北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第11讲 一元一次不等式与不等式组全章复习与巩固(基础)

《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】
1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；
2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；
3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；
4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；
5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
要点诠释：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．
要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
要点诠释：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
要点三、一元一次不等式组　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.?
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.?
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
要点四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　
方程（组）、不等式问题
函 数 问 题
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
为何值时，函数的值为0？
确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标.
求关于、的二元一次方程组的解．
为何值时，函数与函数的值相等？
确定直线与直线的交点的坐标.
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
为何值时，函数的值大于0？
确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
【典型例题】
类型一、不等式
1.用适当的符号语言表达下列关系：
（1）a与5的和是正数.
（2）b与-5的差不是正数.
（3）x的2倍大于x.
（4）2x与1的和小于零.
（5）a的2倍与4的差不少于5.
【答案与解析】
解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0； （3）2x>x； （4）2x+1<0；（5）2a-4≥5.
【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于…… .
举一反三：
【变式】用适当的符号语言表达下列关系：
（1）y的与3的差是负数.（2）x的与3的差大于2.（3）b的与c的和不大于9.
【答案】（1）； （2）；（3）.
2.用适当的符号填空：
（1）如果a（2）如果a【思路点拨】不等式的基本性质1,2,3．
【答案】（1）＜； ＜；＞． （2）＜；＜；＜．
【解析】
（1）在不等式a在不等式a在不等式a（2）在不等式a在a在a【总结升华】刚开始在面对不等式的基本变形时，要不断强化在变形上所运用的具体性质，同时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果，这样学习到的不等式的基本性质才能落在实处．
举一反三：
【变式1】用适当的符号填空：
（1）7a+6__7a-6；（2）若ac＞bc，且c＜0，则a b．
【答案】（1）>；（2）＜．
【变式2】判断
（1）如果，那么；
（2）如果，那么.
【答案】（1）×；（2）√．
类型二、一元一次不等式? ?
3.（2019?巴中）解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．
【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
【答案与解析】
解：去分母得，4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，
去括号得，8x﹣4≤9x+6﹣12，
移项得，8x﹣9x≤6﹣12+4，
合并同类项得，﹣x≤﹣2，
把x的系数化为1得，x≥2．
在数轴上表示为：
．
【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
解：去分母得5x-1-3x＞3，
移项、合并同类项，得2x＞4，
系数化为1，得x＞2，
解集在数轴上的表示如图所示．
4.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降价多少元出售商品？
【思路点拨】利润＝售价－进价，售价＝进价＋利润＝进价×（1＋利润率）.
【答案与解析】
解：设商店降价元出售该商品，则≥，
解得≤60.
答：商店最多降价60元出售商品。
【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，解答过程中应注意“设”与“答”的区别．
类型三、一元一次不等式组
5.（2019?东丽区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
【答案与解析】
解：解不等式①，得：x＞﹣3，
解不等式②，得：x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】求不等式组的整数解．
【答案】
解：解不等式-3(x-2)≥4-x，得x≤1，
解不等式，得x＞-2，
所以该不等式组的解集为：-2＜x≤1，
所以该不等式组的整数解是-1，0，1．
【变式2】（2019?南昌）不等式组的解集是　 　．
【答案】﹣3＜x≤2.
解：，
由①得：x≤2，
由②得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
类型四、一次函数与一元一次方程（组）、不等式
6、如图，平面直角坐标系中画出了函数的图象．
　　（1）根据图象，求和的值．
（2）在图中画出函数的图象．
（3）求的取值范围，使函数的函数值大于函数的函数值．
【思路点拨】（3）画出函数图象后比较，要使函数的函数值大于函数的函数值，需的图象在图象的上方.
【答案与解析】
解：（1）∵直线经过点（－2，0），（0，2）．
　　　 ∴ 解得
∴．
（2）经过（0，2），（1，0），图象如图所示．
　　（3）当的函数值大于的函数值时，也就是，解得＞0，即的取值范围为＞0．
【总结升华】函数图象在上方函数值比函数图象在下方函数值大.
类型五、综合应用
7.若关于x,y的方程组的解满足，求k的整数值.
【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用k表示x、y），然后解不等式组.
【答案与解析】
解：解方程组
∵，
解得：．
∴整数k的值为0，1，2.
【总结升华】方程组的未知数是x、y，k在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用k表示x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将x、y用含k的式子替换，得到关于k的不等式组，可以求出k的取值范围，进而可以求出k的整数值.
举一反三：
【变式】m为何值时，关于x的方程： 的解大于1？
【答案】
解：由，得，
∴，解得．
∴当时，关于x的方程： 的解大于1.
8.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．
（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；
（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．
【思路点拨】（1）设单独租用35座客车需x辆．根据单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满和单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解；（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（4-y）辆．根据不等关系：①两种车坐的总人数不小于175人；②租车资金不超过1500元．列不等式组分析求解．
【答案与解析】
解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得：
,
解得：.
∴（人）.
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．
（2）设租35座客车y辆，则租55座客车（）辆，由题意得：
，
解这个不等式组，得．
∵取正整数，∴= 2.
∴4－ = 4－2 = 2（辆）.
∴320×2＋400×2 = 1440（元）.
所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
【巩固练习】
一、选择题
1.（2019?河南模拟）下列结论中，正确的是（　　）
A．若a＞b，则＜ B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，则1﹣a＜1﹣b D．若a＞b，ac2＞bc2
2.（2019?南充）不等式＞﹣1的正整数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）．

