函数的概念(第一课时)
学习目标
①会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号“y=f(x)”的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学生学习数学的兴趣及抽象概括的能力;启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识;
②掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:给出下列三种对应:(幻灯片)
①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2.
这里,炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应:f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.
②近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106km2)随时间t(单位:年)从1979~2001年的变化情况.
南极臭氧层空洞的面积
根据图中的曲线可知,时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B.
③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间
(年)
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
城镇居民
家庭恩格
尔系数(%)
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
请仿照①②描述此表中恩格尔系数与时间(年)的关系.
请同学们思考以上三个对应有什么共同特点?
二、自主探索,尝试解决
以上三个对应的共同特点:?
?
三、信息交流,揭示规律
问题2:函数的定义域是自变量的取值范围,那么如何理解这个“取值范围”呢?
问题3:函数有意义又指什么?
在研究函数时,除了用集合表示数的范围外,常会用到区间的概念.设a,b是两个实数,且a
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a,b]
{x|a开区间
(a,b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a,b)
{x|a半开半闭区间
(a,b]
{x|x≥a}
[a,+∞)
{x|x>a}
(a,+∞)
{x|x≤a}
(-∞,a]
{x|x(-∞,a)
R
(-∞,+∞)
四、运用规律,解决问题
【例1】已知函数f(x)=x+3+1x+2.
(1)求函数的定义域;
(2)求f(-3),f(23)的值;
(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.
【例2】求函数y=(x+1)2x+1-1-x的定义域.
【例3】已知函数f(x)=x21+x2,那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=.
五、变式演练,深化提高
1.设函数f(n)=k(k∈N*),k是π的小数点后的第n位数字,π=3.141 592 653 5…,则f{f…[f(10)]}100= .?
2.已知A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数f(x)有( )
A.4个 B.6个
C.7个 D.8个
3.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( )
A.9个 B.8个
C.5个 D.4个
4.若f(x)=1x的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R,则M∩N等于( )
A.M B.N
C.?UM D.?UN
六、反思小结,观点提炼
请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?
七、作业精选,巩固提高
课本P24习题1.2 A组第1,5题.
参考答案
二、自主探索,尝试解决
集合A,B都是数集,并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应.
三、信息交流,揭示规律
问题2:自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.
问题3:函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足x+3≥0,x+2≠0.解得-3≤x<-2或x>-2,
即函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞).
(2)f(-3)=-3+3+1-3+2=-1;
f(23)=23+3+123+2=38+333.
(3)∵a>0,∴a∈[-3,-2)∪(-2,+∞),
即f(a),f(a-1)有意义.
则f(a)=a+3+1a+2;
f(a-1)=a-1+3+1a-1+2=a+2+1a+1.
【例2】答案:{x|x≤1,且x≠-1}.
点评:本题容易错解:化简函数的解析式为y=x+1-1-x,得函数的定义域为{x|x≤1}.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前,不要化简解析式.
【例3】解析:法一:原式=121+12+221+22+(12)21+(12)2+321+32+(13)21+(13)2+421+42+(14)21+(14)2=12+45+15+910+110+1617+117=72.
法二:由题意得f(x)+f(1x)=x21+x2+(1x)21+(1x)2=x21+x2+11+x2=1.则原式=12+1+1+1=72.
答案:72
点评:本题主要考查对函数符号f(x)的理解.对于符号f(x),当x是一个具体的数值时,相应地f(x)也是一个具体的函数值.解法二没有分别求代数式中的每个函数值,而是看到代数式中含有f(x)+f(1x),故先探讨f(x)+f(1x)的值,从而使问题得以简单化.求含有多个函数符号的代数式值时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特点,找到规律再求解.
受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累.
五、变式演练,深化提高
1.分析:由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,则有f{f…[f(10)]}100=1.
答案:1
2.解析:当f(a)=-1时,则f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个;
当f(a)=0时,则f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1 或 f(b)=0,f(c)=0,
即此时满足条件的函数有3个;
当f(a)=1时,则f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,
即此时满足条件的函数有2个.
综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个).
故选C项.
答案:C
点评:本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数.
3.分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数.
令x2=1,得x=±1;令x2=4,得x=±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有9个.
答案:A
4.分析:由题意得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M.
