
解得：/
答：余下的水果至少可以按原定价的8折出售．
【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，关键以利润作为不等量关系列不等式．
举一反三：
【变式】某商品的进价为1000元，售价为2000元，由于销售状况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润不低于20%，则商店最多打 折．
【答案】六.
类型四、方案选择
/4.（2019?资阳）某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．
（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；
（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．
【思路点拨】（1）根据题意结合购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案；
（2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案．
【答案与解析】
解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：
/，
解得：/．
答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；
（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：
220a+190（8﹣a）≥1565，
解得：a≥1.5，
∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，
∴A型污水处理设备买越少，越省钱，
∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．
【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量关系是解题的关键．
实际问题与一元一次不等式（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于（　　）米．
A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5
2.（2019?西宁）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（　　）
A．103块 B．104块 C．105块 D．106块
3.小红和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150kg，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小红和妈妈坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那一端仍然着地，小红的体重应小于( )
A．49kg B．50kg C．24kg D．25kg
4．某商品进价为800元，售价为1200元，由于受市场供求关系的影响，现准备打折销售，但要求利润率/不低于5%，则至少可打( )
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
5．设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，结果如图所示，那么这三种物体的质量按从大到小的顺序排列应为( )
/
A． ■、●、▲ B． ■、▲、● C． ▲、●、■ D． ▲、■、●
6．现有若干本连环画册分给小朋友，如果每人分8本，那么不够分，现在每人分7本，还多10本，则小朋友人数最少有 ( ) A.7人 B. 8人 C. 10人 D.11人
二、填空题
7．当x_______时，代数式-3x+5的值是正数；当x_______时，它的值不大于4；当x______时，它的值不小于2．
8．一家商店计划出售60件衬衫，要使销售总额不低于5100元，则每件衬衫的售价至少应为_______元．
9．有10名菜农，每名可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩的收入是0.5万元，辣椒每亩的收入是0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排________名菜农种茄子．
10．用一根长不足160 cm的铁丝围成一个宽是x cm，长是宽的2倍的长方形，则可列不等式_______．
11.（2019春?德州期末）某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对　 　道题，成绩才能在60分以上．12．一个工程队规定在6天内完成300千米的修路工程，第一天完成了60千米，现在接到任务要比原计划至少提前2填完成任务，以后几天平均每天至少完成　 　千米．
三、解答题
13．某工人计划在15天里加工408个零件，前三天每天加工24个，问以后每天至少加工多少个零件才能在规定时间内超额完成任务？
14．某种飞机进行飞行训练，飞出去的速度为1200km/h，飞回机场的速度为1500km/h，飞机油箱中的燃油只能保持2.5h的飞行，则飞机最多飞出多少千米就应返回？(结果精确到10km)
15．某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠．一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔．已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少买多少支钢笔才能打折?
16.沃尔玛超市销售每台进价为320元和250元的A、B两种型号的电器，下表是两天的销售情况：
/
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电器的销售单价；
（2）若超市准备用不多于8200元的金额再采购这两种型号的电器共30台，求A种型号的电器最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电器能否实现利润至少为2100元的目标？请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．


【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】解：设导火线的长度为x米，
由题意得，/＞/+/，
解得：x＞1.3．
故选C．
2.【答案】C；
【解析】设这批手表有x块，550×60+（x﹣60）×500＞55000解得x＞104
∴这批电话手表至少有105块，故选C．
3. 【答案】D ；
【解析】解：设小红的体重为xkg，由题意可得： /，解得：/．
4. 【答案】B；
【解析】解：设打x折，由题意得：/，解得/，所以至少应打7折.
5. 【答案】B；
【解析】由图可得： 2■＞■+▲ ①，●+▲＝3● ②，由①②得■＞▲，2●＝▲，
所以可得：■＞▲＞●．
6. 【答案】D；
【解析】设小朋友人数为x人，可得：/，解得：/，所以小朋友至少为11人．
二、填空题
7.【答案】/，≥/，≤1；
【解析】 由/；由/≤4得/≥/；由/≥2得/≤1．
8.【答案】85；
【解析】设售价为/元，则/≥5100得/≥85．
9.【答案】4；
【解析】设最多只能安排x名菜农种茄子，则有(10-x)人种辣椒，那么种茄子的收入为3×0.5x万元，种辣椒的收入为2×0.8×(10-x)万元，那么总收入为3×0.5x+2×0.8(10-x)万元．根据题意：3×0.5x+2×0.8(10-x)≥15.6，解得x≤4，故最多安排4名菜农种茄子
10．【答案】x+2x＜80；
11.【答案】x＞/．
【解析】设答对x道．故6x﹣2（15﹣x）＞60解得：x＞/所以至少要答对12道题，成绩才能在60分以上．
12.【答案】80；
【解析】解：设以后几天平均每天完成x千米，由题意得：
60+（6﹣1﹣2）x≥300，
解得：x≥80，
故以后几天平均每天至少完成80千米，
故答案为：80．
三、解答题
13.【解析】
解：设三天后每天加工x个零件，根据题意得:
24×3+(15-3)x＞408，
解得 x＞28．
因为x为正整数，
所以以后每天加工的零件数至少为29个．
14.【解析】
解：设飞机最多飞出x千米就应返回，则:
/．
解得x＜/．
∴x取1660．
∴飞机最多飞出1660千米就应返回．
15.【解析】
解：设该同学买x支钢笔，根据题题意，得:
15×6+8x≥200，
解得 /≥/．
故该同学至少要买14支钢笔才能打折．
16.【解析】
解：（1）设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元和y元，
由题意，得：2x+3y=1700，
3x+y=1500，
解得x=400元，y=300元，
∴A、B两种型号电器的销售单价分别为400元和300元；
（2）设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器（30﹣a）台，
依题意，得320a+250（30﹣a）≤8200，
解得a≤10，a取最大值为10，
∴超市最多采购A种型号电器10台时，采购金额不多于8200元；
（3）依题意，得
（400﹣320）a+（300﹣250）（30﹣a）≥2100，
解得 a≥20，
∵a的最大值为10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润至少为2100元的目标．