3.3 幂函数 学案

　幂函数
学习目标
①掌握幂函数的形式特征及具体幂函数的图象和性质;
②能应用幂函数的图象和性质解决有关的简单问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
请看下列问题,并将每个问题中的y表示成x的函数.
1.如果张红购买了每千克1元的水果x千克,那么她需要支付y=　　　　(x>0)元;?
2.如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=　　　　(x>0);?
3.如果立方体的边长为x,那么立方体的体积y=　　　　(x>0);?
4.如果一个正方形场地的面积为x,那么这个正方形场地的边长y=　　　　(x>0);?
5.如果某人以x m3/s的速度向蓄水池注入了体积为1m3的水,那么他注水的时间y=　　　　(x>0).?
二、自主探索,尝试解决
思考:
1.以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现几个解析式结构上的共同特征吗?
2.根据我们学习的函数的概念,你能不能判断它们能否构成函数?是我们学习过的哪类函数?如果不是,你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字?
幂函数的定义(形式定义):
请同学们举出一个具体的幂函数.
三、信息交流,揭示规律
y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1,y=x-2.
请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.
总结函数性质,填写表格.
y=x3
y=x2
y=x
y=x12
y=x-1
y=x-2
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
性质总结如下:
α>0
α<0
在(0,+∞)有定义,图象过点(1,1)
在[0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
图象过原点
在第一象限内,当x从右边趋向于0时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴
四、运用规律,解决问题
【例1】比较下列两个代数式值的大小:
(1)2.334,2.434;(2)(2)-32,(3)-32;(3)(a+1)1.5,a1.5;(4)(2+a2)-23,2-23.
【例2】讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.
思考与讨论:
幂函数y=xα(α∈R),当α=1,3,5,…(正奇数)时,函数有哪些性质?
【例3】证明幂函数f(x)=x在[0,+∞)上是增函数.
五、变式演练,深化提高
1.下列函数中,是幂函数的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=-x12 B.y=3x2 C.y=1x D.y=2x
2.下列结论正确的是(　　)
A.幂函数的图象一定过(0,0)和(1,1)
B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数
C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
3.函数y=x35的图象大致是(　　)
4.幂函数y=x34的单调递增区间是　　　　.?
5.a=1.212,b=0.9-12,c=1.112的大小关系是　　　　.?
6.幂函数f(x)=axm2-8m(m∈Z)的图象与x轴和y轴均无交点,并且图象关于原点对称,求a和m.
六、反思小结,观点提炼
1.?
2.?
3.?
七、作业精选,巩固提高
1.课本P79习题2.3.
2.下列函数中,是幂函数的是(　　)
A.y=2x B.y=2x3
C.y=1x D.y=xx
3.下列函数中,在(-∞,0)上是增函数的是(　　)
A.y=x3 B.y=x2
C.y=1x D.y=x32
4.已知某幂函数的图象经过点(2,2),求函数的解析式.
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.x　2.x2　3.x3　4.x12　5.x-1
二、自主探索,尝试解决
幂函数的定义(形式定义):
一般地,函数y=xα(α∈R)叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
y=x-1,y=x12,y=x4,y=x0,y=x-3等.
三、信息交流,揭示规律
y=x3
y=x2
y=x
y=x12
y=x-1
y=x-2
定义域
R
R
R
[0,+∞)
{x|x≠0}
{x|x≠0}
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y≠0}
(0,+∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
偶函数
单调
性
递增
在( -∞,
0)减
递增
[0,
+∞)增
在(-∞,
0)减
在(-∞,
0)增
在(0,
+∞)增
在(0,
+∞)减
在(0,
+∞)减
定点
(1,1)
四、运用规律,解决问题
【例1】解:考查幂函数y=x34,因为y=x34在(0,+∞)上单调递增,而且2.3<2.4,所以2.334<2.434;
以下各题同理可解:(2)(2)-32>(3)-32;(3)(a+1)1.5>a1.5;(4)(2+a2)-23≤2-23.
【例2】解:要使y=x23=3x2有意义,x可以取任意实数,
故函数定义域为R.
∵f(-x)=(-x)23=x23=f(x),
∴函数y=x23是偶函数;
x
0
1
2
3
4
…
y
0
1
1.59
2.08
2.52
…
其图象如图所示.
幂函数y=x23在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.
思考与讨论:定义域为R,值域为R,是奇函数,在(-∞,+∞)上是增函数.
【例3】证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=x1?x2=(x1-x2)(x1+x2)x1+x2=x1-x2x1+x2,
因为x1-x2<0,x1+x2>0,所以x1-x2x1+x2<0.
所以f(x1)五、变式演练,深化提高
1.C　2.D　3.D
4.[0,+∞)　5.a>b>c　6.a=1,m=1,3,5,7
六、反思小结,观点提炼
1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别;
2.常见幂函数的图象和性质;
3.幂函数性质的应用.
七、作业精选,巩固提高
2.C　3.A　4.y=x12