指数函数的图象和性质(第一课时)
学习目标
①通过实际问题了解指数函数的实际背景;
②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质;
③体会从具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想.
合作学习
一、设计问题,创设情境
情境1:我们来考虑一个与医学有关的例子:大家对“水痘”应该并不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时间里病原体在机体内不断地繁殖,病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一种.我们来看一种球菌的分裂过程:
某种球菌分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的关系式是y=2x.
情景2:某种机器设备每年按6%的折旧率折旧,设机器的原来价值为1,经过x年后,机器的价值为原来的y倍,则y与x的关系为y=0.94x.
问题1:你能从上面的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗?
共同点: ;?
不同点: .?
二、自主探索,尝试解决
指数函数的概念:
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
问题2:为什么指数函数对底数有“a>0,且a≠1”的要求呢?
三、信息交流,揭示规律
问题3:你能类比以前研究函数性质的思路,提出研究指数函数性质的方法和内容吗?
研究方法: .?
研究内容:定义域、值域、 、 、 .?
问题4:如何来画指数函数的图象呢?
画函数图象通常采用: 、 、 .有时,也可以利用函数的有关性质画图.?
问题5:画出指数函数y=2x,y=(12)x的图象并观察图象有什么特征?
问题6:函数y=2x与y=(12)x的图象有什么关系?能否由y=2x的图象得到y=(12)x的图象?
问题7:选取底数a的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象.观察图象,能否发现它们有类似于问题5与问题6中的性质?
问题8:通过你们画的图象以及老师的演示,你们能发现怎样的规律呢?
问题9:从特殊到一般,指数函数y=ax(a>1)有哪些性质?并类比得出y=ax(0
指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象和性质如下表所示:
a>1
0图
象
性
质
(1)定义域: ?
(2)值域: ?
(3)过定点 ,即x=0时,y=1?
(4)在 上是增函数?
(4)在 上是减函数?
强调:利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法,记忆指数函数性质时可以联想它的图象,记住性质的关键在于要脑中有图.
四、运用规律,解决问题
【例1】已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(3,π),求f(0),f(1),f(-3)的值.
【例2】指出下列函数哪些是指数函数.
(1)y=4x;(2)y=x4;
(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;
(5)y=πx;(6)y=4x2;
(7)y=xx;(8)y=(2a-1)x(a>12,且a≠1).
五、变式演练,深化提高
1.若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则a= .?
2.函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,则a的取值范围是( )
A.|a|>1 B.|a|<2 C.a<2 D.1<|a|<2
3.函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)对于任意的实数x,y都有( )
A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)
4.函数f(x)=ax与g(x)=ax-a的图象大致是( )
5.若a>1,-1A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限
6.函数y=a|x|(a>1)的图象是( )
六、反思小结,观点提炼
本节课的目的是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础上,掌握指数函数的图象和性质是本节课的重点.
1.知识点: 、 和 .?
2.研究步骤:定义→图象→性质→应用.
3.思想方法: 、 .?
七、作业精选,巩固提高
1.课本P59习题2.1A组第6,9题;
2.课本P60习题2.1B组第3题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:共同点:变量x与y构成函数关系式,是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数
不同点:底数的取值不同
二、自主探索,尝试解决
问题2:若a=0,当x>0时,ax恒等于0,没有研究价值;当x≤0时,ax无意义;
若a<0,例如当a=-2,x=12时,-2无意义,没有研究价值;
若a=1,则1x=1,ax是一个常量,也没有研究的必要.
所以规定a>0且a≠1.
三、信息交流,揭示规律
问题3:研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质
研究内容:图象 单调性 奇偶性
问题4:列表 描点 连线
问题5:函数y=2x的图象位于x轴的上方,向左无限接近 x轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是上升的,与y轴交于(0,1)点.
函数y=(12)x的图象位于x轴的上方,向右无限接近x轴,向上无限延伸,从左向右看,图象是下降的,与y轴交于(0,1)点.
问题6:y=2x与y=(12)x的图象关于y轴对称.实质是y=2x上的点(-x,y)与y=(12)x上的点(x,y)关于y轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象,利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象.
问题7:分别取a=3,13,4,14,即在同一平面直角坐标系内作出指数函数y=3x,y=(13)x,y=4x,y=(14)x的图象.
可用多媒体画出y=3x,y=(13)x,y=4x,y=(14)x的图象如下:
问题8:底数分a>1和0问题9:R (0,+∞) (0,1) R R
四、运用规律,解决问题
【例1】解:因为f(x)=ax的图象经过点(3,π),所以f(3)=π,
即a3=π,解得a=π13,于是f(x)=πx3.
所以,f(0)=π0=1,f(1)=π13=3π,f(-3)=π-1=1π.
【例2】解:(1)(5)(8)为指数函数;
(2)是幂函数(后面2.3节中将会学习);
(3)是-1与指数函数4x的乘积;
(4)底数-4<0,故不是指数函数;
(6)指数不是自变量x,而底数是x的函数;
(7)底数x不是常数.
除(1)(5)(8)外,其他都不符合指数函数的定义.
