高中物理教科版必修二学案：第4章4.5机械能守恒定律 Word版含答案

5．机械能守恒定律
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.能够分析动能和势能之间的相互转化问题．
2．能够推导机械能守恒定律．(重点)
3．会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒．
4．能运用机械能守恒定律解决有关问题，并领会运用机械能守恒定律解决问题的优越性．(重点)
一、动能和势能的转化规律
1．动能和势能的转化实例
(1)自行车下坡时，重力势能减少，动能增加．
(2)荡秋千过程中，向上摆动时，动能减少，重力势能增加，向下摆动时，动能增加，重力势能减少．
(3)撑杆跳高过程中，脱离杆之前，动能、重力势能、弹性势能在相互转化，脱离杆后，只有动能和重力势能在相互转化．
2．动能和势能相互转化时的特点：重力或弹力做正功时，势能向动能转化，做负功时，动能向势能转化．
3．实验探究
(1)实验装置：将螺母用细线挂在铁架台上制成单摆．
(2)实验步骤：把螺母拉起一个较小的角度，放手后，它能摆至另一侧的等高位置；在铁架台的杆上固定一个夹子，当螺母摆到最低点时，细线被夹子挡住，但螺母仍能摆到另一侧的等高位置．
(3)实验结论：忽略空气阻力，只有重力做功时，动能和势能在相互转化的过程中，总量不变．
4．理论探究
(1)探究情景：物体做抛体运动的过程，如图所示．
(2)推导过程：A位置的机械能
EA＝mgh1＋mv.
B位置的机械能
EB＝mgh2＋mv
对A至B过程，由动能定理有
mg(h1－h2)＝mv－mv
即mgh1＋mv＝mgh2＋mv，EA＝EB.
5．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变．
(2)表达式：Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2.
(3)守恒条件：只有重力(或弹力)做功．
二、学生实验：验证机械能守恒定律
1．实验器材
铁架台(带夹子)，打点计时器，重物(带纸带夹子)，纸带，复写纸，导线，毫米刻度尺，学生电源，开关．
2．实验原理
(1)原理：做自由落体运动的物体，只受重力作用，其机械能是守恒的．若质量为m的物体自由下落h高度时，速度为v，若v2＝gh成立，则机械能守恒定律得到验证．
(2)瞬时速度的求解：如图所示，借助打点计时器打出的纸带，测出物体自由下落的高度h和该时刻的速度v.打第n个计数点时的瞬时速度等于以该时刻为中间时刻的某一段时间内的平均速度，即
vn＝＝.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)物体自由下落过程中经过A、B两位置，如图甲所示，此过程中物体的机械能一定守恒． (　　)
(2)物块沿斜面匀速下滑，如图乙所示，此过程中物块机械能守恒． (　　)
(3)光滑水平面上，被压缩的弹簧能将小球向右弹出，如图丙所示，在弹簧恢复原状的过程中，小球的机械能守恒． (　　)
(4)合力为零，物体的机械能一定守恒． (　　)
【提示】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．(多选)如图，物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)(　　)
CD　[物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回自由摆动，只有重力做功，小球机械能守恒，选项C、D正确．]
3．将物体从地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H.当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的3倍，则这一位置的高度是(　　)
A．2H/3　　　　 B．H/2
C．H/3 D．H/4
D　[物体在运动过程中机械能守恒，设动能是重力势能的3倍时的高度为h，取地面为零势能面，则有mgH＝Ek＋mgh，即mgH＝4mgh，解得：h＝H/4，故D正确．]
4．在“验证机械能守恒定律”的实验中，下面列出一些实验步骤：
A．用天平称出重物和夹子的重量
B．把重物系在夹子上
C．将纸带穿过计时器，上端用手提着，下端夹上系住重物的夹子，再把纸带向上拉，让夹子靠近打点计时器静止
D．把打点计时器接在学生电源的交流输出端，把输出电压调至6 V(电源不接通)
E．把打点计时器固定在桌边的铁架台上，使两个限位孔在同一竖直线上
F．在纸带上选取几个点，进行测量和记录数据
G．用秒表测出重物下落时间
H．接通电源，待计时器响声稳定后释放纸带
I．切断电源
J．更换纸带，重新进行两次
K．在三条纸带中选出较好的一条
L．进行计算，得出结论，完成报告
M．拆下导线，整理器材
以上步骤中，不必要的有________，正确步骤的合理顺序是________(填写字母)．
[解析]　只为了验证机械能守恒，没必要称量重物的质量．打点计时器本身就是计时仪器，不再需要秒表．
[答案]　AG　EDBCHIJMKFL
对机械能守恒条件的理解
