对数的运算(第一课时)
学习目标
①理解对数的概念;
②能够说明对数与指数的关系;
③掌握对数式与指数式的相互转化.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:在新课标高中数学A版必修1中P57第二章2.1.2的例8中,我们能从关系y=13×1.01x中,算出任意一个年头x的人口总数.反之,如果问“哪一年的人口达到18亿,20亿,30亿,…”,该如何解决?
二、自主探索,尝试解决
问题2:在问题1列出的式子中,x分别等于多少?这一问题也就是:
若ax=N,已知a和N如何求指数x(其中,a>0,且a≠1)
为了解决这一问题,古代的数字家创造了“对数”来表示x,即
对数的定义:
?
?
注意:①底数的限制: ;?
②对数的书写格式;
?
?
另外,在以后学习对数的过程中我们还要经常用到两种特殊的对数,即
1.常用对数:以10为底的对数;
log10N简记为 .?
2.自然对数:以无理数e=2.71828…为底的对数;
logeN简记为 .?
三、信息交流,揭示规律
问题3:由对数的定义知,对数由指数式转化而来,那么指数式ax=N与对数式x=logaN之间的关系是什么?怎样应用?
当a>0,且a≠1时,
/
即
指数式 ? ?
幂底数 ←a→ ?
指数← x → ?
幂 ← N → ?
问题4:我们要注意到,ax=N中的a>0且a≠1,因此,logaN=x也要求a>0且a≠1;还有logaN=x中的真数N能取什么样的数呢?这是为什么?
四、运用规律,解决问题
【例1】指数式化为对数式:
(1)41=4,61=6,7.81=7.8;
(2)40=1,60=1,7.80=1.
问题5:由例1中的log44=1,log66=1,log7.87.8=1与log41=0,log61=0,log7.81=0,我们大胆猜测,可以发现什么规律?怎么证明?
结论:loga1= ,logaa= (其中,a>0,且a≠1).?
证明:
【例2】求下列各式的值.
(1)
2
lo
g
2
3
= ;
3
lo
g
3
4
= ;0.
5
lo
g
0.5
100
= .?
(2)log223= ;log334= ;log0.50.5100= .?
问题6:由例2中的两个小题,我们大胆猜测,可以发现什么规律?怎样证明?
结论:对数恒等式,
??
lo
g
??
N
= ,logaan= .?
证明:
【例3】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)54=625;(2)2-6=
1
64
;(3)(
1
3
)m=5.73;
(4)log39=2;(5)log5125=3;(6)lo
g
1
2
16=-4.
五、变式演练,深化提高
【例4】求下列各式中x的值:
(1)log64x=-
2
3
;
(2)logx8=6;
(3)lg100=x;
(4)-lne2=x.
六、反思小结,观点提炼
1.对数定义(关键);
2.指数式与对数式互化(重点);
3.求值(重点).
七、作业精选,巩固提高
1.课本P68练习题第1,2,3,4题;
2.课外阅读:P68对数的发明.
参考答案/
一、设计问题,创设情境
18
13
=1.01x,
20
13
=1.01x,
30
13
=1.01x
二、自主探索,尝试解决
问题2:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
注意:①a>0,且a≠1;
②(如图);
/
1.lgN 2.lnN
三、信息交流,揭示规律
问题3:
指数式 ? 对数式
幂底数 ←a→ 对数底数
指数← x →对数
幂 ← N → 真数
问题4:因为a>0且a≠1,所以ax=N>0.因此,logaN=x中真数N也要求大于零,即负数与零一定没有对数.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)log44=1,log66=1,log7.87.8=1;
(2)log41=0,log61=0,log7.81=0.
问题5:0;1.
证明:把a1=a,a0=1(其中,a>0,且a≠1)化为对数式,即得到上述结论.
【例2】(1)3;4;100. (2)3;4;100.
问题6:N;n.
证明:(1)由ax=N与x=logaN得
??
lo
g
??
