1.2 集合间的基本关系 学案

集合间的基本关系
学习目标
①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力;
②在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.
合作学习
　　一、设计问题,创设情境
问题1:实数有相等、大小的关系,如5=5,5<7,5>3等,类比实数之间的关系,你能想到集合之间有什么关系吗?
二、自主探索,尝试解决
问题2:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗?
(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
(2)设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;
(3)设A={x|x是两条边相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};
(4)A={2,4,6},B={6,4,2}.
三、信息交流,揭示规律
集合间的基本关系:
①一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为B的子集.
记作:
读作:
如果A?B,但存在x∈B,且x?A,我们就说这两个集合有真包含关系,称集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B?A).
②如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等.
问题3:与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”相类比,在集合中,你能得出什么结论?
问题4:与实数中的结论“若a≥b,且b≥c,则a≥c”相类比,在集合中,你又能得出什么结论?
为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.如图1和图2分别是表示问题2中(1)和(4)的Venn图.
问题5:
(1)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗?
(2)一座房子内没有任何东西,我们称这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢?
四、运用规律,解决问题
【例1】图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,则A、B、C、D、E分别代表的图形的集合为　　　　.?
【例2】写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
【例3】已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B?A,则实数m=　　　　.?
五、变式演练,深化提高
1.已知集合M={x|2-x<0},集合N={x|ax=1},若N?M,求实数a的取值范围.
2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:?,{a},{a,b},{a,b,c}.
(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集?
3.已知集合A?{2,3,7},且A中至多有一个奇数,则这样的集合A有(　　)
A.3个　　　　　B.4个　　　　　C.5个　　　　　D.6个
六、反思小结,观点提炼
请同学们互相交流一下你在本节课学习中的收获.
七、作业精选,巩固提高
课本P11习题1.1 A组第5题.
参考答案
　　三、信息交流,揭示规律
①A?B(或B?A)　A含于B(或B包含A)
问题3:结论:若A?B,且B?A,则A=B.
问题4:类比子集,得出子集有传递性,若A?B,B?C,则A?C;若A?B,B?C,则A?C.
问题5:(1)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.
(2)一个集合没有任何元素,定义为空集.空集记为?,并规定:空集是任何集合的子集,即??A;空集是任何非空集合的真子集,即??A(A≠?).
四、运用规律,解决问题
【例1】解析:由四边形的概念可得下列关系:
由集合的子集概念可知,集合A={四边形},集合B={梯形},集合C={平行四边形},集合D={菱形},集合E={正方形}.
答案:A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形};E={正方形}
【例2】解:集合{a,b}的所有子集为?,{a},{b},{a,b}.真子集为?,{a},{b}.
【例3】解析:∵B?A,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.∴m=1.
答案:1
点评:本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.
讨论两集合之间的关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.
五、变式演练,深化提高
1.分析:集合N是关于x的方程ax=1的解集,集合M={x|x>2}≠?,由于N?M,则N=?或N≠?,要对集合N是否为空集分类讨论.
解:由题意得M={x|x>2}≠?,则N=?或N≠?.
当N=?时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;
当N≠?时,关于x的方程ax=1中有解,则a≠0,此时x=1a,
又∵N?M,∴1a∈M.∴1a>2.
∴0综上所得,实数a的取值范围是a=0或0即实数a的取值范围是{a|0≤a<12}
2.解:(1)?的子集有:?,即?有1个子集;
{a}的子集有:?,{a},即{a}有2个子集;
{a,b}的子集有:?,{a},{b},{a,b},即{a,b}有4个子集;
{a,b,c}的子集有:?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集.
(2)由(1)可得:当n=0时,有1=20个子集;
当n=1时,集合M有2=21个子集;
当n=2时,集合M有4=22个子集;
当n=3时,集合M有8=23个子集;
因此含有n个元素的集合M有2n个子集.
3.分析:对集合A所含元素的个数分类讨论
解析:A=?或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7},共有6个.
答案:D
点评:本题主要考查子集的概念以及分类讨论思想.写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.