机械能守恒的判断
(1)从机械能的定义直接判断：若物体的动能、势能均不变，则机械能不变；若物体的动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化，或动能和重力势能同时增加(或减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功来判断：分析物体或物体受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
(3)用能量转化来判定：若系统中只有动能和势能的相互转化，无机械能与其他形式能的转化，则系统机械能守恒．
【例1】　(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
甲　　　乙　　　　　丙　　　丁
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
思路点拨：解答本题应把握以下两点：
(1)理解机械能守恒的条件．
(2)灵活选择判断方法．
CD　[甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错．乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒．B错．丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C对．丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D对．]
物体机械能守恒的判断方法
(1)做功条件分析法，分三种情况：
①物体只受重力(或系统内的弹力)作用；
②物体同时受重力和其他力，但其他力不做功；
③其他力对物体做功，但是做功的代数和为零．
(2)能量转化分析法：若物体只有动能、重力势能及弹性势能间相互转化，或系统内只有物体间的机械能相互转移，则机械能守恒．
(3)运动状态分析法：如物体沿水平方向匀速运动时，动能和势能之和不变则机械能守恒；物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒．
1.(多选)质量分别为m、2m的两球A、B由轻质细杆连接，杆可绕过O点的水平轴在竖直平面内自由转动，杆在从水平位置转到竖直位置的过程中(　　)
A．B球势能减少，动能增加
B．A球势能增加，动能减少
C．A和B的总机械能守恒
D．A和B各自的机械能守恒
AC　[整个过程，对于两球和轻杆组成的系统，只有重力做功，机械能守恒，C对，D错；杆在竖直位置时，两球的速度最大，故杆在从水平位置转到竖直位置的过程中A球的势能增加，动能增加，B球的势能减少，动能增加，A对，B错．]
机械能守恒定律的应用
1．表达式及特点
表达式
特点
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
(从不同状态看)即初状态的机械能等于末状态的机械能
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
(从转化角度看)即过程中动能的增加量等于势能的减少量
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
(从转移角度看)即系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能

2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)正确选取研究对象(物体或系统)，确定研究过程；
(2)进行受力分析，考查守恒条件；
(3)选取零势能平面，确定初、末状态机械能；
(4)运用守恒定律，列出方程求解．
3．机械能守恒定律和动能定理的比较
两大规律
机械能守恒定律
动能定理
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB
W＝ΔEk
应用范围
只有重力或系统内的弹力做功
无条件限制
物理意义
其他力(重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度
合外力对物体做的功是动能变化的量度
关注角度
守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小
动能的变化及改变动能的方式(合外力做功情况)
【例2】　如图所示，AB是倾角θ为45°的直轨道，CD是半径R＝0.4 m的圆弧轨道，它们通过一段曲面BC平滑相接，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑．一个质量m＝1 kg的物体(可以看作质点)从高H的地方由静止释放，结果它从圆弧最高点D点飞出，垂直斜面击中P点．已知P点与圆弧的圆心O等高，g取10 m/s2.求：
(1)物体击中P点前瞬间的速度；
(2)在C点轨道对物体的压力大小；
(3)物体静止释放时的高度H.
[解析]　(1)物体从D点运动到P点，做平抛运动，在竖直方向上满足2gR＝v，求得vy＝2 m/s
物体击中P点的速度v＝＝4 m/s.
