无理数指数幂及其运算性质
学习目标
①理解n次方根与根式的概念;
②正确运用根式运算性质化简、求值;
③了解分类讨论思想在解题中的应用.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:
当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
由以上的实例来推断生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式应该是什么?
考古学家根据上式可以知道,生物死亡t年后,体内碳14含量P的值.那么这些数(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.
二、学生探索,尝试解决
问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?
问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?
问题3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?
问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢?
方根的定义:
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
三、信息交流,揭示规律
试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.
(多媒体显示,学生完成)
(1)25的平方根是 ;?
(2)27的立方根是 ;?
(3)-32的5次方根是 ;?
(4)16的4次方根是 ;?
(5)a6的立方根是 ;?
(6)0的7次方根是 .?
问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?
问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?
问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?
问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢?
n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:
(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次方根用符号 表示.?
(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次方根用符号 表示,负的n次方根用符号 表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 (a>0).?
注:①负数没有偶次方根;
②0的任何次方根都是0,记作n0=0;
③当a≥0时,na≥0,所以类似416=±2的写法是错误的.
另外,我们规定:
式子na叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
问题9:利用上面所学n次方根的知识,能否求出下列各式的值?
(1)(5)2;(2)3(-2)3;(3)4(-2)4;(4)(3-a)2(a>0).
问题10:上面的计算涉及了哪几类问题?
组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论:
(1)(na)n=a.例如,(327)3=27,(5-32)5=-32.
(2)当n是奇数时,nan=a;当n是偶数时,nan=|a|=a,a≥0,-a,a<0.例如,3(-2)3=-2,525=2;434=3,(-3)2=|-3|=3.
四、运用规律,解决问题
【例1】求下列各式的值:
(1)(3-8)3;(2)(-10)2;
(3)4(3-π)4;(4)(a-b)2(a>b).
【例2】化简下列各式:
(1)681;(2)6(-2)2;(3)15-32;(4)4x8;(5)6a2b4.
五、变式演练,深化提高
1.若x∈R,y∈R,下列各式中正确的是( )
A.4(x+y)4=x+y B.3x3?4y4=x-y
C.(x+3)2+(x-3)2=2x D.x-3+3-x=0
2.x-2x-1=x-2x-1成立的条件是( )
A.x-2x-1≥0 B.x≠1 C.x<1 D.x≥2
3.在①4(-4)2n;②4(-4)2n+1;③5a4;④4a5(各式中n∈N,a∈R)中,有意义的是( )
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
4.当8六、反思小结,观点提炼
1.若xn=a(n>1,n∈N*),则x叫做a的n次方根.当n是奇数时,实数a的n次方根用符号 表示;当n是偶数时,正数a的n次方根用符号 表示,负数的偶次方根无意义.式子na叫做 ,其中n叫做 ,a叫做被 .?
2.在实数范围内,正数的奇次方根是一个 ;负数的奇次方根是一个 .正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数;负数的偶次方根没有意义;0的任何次方根都是0.?
3.(1)(na)n= .?
(2)当n为奇数时,nan= ;当n为偶数时,nan=|a|=? ,a≥0, ,a<0.
七、作业精选,巩固提高
1.复习课本P48~50内容,熟悉巩固有关概念和性质;
2.课本P59习题2.1A组第1题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
12,(12)2,(12)3,….
(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730.
P=(12)t5730.
二、学生探索,尝试解决
问题1:若x2=a,则x叫做a的平方根.同理,若x3=a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数.
问题2:如果一个数的4次方等于a,那么这个数叫做a的4次方根;如果一个数的5次方等于a,那么这个数叫做a的5次方根.
问题3:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根.
三、信息交流,揭示规律
(1)±5;(2)3;(3)-2;(4)±2;(5)a2;(6)0.
问题5:1.以上各数的对应方根都是整数;
2.第(1)(4)题的答案有两个,第(2)(3)(5)(6)题的答案只有一个;
3.第(1)(4)题的答案中的两个根互为相反数.