五、变式演练,深化提高
1.2 2.D 3.C 4.D 5.B 6.B
六、反思小结,观点提炼
1.知识点:指数函数的概念 图象 性质
3.思想方法:数形结合 分类讨论
指数函数的图象和性质(第二课时)
学习目标
①进一步理解指数函数的图象和性质;
②熟练应用指数函数的图象和性质解决一些综合问题;
③通过例题和练习的讲解与演练,培养学生分析问题和解决问题的能力.
合作学习
一、复习回顾,承上启下
(复习指数函数的概念和图象.)
1.指数函数的定义
一般地,函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为 .?
2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与性质:
a>1
0图
象
性
质
(1)定义域: ?
(2)值域: ?
(3)过定点: ?
(4)单调 区间: ?
(4)单调 区间: ?
问题:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性等性质,并完善上表.
二、典例分析,性质应用
【例1】求下列函数的定义域、值域.
(1)y=0.31x-1;
(2)y=35x-1.
【例2】比较下列各题中两值的大小.
(1)1.72.5与1.73;
(2)0.8-0.1与0.8-0.2;
(3)(14)0.8与(12)1.8;
(4)(87)-37与(78)512;
(5)(0.3)-0.3与(0.2)-0.3;
(6)1.70.3与0.93.1;
(7)a13,a12(a>0,且a≠1).
总结点评:
1.当底数相同且明确底数a与1的大小关系时: .?
2.当底数相同但不明确底数a与1的大小关系时: .?
3.当底数不同不能直接比较时: .?
【例3】截止到1999年底,我们人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?
总结点评:
类似上面例题,设原有量为N,平均增长率为p,则经过时间x后总量y=N(1+p)x(x∈N).形如y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)的函数称为指数型函数.
【例4】如图是指数函数①y=ax,(x∈N)②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,判断a,b,c,d与1的大小关系.
总结点评:
在同一坐标系中,不同底的指数函数在y轴右侧的图象越向上底越 .也可以用一个特殊值法来解决,即画一条直线 ,与每个图象交点的纵坐标即为相应指数函数的底数.?
三、变式演练,深化提高
1.函数y=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象必经过点 .?
2.解不等式:(12)x-1>1.
3.方程2-x+x2=3的实数解的个数为 .?
4.已知y=4x-3·2x+3,当其值域为[1,7]时,x的取值范围是 .?
5.已知2x2+x≤(14)x-2,求函数y=(12)x的值域.
6.设0≤x≤2,求函数y=4x-12-3·2x+5的最大值和最小值.
四、反思小结,观点提炼
1.本节课研究了指数函数的性质及其应用,关键是要记住a>1或02.本节课还涉及指数型函数,即形如y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)的应用.
五、作业精选,巩固提高
1.课本P59习题2.1A组第7,8题;P60习题2.1B组第1,4题.
2.已知a>b,ab≠0,下列不等式(1)a2>b2;(2)2a>2b;(3)1a<1b;(4)a13>b13;(5)(13)a<(13)b中恒成立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.若函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.
4.已知函数f(x)=ax-1ax+1(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)讨论f(x)的单调性.
参考答案
一、复习回顾,承上启下
y=ax(a>0,a≠1) R
(1)R
(2)(0,+∞)
(3)(0,1)
(4)增 R 减 R
二、典例分析,性质应用
【例1】解:(1)由x-1≠0得x≠1,
所以函数定义域为{x|x≠1}.
由1x-1≠0得y≠1,
所以函数值域为{y|y>0,且y≠1}.
(2)由5x-1≥0得x≥15,
所以函数定义域为{x|x≥15}.
由5x-1≥0得y≥1,
所以函数值域为{y|y≥1}.
【例2】解:(1)y=1.7x为增函数,且2.5<3,
所以1.72.5<1.73;
(2)y=0.8x为减函数,且-0.1>-0.2,
所以0.8-0.1<0.8-0.2;
(3)(14)0.8=(12)1.6>(12)1.8;
(4)(87)-37=(78)37<(78)512;
(5)在同一坐标系中画出函数y=0.3x与函数y=0.2x的图象,知x取相同值-0.3时,0.3-0.3<0.2-0.3;
(6)1.70.3>1.70=1=0.90>0.93.1;
(7)若a>1时,y=ax为增函数,且13<12,所以a13<a12;若0a12.
总结点评:1.直接用函数的单调性来解
2.要分情况讨论
3.可借助中间数,间接比较上述两个数的大小
【例3】解:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则
y=13(1+1%)x,
当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).
答:经过20年后,我国人口数最多为16亿.
【例4】解:在图象上做一条直线x=1,其与四个图象分别交于A,B,C,D,交点的纵坐标分别为a,b,c,d,如图显然可得c>d>a>b.
总结点评:大 x=1
三、变式演练,深化提高
1.(2,2)
2.(-∞,1)
3.2
4.(-∞,0]∪[1,2]
5.[12,16]
6.ymin=12;ymax=52.
五、作业精选,巩固提高
2.C
3.a=3或a=13
4.解:(1)定义域为R,值域为(-1,1);
(2)奇函数;
(3)a>1时,增区间为R,无减区间;0