高中物理教科版必修1学案 牛顿力学中的板块模型 Word版含解析

牛顿力学中的板块模型——基础篇
【分析思路】

【方法技巧】

说明：本专题分牛顿力学中的板块模型（一）和牛顿力学中的板块模型（二），这是专题（一）
一、不定项选择题
1.如图所示,一足够长的木板静止在光滑水平面上,一物块静止在木板上,木板和物块间有摩擦。现用水平力向右拉木板,当物块相对木板滑动了一段距离但仍有相对运动时撤掉拉力,此后木板和物块相对于水平面的运动情况为(　　)

A.物块先向左运动,再向右运动
B.物块向右运动,速度逐渐增大,直到做匀速运动
C.木板向右运动,速度逐渐变小,直到做匀速运动
D.木板和物块的速度都逐渐变小,直到为零
【解析】选B、C。开始时,物块相对木板向左滑动,物块受到向右的滑动摩擦力,木板受到向左的滑动摩擦力,当撤掉拉力时,由于v木>v物,物块和木板受到的滑动摩擦力大小、方向均不变,故木板向右做匀减速运动,物块向右做匀加速运动,直到两者速度相等后,一起做匀速运动,B、C正确。
2．如图2所示，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板，其上叠放一质量为m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t增大的水平力F＝kt(k是常量)，木板和木块加速度的大小分别为a1和a2。下列反映a1和a2变化的图线中正确的是(　　)

图2

【解析】当F比较小时，两个物体相对静止，加速度相同，根据牛顿第二定律得：a＝＝，a∝t
当F比较大时，m2相对于m1运动，根据牛顿第二定律得
对m1：a1＝，μ、m1、m2都一定，则a1一定
对m2：a2＝＝＝t－μg，a2是t的线性函数，t增大，a2增大
由于＜，则两木板相对滑动后a2图象大于两者相对静止时图象的斜率，故A正确。
3．(多选)如图3所示，A、B两物块的质量分别为2 m和m，静止叠放在水平地面上。A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对A施加一水平拉力F，则(　　)

图3
A．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止
B．当F＝μmg时，A的加速度为μg
C．当F>3μmg时，A相对B滑动
D．无论F为何值，B的加速度不会超过μg
【解析】选BCD　A、B间的最大静摩擦力为2μmg，B和地面之间的最大静摩擦力为μmg，对A、B整体，只要F＞μmg，整体就会运动，选项A错误；当A对B的摩擦力为最大静摩擦力时，A、B将要发生相对滑动，故A、B一起运动的加速度的最大值满足2μmg－μmg＝mamax，B运动的最大加速度amax＝μg，选项D正确；对A、B整体，有F－μmg＝3mamax，则F＞3μmg时两者会发生相对运动，选项C正确；当F＝μmg时，两者相对静止，一起滑动，加速度满足F－μmg＝3ma，解得a＝μg，选项B正确。
4．如图4甲所示，静止在光滑水平面上的长木板B(长木板足够长)的左端静止放着小物块A。某时刻，A受到水平向右的外力F作用，F随时间t的变化规律如图乙所示，即F＝kt，其中k为已知常数。设物体A、B之间的滑动摩擦力大小等于最大静摩擦力Ff，且A、B的质量相等，则下列可以定性描述长木板B运动的v-t图像是(　　)

图4

图5
【解析】选B　A、B相对滑动之前加速度相同，由整体法可得：F＝2ma，当A、B间刚好发生相对滑动时，对木板有Ff＝ma，故此时F＝2Ff＝kt，t＝，之后木板做匀加速直线运动，故只有B项正确。
5．如图6所示，一长木板在水平地面上运动，在某时刻(t＝0)将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。在物块放到木板上之后，木板运动的速度－时间图象可能是下列选项中的(　　)