N
=N;
(2)由an=an得logaan=n.
【例3】解:(1)log5625=4;
(2)log2
1
64
=-6;
(3)lo
g
1
3
5.37=m;
(4)32=9;
(5)53=125;
(6)(
1
2
)-4=16.
五、变式演练,深化提高
【例4】解:(1)因为log64x=-
2
3
,则x=6
4
-
2
3
=(43
)
-
2
3
=4-2=
1
16
;
(2)因为logx8=6,所以x6=8,x=
8
1
6
=(23
)
1
6
=
2
1
2
=
2
;
(3)因为lg100=x,所以10x=100,10x=102,于是x=2;
(4)因为-lne2=x,所以lne2=-x,e2=e-x,于是x=-2.
对数的运算(第二课时)
学习目标
①理解对数的运算性质;
②知道能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;
③通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对数对简化运算的作用.
合作学习
一、复习回顾,承上启下
1.对数的定义:logaN=x,其中a∈(0,1)∪(1,+∞)与N∈(0,+∞).
2.指数式与对数式的互化:
ax=N? .?
3.重要性质或公式:
(1)负数与零没有对数;
(2)loga1= ,logaa= (a>0,且a≠1);?
(3)对数恒等式
??
lo
g
??
N
= (a>0,且a≠1).?
4.指数运算法则:
(1)aman= (a>0,m,n∈R);?
(2)(am)n= (a>0,m,n∈R);?
(3)(ab)n= (a>0,b>0,n∈R).?
二、设计问题,创设情境
问题1:请同学判断以下几组数是否相等?
(1)lg100+lg
1
10
,lg(100×
1
10
);
(2)log24+log2
1
8
,log2
1
2
.
结论: .?
问题2:由问题1中(1)(2)的结果出发,同学们能看出它们具有一个怎样的共同点吗?
结论: .?
三、自主探索,尝试解决
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,证明:loga(M·N)=logaM+logaN.
证明:
猜想得证:
性质1:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么loga(M·N)=logaM+logaN.
四、信息交流,揭示规律
性质2:loga
??
??
=logaM-logaN
证明:
性质3:logaMn=nlogaM(n∈R)
证明:
通过上述探讨、研究得到了对数的运算性质:
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(M·N)=logaM+logaN,积的对数=对数的和;
(2)loga
??
??
=logaM-logaN,商的对数=对数的差;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R),一个数n次方的对数=这个数对数的n倍.
五、运用规律,解决问题
【例1】用logax,logay,logaz表示下列各式:
(1)loga
????
??
;(2)loga
??
2
??
3
??
.
【例2】求下列各式的值:
(1)log2(47×25);(2)lg
5
100
.
六、变式演练,深化提高
1.计算下列各式的值:
(1)log3(27×92);(2)log7
3
49
;
(3)lg14-2lg
7
3
+lg7-lg18;(4)
lg243
lg9
;
(5)
(lg5
)
2
-lg25+1
.
2.已知lg2=a,10b=3,求
lg12
lg5
.
问题3:对于本小节开始的问题,可否利用计算器求解log1.01
18
13
的值?
我们知道,利用科学计算器只能直接求常用对数和自然对数的值.那么,问题3中的既不是常用对数,也不是自然对数的问题又怎么解决呢?为此我们必须引入一个特别的对数运算公式,即换底公式:
换底公式:
logab=
lo
g
??
b
lo
g
??
a
(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0).
换底公式的推论:
(1)lo
g
??
??
bn=
??
??
logab;
(2)logab=
1
lo
g
??
a
.
3.问题3中,求解log1.01
18
13
的值.
4.设log34·log48·log8m=log416,求m的值.
七、反思小结,观点提炼
1.本节课学习了对数的运算性质及其运用,要注意指数运算性质与对数运算性质的对照.
式子
ax=N
logaN=x
名称
a——幂的底数
x——幂的指数
N——幂值
a—— ?
x—— ?