答案:A
函数的概念(第二课时)
学习目标
①掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性,激发学生学习的积极性.
②启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴含的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会用数学表达和交流,发展数学的应用意识.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:y=x与y=x2x是同一个函数吗?
二、自主探索,尝试解决
问题2:指出函数y=x+1的构成要素有几部分?并思考一个函数的构成要素有几部分?
问题3:分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.
问题4:函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗?
问题5:根据问题3和问题4的研究,分析两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域一定相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?
三、信息交流,揭示规律
函数相等的条件:?
?
四、运用规律,解决问题
【例1】下列函数中哪个与函数y=x相等?
(1)y=(x)2;
(2)y=3x3;
(3)y=x2.
【例2】判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由.
(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1;
(2)f(x)=x-1,g(x)=x2-2x+1;
(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2;
(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.
【例3】设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的值域,N是函数y=f(u)的定义域,当M?N,则y成为x的函数,记为y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出下列复合函数的外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.
(1)y=1x+1;
(2)y=(x2-2x+3)2;
(3)y=1x2+1x-1.
五、变式演练,深化提高
1.判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.
①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;
②y=x2-4与y=x-2·x+2;
③y=1+1x与u=1+1x;
④y=x2与y=xx2;
⑤y=2|x|与y=2x,x≥0,-2x,x<0;
⑥y=f(x)与y=f(u).
是同一个函数的是 (把是同一个函数的序号填上即可).?
2.设f(x)=x2-1x2+1,则f(2)f(12)= .?
3.函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=1f(x),若f(1)=-5,则f[f(5)]= .?
六、反思小结,观点提炼
大家分组讨论,由各组小组长宣布本组反思结果.
七、作业精选,巩固提高
1.设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系是( )
2.某公司生产某种产品的成本为1 000元,以1 100元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入 ,它们之间是 关系.?
3.函数y=x2与S=t2是同一函数吗?
参考答案
问题1:两个函数不是同一个函数,主要是定义域不同.
问题2:①函数y=x+1的构成要素为:定义域R,对应关系x→x+1,值域是R.
②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.
问题3:两个函数的定义域和对应关系分别相同,分别为R,x→x+1,不同点是变量所用字母不同.
问题4:两个函数的值域相同,都是R.
问题5:值域一定相同.
三、信息交流,揭示规律
函数相等的条件:
如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:函数y=x的定义域是R,对应关系是x→x.
(1)∵函数y=(x)2的定义域是[0,+∞),
∴函数y=(x)2与函数y=x的定义域不相同.
∴函数y=(x)2与函数y=x不相等.
(2)∵函数y=3x3的定义域是R,
∴函数y=3x3与函数y=x的定义域相同.
又∵y=3x3=x,
∴函数y=3x3与函数y=x的对应关系也相同.
∴函数y=3x3与函数y=x相等.
(3)∵函数y=x2的定义域是R,
∴函数y=x2与函数y=x的定义域相同.
又∵y=x2=|x|,
∴函数y=x2与函数y=x的对应关系不相同.
∴函数y=x2与函数y=x不相等.
点评:本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数.
【例2】解:(1)∵f(x)=(x-1)0的定义域是{x|x≠1},函数g(x)=1的定义域是R,
∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1的定义域不同.
∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1不表示同一个函数.
(2)∵f(x)=x-1的定义域是R,g(x)=x2-2x+1=(x-1)2的定义域是R,
∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=x2-2x+1的定义域相同.
又∵g(x)=x2-2x+1=(x-1)2=|x-1|,
∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=x2-2x+1的对应关系不同.
∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=x2-2x+1不表示同一个函数.
(3)很明显f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R,
又∵f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的对应关系不同,
∴函数f(x)=x2和g(x)=(x+1)2不表示同一个函数.
(4)很明显f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的定义域都是R,
又∵f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的对应关系也相同,
∴函数f(x)=x2-1与g(u)=u2-1表示同一个函数.
【例3】解:(1)设y=1u,u=x+1(x≠-1),
即y=1x+1的外层函数是反比例函数y=1u,内层函数是一次函数u=x+1(x≠-1).
(2)设y=u2,u=x2-2x+3,
即y=(x2-2x+3)2的外层函数是二次函数y=u2,内层函数是二次函数u=x2-2x+3.
