单调性与最大(小)值(第一课时)
学习目标
①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;
②通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;
③通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.
合作学习
一、设计问题,创设情境
德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.
时间间隔t
0分钟
20分钟
60分钟
8~
9小时
1天
2天
6天
一个月
记忆量y
(百分比)
100%
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
二、自主探索,尝试解决
记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.
问题1:如图所示为一次函数y=x、二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?
问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?
问题3:如何理解图象是上升的?
问题4:在数学上规定:函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?
三、信息交流,揭示规律
1.增函数的定义
问题5:增函数的定义中,把“当x1
x2时,都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?
问题6:增函数的定义中,“当x1问题7:类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?
2.减函数的定义
减函数的几何意义:
问题8:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?
四、运用规律,解决问题
【例1】如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
【例2】物理学中的玻意耳定律p=kV(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.
【例3】(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象;
(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;
(3)当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围.
五、变式演练,深化提高
1,已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数;
(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(a2,0)成中心对称图形.
2.(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(3)定义在[-4,8]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?
(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.
3.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)六、反思小结,观点提炼
1.本节课你有哪些收获?函数的单调性概念明白了吗?常用的判断、证明方法有哪些?
2.你对自己本节课的表现有何评价?
3.你在与同学的交流中有何感受?
4.你对本节课还有哪些困惑和建议?
七、作业精选,巩固提高
课本P39习题1.3 A组第2,3,4题.
参考答案
问题1:函数y=x的图象从左向右看是上升的;函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.
问题2:函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
问题3:按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.
问题4:增函数定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1问题5:可以.增函数的定义:由于当x1x2时,都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”,也就是说前面是“>”,后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.
问题6:函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.
2.减函数定义(板书)
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为:步调不一致减函数.
减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增大而减小.
问题8:函数y=f(x)在区间D上函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:函数y=f(x)的单调区间是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数y=f(x)在区间[-5,2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是:第一步,画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
【例2】证明:设V1,V2∈(0,+∞)且V1则p1=kV1,p2=kV2.
p1-p2=kV1-kV2=k(V2-V1)V1V2.
∵k>0,V10,V2>0.
∴k(V2-V1)V1V2>0,∴p1>p2.
根据减函数的定义知p=kV在(0,+∞)上是减函数.
点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步,在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1【例3】解:(1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图所示.
(2)设x1,x2∈(-∞,1],且x1f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1,x2∈(-∞,1],且x1∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数.
(3)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m的取值范围是(-∞,1].
五、变式演练,深化提高
1.解:(1)设x1,x2∈R,且x1F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)]
=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)].
又∵函数f(x)是R上的增函数,x1∴f(x1)∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0.
∴F(x1)(2)设点M(x0,F(x0))是函数F(x)的图象上任意一点,则点M(x0,F(x0))关于点(a2,0)的对称点为M'(a-x0,-F(x0)).
又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0))
=f(a-x0)-f(x0)=-[f(x0)-f(a-x0)]
=-F(x0),
∴点M'(a-x0,-F(x0))也在函数F(x)的图象上,
又∵点M(x0,F(x0))是函数F(x)的图象上任意一点,
∴函数y=F(x)的图象关于点(a2,0)成中心对称图形.
2.解:(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而函数在此两区间上的单调性相反.
(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而函数在此两区间上的单调性相反.
(3)函数y=f(x),x∈[-4,8]的图象如图所示:
函数y=f(x)的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反,区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反.
(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:
不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a,b]上是增函数,区间[a,b]关于直线x=m的对称区间是[2m-b,2m-a].
由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).
设2m-b≤x12m-x2≥a,
f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).
又∵函数y=f(x)在[a,b]上是增函数,
∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.
∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).
∴函数y=f(x)在区间[2m-b,2m-a]上是减函数.
∴当函数y=f(x)在对称轴x=m的一侧一个区间[a,b]上是增函数时,其在[a,b]关于直线x=m的对称区间[2m-b,2m-a]上是减函数,即单调性相反.
因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.
3.解析:∵f(x)的定义域是(0,+∞),
∴2a2+a+1>0,3a2-4a+1>0.解得a<13或a>1.
∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.
∴0答案:(0,13)∪(1,5)
单调性与最大(小)值(第二课时)
学习目标
①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;
②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.
合作学习
一、设计问题,创设情境
某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为10000xm,所建围墙y m,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?
二、自主探索,尝试解决
问题1:如图所示是函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.
问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?
问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?
问题4:问题1中,在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y),如图所示,设点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象有最高点C?
三、信息交流,揭示规律
问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?
1.函数最大值的定义
问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?
问题7:函数最大值的几何意义是什么?
问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?
问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?
问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?
问题11:类比函数的最大值,请你给出函数最小值的定义及其几何意义.
2.函数最小值的定义
问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么?
四、运用规律,解决问题
【例1】求函数y=2x-1在区间[2,6]上的最大值和最小值.
【例2】画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,指出函数的单调区间和最大值.