图6

【解析】设在木板与物块未达到相同速度之前，木板的加速度为a1，物块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数为μ2。对木板应用牛顿第二定律得：
－μ1mg－μ2·2mg＝ma1
a1＝－(μ1＋2μ2)g
设物块与木板达到相同速度之后，木板的加速度为a2，对整体有－μ2·2mg＝2ma2
a2＝－μ2g，可见|a1|＞|a2|
由v－t图象的斜率表示加速度大小可知，图象A正确。
【答案】A
6．如图7所示，质量为m1的足够长木板静止在光滑水平面上，其上放一质量为m2的木块。t＝0时刻起，给木块施加一水平恒力F。分别用a1、a2和v1、v2表示木板、木块的加速度和速度大小，图中可能符合它们运动情况的是(　　)

图7

【解析】若长木板和木块之间没有相对滑动，A对；若长木板和木块之间有相对滑动，则a2>a1，B、D错，C对。
【答案】AC
7．如图所示，质量为m1的木块和质量为m2的长木板叠放在水平地面上。现对木块施加一水平向右的拉力F。木块在长木板上滑行，而长木板保持静止状态。已知木块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2，且最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则(　　)

A．μ1>μ2
B．μ1<μ2
C．若改变F的大小，当F>μ1(m1＋m2)g时，长木板将开始运动
D．若将F作用于长木板，当F>(μ1＋μ2)(m1＋m2)g时，长木板与木块将开始相对滑动
【解析】对m1，根据牛顿运动定律有：F－μ1m1g＝m1a；对m2，由于保持静止有：μ1m1g－Ff＝0，Ff<μ2(m1＋m2)g，所以动摩擦因数的大小从中无法比较，故A、B错误；改变F的大小，只要木块在木板上滑动，则木块对木板的滑动摩擦力不变，则长木板仍然保持静止，故C错误；若将F作用于长木板，当木块与木板恰好开始相对滑动时，对木块，μ1m1g＝m1a，解得a＝μ1g，对整体分析，有F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，解得F＝(μ1＋μ2)(m1＋m2)g，所以当F>(μ1＋μ2)(m1＋m2)g时，长木板与木块将开始相对滑动，故D正确。
8． (多选)一长轻质木板置于光滑水平地面上，木板上放着质量分别为mA＝1 kg和mB＝2 kg的A、B两物块，A、B与木板之间的动摩擦因数都为μ＝0.2，水平恒力F作用在A物块上，如图所示(重力加速度g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)

A．若F＝1 N，则物块、木板都静止不动
B．若F＝1.5 N，则A物块所受摩擦力大小为1.5 N
C．若F＝4 N，则B物块所受摩擦力大小为2 N
D．若F＝8 N，则B物块的加速度为1.0 m/s2
【解析】A与木板间的最大静摩擦力fA＝μAmAg＝0.2×1×10 N＝2 N，B与木板间的最大静摩擦力fB＝μmBg＝0.2×2×10 N＝4 N，F＝1 NfA，所以A在木板上滑动，B和木板整体受到摩擦力2 N，轻质木板的质量不计，所以B的加速度a＝1 m/s2，对B进行受力分析，摩擦力提供加速度，f′＝mBa＝2×1 N＝2 N，故C、D正确。
9.如图8所示，A、B两个物体叠放在一起，静止在粗糙水平地面上，物体B与水平地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，物体A与B之间的动摩擦因数μ2＝0.2。已知物体A的质量m＝2 kg，物体B的质量M＝3 kg，重力加速度g取10 m/s2。现对物体B施加一个水平向右的恒力F，为使物体A与物体B相对静止，则恒力的最大值是(物体间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)

图8
A．20 N B．15 N C．10 N D．5 N
【解析】对物体A、B整体，由牛顿第二定律，Fmax－μ1(m＋M)g＝(m＋M)a；对物体A，由牛顿第二定律，μ2mg＝ma；联立解得Fmax＝(m＋M)(μ1＋μ2)g，代入相关数据得Fmax＝15 N，选项B正确。
【答案】B
10．如图9所示，木块A、B静止叠放在光滑水平面上，A的质量为m，B的质量为2m。现施加水平力F拉B，A、B刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动。若改为水平力F′拉A，使A、B也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F′不得超过(　　)