A B C D
4. 如果关于x的不等式 (a+1)x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是( ) ．
A. a>0 B. a<0 C. a>-1 D. a<-1
5. 一次函数，若＝1，则它的图象必经过点（ ）．
A.(－1,－1) B.(－1, 1) C.(1, －1) D.(1, 1)
6. 以下各式中，一元一次不等式个数为（ ）．
①；②；③；④；⑤
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
7.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（ ）．
A． B． C． D． 无法确定
8.三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有（ ）组．　　A．1 　　　B．2 　　　C．3 　　　D．4
二、填空题
9.（2019?滨湖区二模）已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5，则a的值为　 　．
10.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是_____.
11．不等式组的整数解是_______.　　　　　　
12．已知，是正数，则的取值范围 .
13．（2019春?双城市期末）如图，已知函数和y=kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），则根据图象可得关于x的不等式＞kx的解集为 　．
14．关于x的方程2x+3k=1的解是负数,则k的取值范围是_______.
15．若不等式（ｍ－２）x＞2的解集是x＜,则ｍ的取值范围是_____.16．小明借到一本有72页的图书,要在10天之内读完,开始2天每天只读5页,那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天至少要读x页,所列不等式为___________.
三、解答题
17．在数学学习中，及时对知识进行归纳、类比和整理是提高学习效率的有效策略，善于学习的小明在学习解一元一次不等式中，发现它与解一元一次方程有许多相似之处．小明列出了一张对照表： 从表中可以清楚地看出，解一元一次不等式与解一元一次方程有一定的联系，利用这种联系解决下列问题：
（1）若不等式kx＞b的解集是x＜1，求方程kx=b的解；（2）若方程kx=b的解是x=-1，求不等式kx＞b的解集．
18.（2019?遂宁）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
19．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．
(1)请你帮助学校设计所有可行的租车方案；
(2)如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省?
20.某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元．小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为张.
（1）写出零星租碟方式应付金额(元)与租碟数量（张）之间的函数关系式；
（2）写出会员卡租碟方式应付金额(元 )与租碟数量(张)之间的函数关系式；
（3）小彬选取哪种租碟方式更合算？
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C．
【解析】A、当a＞0＞b时，＜，故本选项错误；
B、当a＞0，b＜0，a＜|b|时，a2＜b2，故本选项错误；
C、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，故本选项正确；
D、当c=0时，虽然a＞b，但是ac2=bc2，故本选项错误．
2. 【答案】D；
【解析】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，
去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，
移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，
合并同类项得：﹣x＞﹣5，
系数化为1得：x＜5，
故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个，
故选：D．
3. 【答案】B；
4. 【答案】D；
【解析】不等号的方向改变，说明a+1＜0，即a＜﹣1．
5. 【答案】D；
【解析】当＝1时，＝1，故它的图象过点（1，1）.
6. 【答案】B；
【解析】是一元一次不等式的是①和⑤．
7. 【答案】B；
【解析】当＜－1时，直线在直线的上方.
8. 【答案】C；
【解析】，解得n=0、1、2，共3组．
二．填空题
9.【答案】15．
【解析】解不等式3x﹣a≤0得，x≤，∵不等式的解集为x≤5，∴=5，解得a=15．
10. 【答案】1、2；
【解析】由图可得，所以正整数有1、2．
11. 【答案】－1，0；
【解析】不等式组的解集为，整数解为-1，0．
12. 【答案】；
【解析】由，解得，化简得．
13. 【答案】x＜﹣4；
【解析】解：当x＜﹣4时，的图象都在y=kx的图象上方，
所以关于x的不等式＞kx的解集为x＜﹣4．
故答案为：x＜﹣4．
14. 【答案】；
【解析】解方程得，则．
15. 【答案】ｍ＜２；
【解析】由不等式的基本性质3得，ｍ－２＜0.
16. 【答案】（或：等）；
【解析】答案不唯一.
三.解答题
17.【解析】
解：（1）.
（2）当时， 当
18.【解析】
解：，
由①得，x＞﹣3，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示为：
19.【解析】
解：(1)设租用甲车x辆，则租用乙车(10-x)辆．
由题意得 解得4≤x≤7.5．
因为x取整数，所以x＝4，5，6，7．则相应地，10-x＝6，5，4，3．
因此，有四种租车方案，分别是：
①租用甲车4辆，乙车6辆；
②租用甲车5辆，乙车5辆；
③租用甲车6辆，乙车4辆；
④租用甲车7辆，乙车3辆．
(2)租车费用分别为：
①4×2000+6×1800＝18800(元)；
②5×2000+5×1800＝19000(元)；
③6×2000+4×1800＝19200(元)；
④7×2000+3×1800＝19400(元)．
因为18800＜19000＜19200＜19400，所以，方案①租甲车4辆，乙车6辆费用最省．
20.【解析】
解：（1）．
　（2）．

　所以，当租碟少于20张时，选零星租碟方式合算；当租碟20张时，两种方式一样；当租碟大于20张时，选会员卡租碟合算．