【例3】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1 m)?
五、变式演练,深化提高
1.已知函数f(x)=x+1x(x>0).
(1)证明当0(2)求函数f(x)的最小值.
2.求函数y=3-x1+2x(x≥0)的最大值.
3.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.
4.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.
六、反思小结,观点提炼
请同学们从下列几方面分组讨论:
1.函数的最值及几何意义如何?
2.你学了哪几种求函数最值的方法?
3.求函数最值时,要注意什么原则?
七、作业精选,巩固提高
课本P39习题1.3 A组第5题,B组第1,2题.
参考答案
问题1:函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
问题2:函数图象是点的集合,是函数y=f(x)的一种表示形式,其上每一点的坐标(x,y)的意义是:自变量x的取值为横坐标,相应的函数值y为纵坐标.图象从“形”的角度描述了函数的变化规律.
问题3:图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
问题4:由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.
三、信息交流,揭示规律
问题5:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
问题6:f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.
问题7:函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用.
问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.
问题9:不是,因为该函数的定义域中没有-1.
问题10:讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.
问题11:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.
问题12:讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:设2≤x1f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2-1=2[(x2-1)-(x1-1)](x1-1)(x2-1)
=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1),
∵2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0.
∴f(x1)>f(x2),即函数y=2x-1在区间[2,6]上是减函数.
所以,当x=2时,函数y=2x-1在区间[2,6]上取得最大值f(2)=2;
当x=6时,函数y=2x-1在区间[2,6]上取得最小值 f(6)=25.
【例2】解:函数图象如图所示.
由图象得,函数的图象在区间(-∞,-1)和[0,1]上是上升的,在[-1,0)和(1,+∞)上是下降的,最高点是(-1,4)和(1,4),
故函数在(-∞,-1),[0,1]上是增函数;函数在[-1,0),(1,+∞)上是减函数,最大值是4.
点评:本题主要考查函数的单调性和最值,以及最值的求法.求函数的最值时,先画函数的图象,确定函数的单调区间,再用定义法证明,最后借助单调性写出最值,这种方法适用于做解答题.
单调法求函数最值:先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值;常用到下面的结论:
①如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x)在[a,c]上,当x=b时取最大值f(b);
②如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x)在[a,c]上,当x=b时取最小值f(b).
【例3】
解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象,如图所示,
显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
当t=-14.72×(-4.9)=1.5时,函数有最大值
h=4×(-4.9)×18-14.724×(-4.9)≈29.
即烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约是29 m.
点评:本题主要考查二次函数的最值问题,以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是:①审清题意读懂题;②将实际问题转化为数学问题来解决;③归纳结论.
注意:要坚持定义域优先的原则;求二次函数的最值要借助图象,即数形结合.
五、变式演练,深化提高
1.解:(1)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=(x1+1x1)-(x2+1x2)=(x1-x2)+x2-x1x1x2=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2,
∵x10.
当0∴f(x1)-f(x2)>0.
∴f(x1)>f(x2),即当0当1≤x10,
∴f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x1)(2)方法一:由(1)得当x=1时,函数f(x)=x+1x,x>0取最小值.
又f(1)=2,则函数f(x)=x+1x,x>0取最小值2.
方法二:借助于计算机软件画出函数f(x)=x+1x,x>0的图象,如图所示,
由图象知,当x=1时,函数f(x)=x+1x,x>0取最小值f(1)=2.
2.解:可证明函数y=3-x1+2x(x≥0)是减函数,
∴函数y=3-x1+2x(x≥0)的最大值是f(0)=3.
3.解:方法一:(图象法)y=|x+1|+|x-1|=-2x,x≤-1,2,-1由图象得,函数的最小值是2,无最大值.
方法二:(数形结合)函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是:y是数轴上任意一点P到±1的对应点A,B的距离的和,即y=|PA|+|PB|,如图所示,
观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2,即函数有最小值2,无最大值.
4.解:设商品售价定为x元时,利润为y元,则
y=(x-8)[60-(x-10)·10]
=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10当且仅当x=12时,y有最大值160元,
即售价定为12元时可获最大利润160元.
奇偶性
学习目标
①理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力;
②学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法,渗透数形结合的数学思想.
合作学习
一、设计问题,创设情境
众所周知,我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,请大家想一下有哪些美呢?(有和谐美、自然美、对称美…)今天,我们就来讨论对称美,请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(在屏幕上给出一组图片:喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志.)把生活中的美引入我们的数学领域中,它又是怎样的情况呢?下面,我们以麦当劳的标志为例,给它适当地建立直角坐标系,那么大家发现了什么特点呢?
二、自主探索,尝试解决
问题1:如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.
问题2:那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?填写表1和表2,你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?
表1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=x2
表2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=|x|
三、信息交流,揭示规律
问题3:请给出偶函数的定义.
1.偶函数的定义
问题4:偶函数的图象有什么特征?
问题5:函数f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗?