(3)设y=u2+u-1,u=1x,
即y=1x2+1x-1的外层函数是二次函数y=u2+u-1,内层函数是反比例函数u=1x.
点评:到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.
五、变式演练,深化提高
1.解析:只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.
①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;
②前者的定义域是{x|x≤-2或x≥2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;
③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;
④定义域相同,但对应法则不同,故不是同一个函数;
⑤函数y=2|x|=2x,x≥0,-2x,x<0,则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;
⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.
答案:③⑤⑥
2.-1
3.分析:∵函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=1f(x),
∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=1f(x+2)=f(x).
∴f(1)=f(1+4)=f(5).
又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5.
∴f[f(5)]=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)=1f(1)=-15.
答案:-15
函数的表示法(第一课时)
学习目标
①了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法);
②会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.
合作学习
一、设计问题,创设情境
语言是沟通人与人之间联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为生日快樂!英文为Happy Birthday!法文是Bon Anniversaire!德文是Alles Gute zum Geburtstag!西班牙文为Feliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun!荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd metjeverj aardag!在俄语中则是С днемрождения!……
问题1:对于函数,又有什么不同的表示方法呢?
二、自主探索,尝试解决
结合研究函数概念时生活中的三个例子,以及初中学过的函数的表示方法,同学们分组讨论,总结出函数的三种不同表示方法.
三、信息交流,揭示规律
函数的三种表示方法:
解析法:
图象法:
列表法:
问题2:分析对比三种不同表示方法的优缺点.
四、运用规律,解决问题
【例1】某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).
【例2】下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表:
测试序号成绩姓名
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.
【例3】将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.
【例4】向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是
( )
五、变式演练,深化提高
1.已知f(1-x1+x)=1-x21+x2,则f(x)= .?
2.已知函数f(x)=3x+7x+2.
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)观察图象写出函数的定义域和值域.
3.求下列函数的值域:
(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);
(2)y=x4+1.
六、反思小结,观点提炼
请同学们回想一下,本节课我们学了哪些函数的表示方法?在具体的实际问题中如何恰当地选择?
七、作业精选,巩固提高
课本P24习题1.2 A组第7,8,9题.
参考答案
三、信息交流,揭示规律
解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.
图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.
列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.
问题2:
解析法能够准确表达出两个变量之间的关系,简明扼要,给自变量求函数值;不足之处,比较抽象.图象法形象直观表示两个变量之间的关系,较好地反映了两个变量的变化趋势;不足之处,变量关系不够精确.列表法通过表格直接得出函数值,没有计算过程;不足之处,不能列出定义域为区间范围的所有函数值,仅能表示有限个.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},
用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可将函数y=f(x)表示为
注意:①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等;
②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;
③图象法:根据实际情境来决定是否连线;
④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
【例2】解:把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图所示.
由图可看到,王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平,但他的成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.
点评:本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.
注意:本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.
【例3】分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y表示为x的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.
解:设矩形一边长为x,则另一边长为12(a-2x),则面积y=12(a-2x)x=-x2+12ax.
又x>0,a-2x>0,得0由于y=-(x-a4)2+116a2≤116a2,
如图所示,结合函数的图象得值域为(0,116a2].
【例4】分析:要求由水瓶的形状识别容积V和高度h的函数关系,突出了对思维能力的考查.
观察图象,根据图象的特点发现:取水深h=H2,注水量V'>V02,
即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.
A图中V'<V02,C,D两图中V'=V02,故选B图.
答案:B
五、变式演练,深化提高
1.解析:可设1-x1+x=t,则有x=1-t1+t,所以f(t)=1-(1-t1+t)21+(1-t1+t)2=2t1+t2,所以f(x)=2x1+x2(x≠-1).
答案:2x1+x2(x≠-1)
2.解:(1)y=3x+7x+2=3x+6+1x+2=1x+2+3.将y=1x的图象向左平移两个单位得y=1x+2的图象,再向上平移三个单位得y=1x+2+3的图象.
图象如图所示.
(2)观察函数的图象可知,图象上所有点的横坐标的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,+∞),
图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞).
则函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞).
注意:讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,要遵守定义域优先的原则.
3.解:(1)(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象,如图所示:
函数y=x2-2x(-1≤x≤2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数的值域是[-1,3].