图9
A．2F B. C．3F D.
【解析】水平力F拉B时，A、B刚好不发生相对滑动，这实际上是将要滑动但尚未滑动的一种临界状态，从而可知此时A、B间的摩擦力即为最大静摩擦力。
先用整体法考虑，对A、B整体F＝(m＋2m)a。
再将A隔离可得A、B间最大静摩擦力为fm＝ma，解以上两方程可得fm＝。
若将F′作用在A上，隔离B可得B能与A一起运动，而A、B不发生相对滑动的最大加速度a′＝，再用整体法考虑，对A、B整体F′＝(m＋2m)a′，由以上方程解得F′＝。
【答案】B
11． (多选)如图A、B两物体叠放在光滑水平桌面上，轻质细绳一端连接B，另一端绕过定滑轮连接C物体，已知A和C的质量都是1 kg，B的质量是2 kg，A、B间的动摩擦因数是0.3，其它摩擦不计。由静止释放，C下落一定高度的过程中(C未落地，B未撞到滑轮)，下列说法正确的是(　　)

A．A、B两物体发生相对滑动
B．A物体受到的摩擦力大小为2.5 N
C．B物体的加速度大小是2.5 m/s2
D．细绳的拉力大小等于10 N
【解析】假设A、B相对静止，将A、B、C看做一个整体，对整体有mCg＝(mA＋mB＋mC)a，解得a＝2.5 m/s2，则A的加速度为a＝2.5 m/s2，水平方向上B给A的静摩擦力产生加速度，即有f＝mAa，即得f＝2.5 N，而A、B间发生相对滑动的最大静摩擦力为fm＝μmAg＝3 N>f，故假设成立，所以A、B相对静止，A错误，B、C正确；设绳子的拉力为T，则根据牛顿第二定律可得T＝(mA＋mB)a＝7.5 N，故D错误。
12．如图10所示，质量为M＝2 kg、长为L＝2 m的长木板静止放置在光滑水平面上，在其左端放置一质量为m＝1 kg的小木块(可视为质点)，小木块与长木板之间的动摩擦因数为μ＝0.2。先相对静止，然后用一水平向右F＝4 N的力作用在小木块上，经过时间t＝2 s，小木块从长木板另一端滑出，g取10 m/s2，则(　　)

图10
A．滑出瞬间木块速度2 m/s B．滑出瞬间木块速度4 m/s
C．滑出瞬间木板速度2 m/s D．滑出瞬间木板速度4 m/s
【解析】小木块加速度a1＝＝ m/s2＝2 m/s2，木板加速度a2＝＝1 m/s2，脱离瞬间小木块速度v1＝a1t＝4 m/s，A错误，B正确；木板速度v2＝a2t＝2 m/s，C正确，D错误。
【答案】BC
13．如图11所示，光滑水平面上有一矩形长木板，木板左端放一小物块，已知木板质量大于物块质量，t＝0时两者从图中位置以相同的水平速度v0向右运动，碰到右面的竖直挡板后木板以与原来等大反向的速度被反弹回来，运动过程中物块一直未离开木板，则关于物块运动的速度v随时间t变化的图象可能正确的是(　　)

图11


【解析】开始物块随木板一起匀速运动，木板碰到挡板原速率返回后，物块先向右匀减速运动，速度为零后，向左匀加速运动到与木板同速后一起匀速运动．
【答案】A
14．如图12所示，在光滑水平面上放着两块长度相同、质量分别为M1和M2的木板，在两木板的左端各放一个大小、形状、质量完全相同的物块m，开始时，各物块均静止，今在两物块上各作用一水平恒力F1、F2，当物块和木板分离时，两木板的速度分别为v1和v2.物块和木板间的动摩擦因数都相同．下列说法正确的是(　　)