N—— ?
运算
性质
aman=am+n;
a
m
a
n
=am-n;
(am)n=amn.
(a>0,且a≠1,m,n∈R)
loga(M·N)= ;?
loga
??
??
= ;?
logaMn= .?
(a>0,且a≠1,M>0,N>0)
2.对数的运算法则(积、商、幂、方根的对数)及其成立的前提条件;
3.对数的换底公式及其推论;
4.运算法则的逆用,应引起足够的重视;
5.对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧.
八、作业精选,巩固提高
1.计算:
(1)
lg
27
+lg8-3lg
10
lg1.2
;
(2)
1
2
lg
32
49
?
4
3
lg
8
+lg
245
;
(3)lg52+
2
3
lg8+lg5×lg20+(lg2)2.
2.课本P68页练习题第1,2,3,4题.
参考答案/
一、复习回顾,承上启下
2.logaN=x(a>0,且a≠1)
3.(2)0,1
(3)N
4.(1)am+n
(2)amn
(3)anbn
二、设计问题,创设情境
问题1:两个小题都相等
问题2:性质1:当底数相同的时候,两个正数的对数之和等于两个正数积的对数
三、自主探索,尝试解决
证明:(性质1)设logaM=p,logaN=q,
由对数的定义可得M=ap,N=aq,
∴MN=ap·aq=ap+q,
∴loga(M·N)=p+q,
即证得loga(M·N)=logaM+logaN.
四、信息交流,揭示规律
性质2:证明:方法一:(仿照性质1同理可证)
方法二:由性质1的结论出发:
loga
??
??
+logaN=loga(
??
??
·N)=logaM?logaM-logaN=loga
??
??
.
方法三:由性质1的结论出发:
loga
??
??
=loga
??
??
+logaN-logaN=logaM-logaN.
性质3:证明:
设logaM=p,由对数的定义可得M=ap,
∴Mn=anp,∴logaMn=logaanp=np,
又∵logaM=p,即p=logaM,
∴logaMn=np=nlogaM,
即证得logaMn=nlogaM.
五、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)loga
????
??
=logaxy-logaz=logax+logay-logaz;
(2)loga
??
2
??
3
??
=loga(x2
??
)-loga
3
??
=logax2+loga
??
-loga
3
??
=2logax+
1
2
logay-
1
3
logaz.
【例2】解:(1)log2(47×25)=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19;
(2)lg
5
100
=lg1
0
2
5
=
2
5
.
六、变式演练,深化提高
1.解:(1)log3(27×92)=log327+log392=log333+2log39=3+4=7;
(2)log7
3
49
=
1
3
log749=
1
3
log772=
2
3
;
(3)lg14-2lg
7
3
+lg7-lg18
=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2
=0;
(4)
lg243
lg9
=
lg
3
5
lg
3
2
=
5lg3
2lg3
=
5
2
;
(5)
(lg5
)
2
-lg25+1
=
(lg5
)
2
-2lg5+1
=|lg5-1|=1-lg5.
2.解:依题意得:b=lg3,
∴lg12=lg3+2lg2=b+2a,
lg5=lg
10
2
=lg10-lg2=1-a,
∴
lg12
lg5
=
2??+??
1-??
.
3.解:log1.01
18
13
=
lg
18
13
lg1.01
=
lg18-lg13
lg1.01
≈
1.2553-1.1139
0.0043
=32.8837≈33.
4.解:log34·log48·log8m=
1
lo
g
4
3
·log48·
lo
g
4
m
lo
g
4
8
=
lo
g
4
m
lo
g
4
3
=log3m=log416=2,
故m=9.
七、反思小结,观点提炼
1.对数的底数 以a为底N的对数 N——真数 logaM+logaN logaM-logaN nlogaM(n∈R)
八、作业精选,巩固提高
1.(1)
3
2
(2)
1
2
(3)3