(2)方法一:(观察法)函数的定义域是R,由x4≥0,有x4+1≥1,即函数y=x4+1的值域是[1,+∞).
方法二:(换元法)函数的定义域是R,设x2=t,则t≥0,则有y=t2+1.利用图象可求得当t≥0时,二次函数y=t2+1的值域是[1,+∞),即函数y=x4+1的值域是[1,+∞).
函数的表示(第三课时)
学习目标
①了解映射的概念及表示方法;
②会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射;
③感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.
合作学习
一、设计问题,创设情境
前面学习了函数的概念:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一的数和它对应.
(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应.
(2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应.
(3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.
那么这些对应又有什么特点呢?
二、自主探索,尝试解决
问题1:①给出以下对应关系:
这三个对应关系有什么共同特点?
②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义.
③“都有唯一”是什么意思?
④函数与映射有什么关系?
三、信息交流,揭示规律
分组讨论归纳的结论:
①
②
③
④
四、运用规律,解决问题
【例1】下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?
(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;
(2)A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;
(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;
(4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.
【例2】下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么?
(1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应法则是“求平方”;
(2)A=R,B={x∈R|x>0},对应法则是“求平方”;
(3)A={x∈R|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;
(4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.
【例3】设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),求:
(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素;
(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应?
五、变式演练,深化提高
1.设映射f:x→-x2+2x是实数集R=M到实数集R=N的映射,若对于实数p∈N,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
2.设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):
表1 映射f的对应法则
原象
1
2
3
4
象
3
4
2
1
表2 映射g的对应法则
原象
1
2
3
4
象
4
3
1
2
则与f[g(1)]相同的是( )
A.g[f(1)] B.g[f(2)]
C.g[f(3)] D.g[f(4)]
3.设集合A={a,b,c},集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是( )
A.对集合A中的数开平方
B.对集合A中的数取倒数
C.对集合A中的数取算术平方根
D.对集合A中的数立方
六、反思小结,观点提炼
请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?
七、作业精选,巩固提高
必做:课本P23练习4.
选做:已知下列集合A到B的对应,请判断哪些是A到B的映射?并说明理由.
(1)A=N,B=Z,对应法则:“取相反数”;
(2)A={-1,0,2},B={-1,0,12},对应法则:“取倒数”;
(3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”;
(4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},对应法则f:a→b=(a-1)2;
(5)A=N*,B={0,1},对应法则:除以2所得的余数.
参考答案
三、信息交流,揭示规律
①集合A,B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.
②一般地,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:A→B”.
如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y,那么集合A中的元素x叫做集合B中的元素y的原象,集合B中的元素y叫做集合A中的元素x的象.
③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.
④函数是特殊的映射,映射是函数的推广.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义.
【例2】解:(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.
(2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素.
(3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.
(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中都有无穷多个元素与之对应.
点评:本题主要考查映射的概念.给定两集合A,B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”“一对一”“一对多”,前两种对应是A到B的映射,而后一种不是A到B的映射.
【例3】解:(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即(-3,1).
(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应,
则x-y=-1,x+y=2,解得x=12,y=32.
所以A中元素(12,32)与B中元素(-1,2)对应.
五、变式演练,深化提高
1.解析:方法一:由于集合M,N都是数集,
则映射f:x→-x2+2x就是函数f(x)=-x2+2x,其定义域是M=R,
则有值域Q={y|y≤1}?N=R.对于实数p∈N,在M中不存在原象,
则实数p的取值范围是?NQ=?RQ={y|y>1},即p的取值范围是(1,+∞);
方法二:当p=0时,方程-x2+2x=0有解x=0,2,
即在M中存在原象0和2,
则p=0不合题意,排除C,D两项;
当p=1时,方程-x2+2x=1有解x=1,即在M中存在原象1,则p=1不合题意,
排除B项.
答案:A
点评:本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.
2.解析:f(a)表示在对应法则f下a对应的象,g(a)表示在对应法则g下a对应的象.
由表1和表2,得f[g(1)]=f(4)=1,g[f(1)]=g(3)=1,g[f(2)]=g(4)=2,g[f(3)]=g(2)=3,g[f(4)]=g(1)=4,
则有f[g(1)]=g[f(1)]=1,
故选A.