(2)物体在D点的速度为平抛运动的水平速度
vD＝vytan θ＝2m/s
根据机械能守恒定律
mv＝mg·2R＋mv
由牛顿运动定律得N－mg＝
解得支持力N＝70 N，即在C点轨道对物体的压力为70 N.
(3)由A点到D点，物体的机械能也守恒，故
mgH＝mv＋mg2R
解得H＝1.2 m.
[答案]　(1)4 m/s　(2)70 N　(3)1.2 m
1．无论直线运动还是曲线运动，机械能守恒定律都可应用，且仅需考虑始、末状态，而不必考虑所经历的过程．
2．能用机械能守恒定律求解的，一定能用动能定理求解，但满足守恒条件时，应用机械能守恒定律更方便．
2.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
A．2R　　　　　　　 B.
C. D.
C　[设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面，B恰运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，机械能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，当A落地后，B球以速度v竖直上抛，到达最高点时又上升的高度为h′＝，故B上升的总高度为R＋h′＝R，选项C正确．]
验证机械能守恒定律
1．实验步骤
(1)安装：将打点计时器固定在铁架台上；用导线将打点计时器与低压交流电源相连接．
(2)接通电源，打纸带：把纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的位置，先接通电源，再松开纸带，让重物自由下落．
重复几次，打下3～5条纸带．
(3)选纸带：选取点迹清晰的且第1、2连续两点间的距离约为2 mm的纸带．
(4)标数字：在打出的纸带上从打出的第1个点开始，依次标上0,1,2,3…
(5)数据测量：测出0到点1、点2、点3…的距离，即为对应的下落高度h1、h2、h3…
2．数据处理
(1)利用公式vn＝，计算出点1、点2、点3…的瞬时速度v1、v2、v3…
(2)验证：通过计算，在误差允许的范围之内mv与mghn是否相等或mv－mv与mghnm是否相等．
3．误差分析
(1)在进行长度测量时，测量及读数不准造成误差．
(2)重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象．
(3)由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生误差．
【例3】　某同学做验证机械能守恒定律实验时，不慎将一条挑选出的纸带的一部分损坏，损坏的是前端部分．剩下的一段纸带上各相邻点间的距离已测出标在图中，单位是cm.打点计时器工作频率为50 Hz，重力加速度g取9.8 m/s2.
(1)重物在2点的速度v2＝________，在5点的速度v5＝________，此过程中动能增加量ΔEk＝________，重力势能减少量ΔEp＝________.由以上可得出实验结论_______________________
_____________________________________________________.
(2)重物获得的动能往往________(A.大于　B．小于　C．等于)减少的重力势能，实验中产生系统误差的原因是
______________________________________________________.
(3)根据实验判断下列图像正确的是(其中ΔEk表示重物动能的变化量，Δh表示物体下落的高度)(　　)
[解析]　(1)根据匀变速直线运动的规律，可以求出重物在2点的速度v2＝ m/s＝1.50 m/s，重物在5点的速度v5＝ m/s＝2.075 m/s，所以动能增加量为ΔEk＝mv－mv＝1.03m J，重物从2点到5点，重力势能减少量为ΔEp＝mgh25＝m×9.8×(3.2＋3.6＋4.0)×10－2 J＝1.06m J，由以上可得出实验结论为：在误差允许的范围内，机械能守恒．
(2)由于纸带受到摩擦力作用，需克服摩擦力做功，所以获得的动能小于减少的重力势能．
(3)重物机械能守恒，重物减少的重力势能转化为增加的动能，即ΔEk＝mgΔh，可见重物增加的动能与下落的距离成正比，选项C正确．
[答案]　(1)1.50 m/s　2.075 m/s　1.03m J　1.06m J　在误差允许的范围内，机械能守恒
(2)B　纸带受到摩擦力作用　(3)C
实验验证机械能守恒定律的注意事项
1．先接通电源打点，后释放纸带．
2．选取纸带
(1)选择开始的一段时，要验证的是mv＝mghn，必须保证纸带上的第一点为重物静止释放时打的点，所以前两个点的间距为h＝gt2＝×10×(0.02)2 m＝2 mm.