图12
A．若F1＝F2，M1＞M2，则v1＞v2 B．若F1＝F2，M1＜M2，则v1＜v2
C．若F1＞F2，M1＝M2，则v1＞v2 D．若F1＜F2，M1＝M2，则v1＞v2
【解析】物块和木板均做初速度为零的匀加速直线运动，即板长L＝(a－a′)t2，物块加速度a＝，木板加速度a′＝.若F1＝F2，M1＞M2，则物块加速度相等，木板1加速度小于木板2加速度，可得t1【答案】D
15．如图13甲所示，一质量为M的长木板静置于光滑水平面上，其上放置质量为m的小滑块．木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出其加速度a，得到如图乙所示的a－F图象．取g＝10 m/s2，则(　　)

图13
A．滑块的质量m＝2 kg B．木板的质量M＝4 kg
C．当F＝8 N时滑块加速度为1 m/s2 D．滑块与木板间动摩擦因数为0.2
【解析】当F＝6 N时，a＝1 m/s2
对整体受力分析F＝(M＋m)a，代入得M＋m＝6 kg
F>6 N后，对M：F－μmg＝Ma即a＝－.
对应图象知，斜率k＝＝＝即M＝2 kg，则m＝4 kg，A、B错误．
F＝6 N时，a＝1 m/s2代入F－μmg＝Ma，得μ＝0.1，D错误．
F＝8 N时，对m：a＝＝μg＝1 m/s2，C正确．
【答案】C
二、计算题
（一）斜面上的板块模型
16．如图，倾角θ=30o的光滑斜面底端固定一块垂直于斜面的挡板。将长木板A静置于斜面上，A上放置一小物块B，初始时A下端与挡板相距L=4 m，现同时无初速释放A和B。已知在A停止运动之前B始终没有脱离A且不会与挡板碰撞。A和B的质量均为m=1 kg，它们之间的动摩擦因数，A或B与挡板每次碰撞损失的动能均为ΔE=10 J。忽略碰撞时间，重力加速度大小g取10 m/s2。求

（1）A第一次与挡板碰前瞬间的速度大小v；
（2）A第一次与挡板碰撞到第二次与挡板碰撞的时间Δt；
（3）B相对于A滑动的可能最短时间t。
【解析】（1）B和A一起沿斜面向下运动，由机械能守恒定律有
 ①
由①式得  ②
（2）第一次碰后，对B有
 故B匀速下滑 ③
对A有
 ④
得A的加速度 ，方向始终沿斜面向下， A将做类竖直上抛运动⑤
设A第1次反弹的速度大小为v1，由动能定理有
 ⑥
⑦
由⑥⑦式得 ⑧
（3）设A第2次反弹的速度大小为v2，由动能定理有
 ⑨
得 ⑩
即A与挡板第2次碰后停在底端，B继续匀速下滑，与挡板碰后B反弹的速度为，加速度大小为a′，由动能定理有
 ?
 ?
此后A将一直静止在斜面上，由式得：
B沿A向上做匀减速运动的时间  ?
当B速度为0时，因， B将静止在A上。?
当A停止运动时，B恰好匀速滑至挡板处，B相对A运动的时间t最短，?
故最短时间 ?
17.如图所示,物块P(可视为质点)和木板Q的质量均为m=1kg,P与Q之间、Q与水平地面之间的动摩擦因数分别为μ1=0.5和μ2=0.2,开始时P静止在Q的左端,Q静止在水平地面上。某时刻对P施加一大小为10N,方向与水平方向成θ=37°斜向上的拉力F,此时刻为计时起点;在第1s末撤去F,最终P恰好停在Q的右端,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,求木板Q的长度。(sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取10m/s2)