答案:A
3.解析:当a<0时,对a开平方或取算术平方根均无意义,则A,C两项错;当a=0时,对a取倒数无意义,则B项错;由于对任何实数都能立方,并且其立方仅有一个,所以对集合A中的数立方能建立映射,故选D项.
答案:D
函数的表示(第二课时)
学习目标
①通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提高应用函数解决实际问题的能力,增加学习数学的兴趣;
②会用描点法画一些简单函数的图象,培养学生应用函数的图象解决问题的能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:当x>1时,f(x)=x+1;当x≤1时,f(x)=-x,请写出函数f(x)的解析式.
二、自主探索,尝试解决
问题2:问题1中的函数的解析式有什么特点?
三、信息交流,揭示规律
问题3:函数f(x)=x+1,x>1,-x,x≤1是一个函数还是两个函数?
问题4:分段函数是一个函数,那它的定义域和值域是什么?
问题5:同学们能否举出生活中用分段函数描述的实际问题?
四、运用规律,解决问题
【例1】画出函数y=|x|的图象.
【例2】已知函数y=x+4,x≤0,x2-2x,04.
(1)求f{f[f(5)]}的值;
(2)画出函数的图象.
【例3】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;
(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).
如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.
五、变式演练,深化提高
1.某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与行程千米数x(千米)之间的函数关系式是 .?
2.已知函数f(x)=-x2+2x,x>0,1,x=0,-x-1,x<0.
(1)求f(-1),f[f(-1)],f{f[f(-1)]}的值;
(2)画出函数的图象.
3.若定义运算a☉b=b,a≥b,a,a4.如图所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从B点开始沿着折线BC,CD,DA前进至A,若P点运动的路程为x,△PAB的面积为y.
(1)写出y=f(x)的解析式,指出函数的定义域;
(2)画出函数的图象并求出函数的值域.
六、反思小结,观点提炼
本节课我们学了哪些内容,请同学们进行回顾和总结.
七、作业精选,巩固提高
课本P25习题1.2 B组第3,4题.
参考答案
问题1:函数f(x)=x+1,x>1,-x,x≤-1.
问题2:函数f(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.
问题3:函数f(x)是一个函数.分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数.
问题4:分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
【例1】方法一:由绝对值的概念,我们有y=x,x≥0,-x,x<0.
所以,函数y=|x|的图象如图所示.
方法二:画函数y=x的图象,将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方,与函数y=x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象,如上图所示.
【例2】解:(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.
∵-3<0,
∴f[f(5)]=f(-3)=-3+4=1.
∵0<1<4,∴f{f[f(5)]}=f(1)=12-2×1=-1,即f{f[f(5)]}=-1.
(2)图象如图所示:
【例3】解:设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x∈(0,20].
由公共汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:
y=2,0根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
点评:本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式.
注意:①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;
②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.
五、变式演练,深化提高
1.分析:根据行程是否大于100千米来求出解析式.
答案:y=0.5x,0≤x≤100,50+0.4x,x>100.
2.解:(1)f(-1)=0;f[f(-1)]=f(0)=1;
f{f[f(-1)]}=f(1)=-12+2×1=1.
(2)函数图象如图所示:
3.分析:由题意得f(x)=x,x≤1,2-x,x>1.画函数f(x)的图象得值域是(-∞,1].
答案:(-∞,1]
点评:本题主要考查分段函数的解析式和图象.求分段函数的函数值时,要注意自变量在其定义域的哪一段上,依次代入分段函数的解析式.
画分段函数y=f1(x),x∈D1,f2(x),x∈D2,…,…,….(D1,D2,…,两两交集是空集)的图象步骤是:
(1)画整个函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去不要;
(2)画整个函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去不要;
(3)依次画下去;
(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.
4.解:(1)分类讨论:
①当P在BC上运动时,易知∠B=60°,则知
y=12×10×(xsin60°)=532x,0≤x≤4.
②当P点在CD上运动时,
y=12×10×23=103,4③当P在DA上运动时,
y=12×10×(14-x)sin60°=-532x+353,10综上所得,函数的解析式为
y=532x,0≤x≤4,103,4(2)f(x)的图象如图所示:
由图象,可知y的取值范围是0≤y≤103,
即函数f(x)的值域为[0,103].