(2)选择运动中的一段时，要验证的是mv－mv＝mghmn，这时选择纸带不需要满足两点间距为2 mm.
3．计算速度时不能用v＝gt或v＝，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误．
4．测量下落高度时，为减小实验误差，后边的点应距起点O较远，在测量各点到O点的距离时，应当用刻度尺从O点量起，一次性读出各点到O点的距离．
3．某同学用图(a)所示的实验装置验证机械能守恒定律，其中打点计时器的电源为交流电源，可以使用的频率有20 Hz、30 Hz和40 Hz.打出纸带的一部分如图(b)所示．
(a)　　　　　　　　　(b)
该同学在实验中没有记录交流电的频率f，需要用实验数据和其他题给条件进行推算．
(1)若从打出的纸带可判定重物匀加速下落，利用f和图(b)中给出的物理量可以写出：在打点计时器打出B点时，重物下落的速度大小为________，打出C点时重物下落的速度大小为________，重物下落的加速度大小为________．
(2)已测得s1＝8.89 cm，s2＝9.50 cm，s3＝10.10 cm；当地重力加速度大小为9.80 m/s2，实验中重物受到的平均阻力大小约为其重力的1%.由此推算出f为______Hz.
[解析]　(1)重物匀加速下落时，根据匀变速直线运动的规律得vB＝＝f(s1＋s2)
vC＝＝f(s2＋s3)
由s3－s1＝2aT2得
a＝.
(2)根据牛顿第二定律，有mg－kmg＝ma
根据以上各式，化简得f＝
代入数据可得f≈40 Hz.
[答案]　(1)f(s1＋s2)　f(s2＋s3)　f2(s3－s1)　(2)40
1．在“验证机械能守恒定律”实验中，纸带将被释放瞬间的四种情况如照片所示，其中最合适的是(　　)
D　[开始释放时，重锤要靠近打点计时器，纸带应保持竖直方向，故D正确．]
2．下列说法正确的是(　　)
A．物体沿水平面做匀加速运动，机械能一定守恒
B．起重机匀速提升物体，机械能一定守恒
C．物体沿光滑曲面自由下滑过程中，机械能一定守恒
D．跳伞运动员在空中匀速下落过程中，机械能一定守恒
C　[A项，势能不变，动能增加；B项，动能不变，势能增加；C项，只有重力做功，机械能守恒；D项，动能不变，势能减小，综上所述，选项C正确．]
3．如图所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，则它到达B点时速度的大小是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D．v0
B　[若选桌面为参考面，则mv＝－mgh＋mv，解得vB＝.]
4．如图所示，一固定在地面上的光滑斜面的顶端固定有一轻弹簧，地面上质量为m的物块(可视为质点)向右滑行并冲上斜面．设物块在斜面最低点A的速率为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则物块运动到C点时弹簧的弹性势能为(　　)
A．mgh　　　　　　　　 B．mgh＋mv2
C．mgh－mv2 D.mv2－mgh
D　[由机械能守恒定律可得物块的动能转化为其重力势能和弹簧的弹性势能，有mv2＝mgh＋Ep，故Ep＝mv2－mgh.]
5．如图所示，质量均为m的小球A、B、C，均用长为l的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上，l＞h，A球刚好在桌边，若A球、B球相继下落，着地后不再反弹，则C球离开桌边时速度大小是多少？
[解析]　先以地球和三个小球组成的系统作为研究对象，Ep0＝3mgh，Ek0＝0，Ept＝2mgh，Ekt＝·3mv，其中v1为A球落地三球运动的共同速率，由系统机械能守恒得：3mgh＝2mgh＋·3mv，
再以B、C和地球组成的系统作为研究对象，则：
Ep0′＝2mgh，Ek0′＝·2mv，Ept′＝mgh，Ekt′＝·2mv，其中v2为B球落地时B、C两球具有的速率，也就是C球离开桌边时的速率．新的系统机械能也守恒，即
2mgh＋·2mv＝mgh＋·2mv，
解得v2＝.
[答案]