问题6:偶函数的定义域有什么特征?
问题7:观察函数f(x)=x和f(x)=1x的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质.
2.奇函数的定义
给出偶函数和奇函数的定义后,要指明:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
四、运用规律,解决问题
【例1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4;
(2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+1x;
(4)f(x)=1x2.
【例2】已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)= .?
【例3】已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)试比较f(-52)与f(74)的大小.
五、变式演练,深化提高
1.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x2+x4,x∈[-3,1];
(2)f(x)=x3-x2x-1;
(3)f(x)=x2-4+4-x2;
(4)f(x)=1+x2+x-11+x2+x+1.
2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+3x,求f(x).
3.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
(1)求f(1),f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
六、反思小结,观点提炼
本节课主要学习了函数的什么性质?如何判断或证明此性质?
七、作业精选,巩固提高
课本P39习题1.3 A组第6题,B组第3题.
参考答案
问题2:这两个函数的解析式都满足:
f(-3)=f(3);
f(-2)=f(2);
f(-1)=f(1).
可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数,它们对应的函数值相等,也就是说对于函数定义域内任一个x,都有f(-x)=f(x).
表1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=x2
9
4
1
0
1
4
9
表2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)=|x|
3
2
1
0
1
2
3
问题3:一般地,对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
问题4:偶函数的图象关于y轴对称.
问题5:函数f(x)=x2,x∈[-1,2]的图象关于y轴不对称;对定义域[-1,2]内x=2,f(-2)不存在,即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定在定义域内,即f(-x)=f(x)不恒成立,所以不是偶函数.
问题6:偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内,此时称函数的定义域关于原点对称.
问题7:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点对称.
(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
(2)由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
(4)可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性,这种方法称为定义法;
(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质,是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质,是“局部”性质.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x),
所以函数f(x)=x4是偶函数.
(2)函数的定义域是R,对定义域内任意一个x,都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),
所以函数f(x)=x5是奇函数.
(3)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=-x+1-x=-(x+1x)=-f(x),
所以函数f(x)=x+1x是奇函数.
(4)函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个x,都有f(-x)=1(-x2)=1x2=f(x),
所以函数f(x)=1x2是偶函数.
点评:利用定义判断函数奇偶性的步骤:
①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
②确定f(-x)与f(x)的关系;
③作出相应结论:
若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
【例2】解析:当x∈(0,+∞)时,则-x<0.
又∵当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,
∴f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.
答案:-x-x4
点评:本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性,求函数的解析式时,要充分利用函数的奇偶性的定义,将所求解析式对应的区间上的函数值转化为已知解析式对应的区间上的函数值.
【例3】解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),
∴f(1)=0.
令x1=x2=-1,得f(1)=f[-1×(-1)]=f(-1)+f(-1),∴2f(-1)=0.
∴f(-1)=0.
∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)设x2>x1>0,则
f(x2)-f(x1)=f(x1·x2x1)-f(x1)=f(x1)+f(x2x1)-f(x1)=f(x2x1).
∵x2>x1>0,∴x2x1>1.
∴f(x2x1)>0,即f(x2)-f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)由(1)知f(x)是偶函数,则有f(-52)=f(52).
由(2)知f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(52)>f(74).∴f(-52)>f(74).
点评:本题是抽象函数问题,主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法,比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较,其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.
五、变式演练,深化提高
1.解:(1)因为它的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)=x2+x4,x∈[-3,1]既不是奇函数又不是偶函数.
(2)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1},并不关于原点对称,所以函数f(x)=x3-x2x-1既不是奇函数又不是偶函数.
(3)∵x2-4≥0且4-x2≥0,
∴x=±2,
即f(x)=0,其定义域是{-2,2}.
∵f(2)=0,f(-2)=0,
∴f(2)=f(-2),f(2)=-f(-2).
∴f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x).
∴f(x)既是奇函数也是偶函数.
(4)函数的定义域是R.
∵f(-x)+f(x)=1+x2-x-11+x2-x+1+1+x2+x-11+x2+x+1
=1+x2-(x+1)2+1+x2-(x-1)2(1+x2-x+1)(1+x2+x+1)
=1+x2-x2-2x-1+1+x2-x2+2x-1(1+x2-x+1)(1+x2+x+1)
=0,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
点评:本题主要考查函数的奇偶性.
定义法判断函数奇偶性的步骤是:
(1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等.
(2)当f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数.
(3)当f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数.
(4)当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.
(5)判断解析式复杂的函数的奇偶性时,如果定义域关于原点对称时,通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.
2.解:当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=0;
当x<0时,-x>0,由于函数f(x)是奇函数,则
f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3(-x)]=-x2+3x.
综上所得,f(x)=x2+3x,x>0,0,x=0,-x2+3x,x<0.
3.解:(1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),
∴令x=y=1时,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1).
∴f(1)=0.
∴令x=y=-1时,有f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).
∴f(-1)=0.
(2)是奇函数.
∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),
∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).
将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.