【解析】有拉力F作用在物块P上时,对物块P进行受力分析,
在竖直方向上：Fsinθ+FN1=mg;
水平方向所受摩擦力Ff1=μ1FN1=2N;
对木板Q进行受力分析,竖直方向上FN=FN1′+mg;FN1′=FN1;
地面对Q的最大静摩擦力Ffm=μ2FN=2.8N;
因为Ff1′= Ff1对物块P,由牛顿第二定律得Fcosθ-Ff1=ma1;
由运动学公式得v1=a1t1=6m/s;
由运动学公式x1=a1;解得x1=3m;
撤去力F后,对物块P由牛顿第二定律得μ1mg=ma2;a2=5m/s2;
对木板Q由牛顿第二定律得μ1mg-2μ2mg=ma3;a3=1m/s2;
当P、Q速度相等时,P恰好到达Q的右端,之后两物体不再发生相对滑动,相对静止一起减速到零。由运动学公式得v1-a2t2=a3t2;t2=1s;
物块P的位移xP=v1t2-a2;木板Q的位移xQ=a3;
相对位移x2=xP-xQ=3m;木板Q的长度L=x1+x2=6m
18．如图14所示，固定斜面上放一木板PQ，木板的Q端放置一可视为质点的小物块，现用轻细线的一端连接木板的Q端，保持与斜面平行，绕过定滑轮后，另一端可悬挂钩码，钩码距离地面足够高。已知斜面倾角θ＝30°，木板长为L，Q端距斜面顶端距离也为L，物块和木板的质量均为m，两者之间的动摩擦因数为μ1＝。若所挂钩码质量为2m，物块和木板能一起匀速上滑；若所挂钩码质量为其他不同值，物块和木板有可能发生相对滑动。重力加速度为g，不计细线与滑轮之间的摩擦，设接触面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

图14
(1)木板与斜面间的动摩擦因数μ2；
(2)物块和木板发生相对滑动时，所挂钩码质量m′应满足什么条件？
【解析】　(1)整个系统匀速时
对钩码：2mg＝T
对物块和木板：T＝2mgsin θ＋2μ2mgcos θ
解得：μ2＝
(2)要使二者发生相对滑动，则需木板的加速度a1大于物块的加速度a2。
对物块：μ1mgcos θ－mgsin θ＝ma2
解得：a2＝g
对木板：T′－mgsin θ－μ1mgcos θ－2μ2mgcos θ＝ma1
对钩码：m′g－T′＝m′a1
解得：a1＝g
联立解得：m′＞m
【答案】(1)　(2)m′＞m
19．下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ＝37°(sin 37°＝)的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A(含有大量泥土)，A和B均处于静止状态，如图所示．假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m(可视为质量不变的滑块)，在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ1减小为，B、C间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第2 s末，B的上表面突然变为光滑，μ2保持不变．已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l＝27 m，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取重力加速度大小g＝10 m/s2.求：

(1)在0～2 s时间内A和B加速度的大小；
(2)A在B上总的运动时间．
【解析】 (1)在0～2 s时间内，A和B的受力如图所示，其中Ff1、FN1是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，Ff2、FN2是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示．由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得

Ff1＝μ1FN1 ①
FN1＝mgcos θ ②
Ff2＝μ2FN2 ③
FN2＝FN1＋mgcos θ ④
规定沿斜面向下为正.设A和B的加速度分别为a1和a2，由牛顿第二定律得
mgsin θ－Ff1＝ma1 ⑤
mgsin θ－Ff2＋Ff1＝ma2 ⑥
联立①②③④⑤⑥式，并代入题给条件得
a1＝3 m/s2 ⑦
a2＝1 m/s2 ⑧
(2)在t1＝2 s时，设A和B的速度分别为v1和v2，则
v1＝a1t1＝6 m/s ⑨
v2＝a2t1＝2 m/s ⑩
2 s后，设A和B的加速度分别为a1′和a2′.此时A与B之间摩擦力为零，同理可得
a1′＝6 m/s2 ?
a2′＝－2 m/s2 ?
由于a2′＜0，可知B做减速运动．设经过时间t2，B的速度减为零，则有
v2＋a2′t2＝0 ?
联立⑩??式得t2＝1 s
在t1＋t2时间内，A相对于B运动的距离为
x＝－＝12 m＜27 m ?
此后B静止不动，A继续在B上滑动．设再经过时间t3后A离开B，则有
l－x＝(v1＋a1′t2)t3＋a1′t ?
可得t3＝1 s(另一解不合题意，舍去) ?
设A在B上总的运动时间t总，有
t总＝t1＋t2＋t3＝4 s
【答案】(1)3 m/s2　1 m/s2　(2)4 s
20、避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组成，如图15竖直平面内，制动坡床视为水平面夹角为θ的斜面。一辆长12 m的载有货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为23 m/s时，车尾位于制动坡床的底端，货物开始在车厢内向车头滑动，当货物在车厢内滑动了4 m 时，车头距制动坡床顶端38 m，再过一段时间，货车停止。已知货车质量是货物质量的4倍，货物与车厢间的动摩擦因数为0.4；货车在制动坡床上运动受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的0.44倍。货物与货车分别视为小滑块和平板，取cos θ＝1，sin θ＝0.1，g＝10 m/s2。求：

图15
(1)货物在车厢内滑动时加速度的大小和方向；
(2)制动坡床的长度。
【解析】(1)设货物的质量为m，货物在车厢内滑动过程中，货物与车厢的动摩擦因数μ＝0.4，受摩擦力大小为f，加速度大小为a1，则
f＋mgsin θ＝ma1①
f＝μmgcos θ②
联立①②并代入数据得a1＝5 m/s2③
a1的方向沿制动坡床向下。
(2)设货车的质量为M，车尾位于制动坡床底端时的车速为v＝23 m/s。货物在车厢内开始滑动到车头距制动坡床顶端s0＝38 m 的过程中，用时为t，货物相对制动坡床的运动距离为s1，在车厢内滑动的距离s＝4 m，货车的加速度大小为a2，货车相对制动坡床的运动距离为s2。货车受到制动坡床的阻力大小为F，F是货车和货物总重的k倍，k＝0.44，货车长度l0＝12 m，制动坡床的长度为l，则
Mgsin θ＋F－f＝Ma2④
F＝k(m＋M)g⑤
s1＝vt－a1t2⑥
s2＝vt－a2t2⑦
s＝s1－s2⑧
l＝l0＋s0＋s2⑨
联立①②④～⑨并代入数据得
l＝98 m⑩
21．如图16所示，倾角α＝30°的足够长光滑斜面固定在水平面上，斜面上放一长L＝1.8 m、质量M＝3 kg的薄木板，木板的最右端叠放一质量m＝1 kg的小物块，物块与木板间的动摩擦因数μ＝。对木板施加沿斜面向上的恒力F，使木板沿斜面由静止开始做匀加速直线运动。设物块与木板间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。

图16
(1)为使物块不滑离木板，求力F应满足的条件；
(2)若F＝37.5 N，物块能否滑离木板？若不能，请说明理由；若能，求出物块滑离木板所用的时间及滑离木板后沿斜面上升的最大距离。
【解析】(1)以物块和木板整体为研究对象，由牛顿第二定律得
F－(M＋m)gsin α＝(M＋m)a
以物块为研究对象，由牛顿第二定律得
Ff－mgsin α＝ma
又Ff≤Ffm＝μmgcos α
联立解得F≤30 N
(2)因F＝37.5 N＞30 N，所以物块能够滑离木板，隔离木板，由牛顿第二定律得
F－μmgcos α－Mgsin α＝Ma1
隔离物块，由牛顿第二定律得μmgcos α－mgsin α＝ma2
设物块滑离木板所用时间为t
木板的位移x1＝a1t2
物块的位移x2＝a2t2
物块与木板的分离条件为Δx＝x1－x2＝L联立以上各式解得t＝1.2 s
物块滑离木板时的速度v＝a2t由公式－2gsin α·x＝0－v2
解得x＝0.9 m