问题6:一个数的奇次方根只有一个;一个数的偶次方根有两个,且互为相反数.
问题7:因为任何一个数的偶次方都是非负数,所以负数没有偶次方根;0的n次方等于0,所以0的n次方根等于0.
问题8:(1)na;(2)na,-na,±na.
问题9:(1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3.
问题10:主要涉及了(na)n与nan的问题.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)(3-8)3=-8;
(2)(-10)2=|-10|=10;
(3)4(3-π)4=|3-π|=π-3;
(4)(a-b)2=|a-b|=a-b.
【例2】解:(1)681=634=332=39;
(2)6(-2)2=622=32;
(3)15-32=-1525=-32;
(4)4x8=4(x2)4=x2;
(5)6a2b4=6(|a|·b2)2=3|a|·b2.
五、变式演练,深化提高
1.D 2.D 3.B 4.2x-18
六、反思小结,观点提炼
1.na ±na 根式 根指数 被开方数
2.正数 负数
3.(1)a (2)a a -a
无理数指数幂及其运算性质(第二课时)
学习目标
①理解分数指数幂的概念;
②掌握分数指数幂和根式之间的互化;
③掌握分数指数幂的运算性质;
④培养学生观察分析和抽象的能力,以及渗透“转化”的数学思想.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?
问题2:考古学家根据上式可以知道,当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P分别为(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730.那么这些数(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730的意义究竟是什么呢?它和我们初中所学的指数有什么区别?
二、自主探索,尝试解决
问题3:观察以下式子,你能总结出什么规律?(a>0)
①5a10=3(a2)5=a2=a105;
②a8=(a4)2=a4=a82;
③4a12=4(a3)4=a3=a124;
④a10=(a5)2=a5=a102.
问题4:利用问题3中的规律,你能表示下列式子吗?
453,375,5a7,nxm(x>0,m,n∈N*,且n>1).
问题5:你能用方根的意义来解释问题4中的式子吗?
问题6:你能把问题3,4中得到的结论推广到一般的情形吗?
规定:正数的正分数指数幂的意义是amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
三、信息交流,揭示规律
问题7:负整数指数幂的意义是怎样规定的?
问题8:你能得出负分数指数幂的意义吗?
规定:正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
问题9:你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义呢?
问题10:综合上述问题7,8,9,如何规定分数指数幂的意义?
分数指数幂的意义就是:
正数的正分数指数幂的意义是amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1),正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1),零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
问题11:分数指数幂的意义中,为什么规定a>0,去掉这个规定会产生什么样的后果?
问题12:既然指数的概念已从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?
有理数指数幂的运算性质:
对任意的有理数r,s,
(1)aras= (a>0,r,s∈R);?
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈R);?
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈R).?
问题13:若a>0,α是一个无理数,则aα该如何理解?
实数指数幂有意义,且有相同的运算性质,即:
aras=ar+s(a>0,r,s∈R);
(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);
(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
四、运用规律,解决问题
【例1】(课本P51,例2)求值:
①823;②25-12;③(12)-5;④(1681)-34.
【例2】用分数指数幂的形式表示下列各式.
a3·a;a2·3a2;a3a(a>0).
【例3】计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56);
(2)(m14n-38)8.
【例4】计算下列各式:
(1)(325?125)÷425;
(2)a2a·3a2(a>0).
五、变式演练,深化提高
1.计算:
(1)(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;
(2)(0.0001)-14+(27)23-(4964)-12+(19)-1.5;
(3)481×923;
(4)23×31.5×612.
2.化简下列各式:
(1)3a72a-3÷3a-83a15÷3a-3a-1;
(2)a43-8a13b4b23+23ab+a23÷(1-23ba)·3a;
(3)[(a-32b2)-1·(ab-3)12(b12)7]13;
(4)1+a-121+a?a+a-12a-1;
(5)(a·3b2)-3÷b-4a-1.
六、反思小结,观点提炼
(先让学生独自回忆,然后师生共同总结.)
1. .?
2. .?
3. .?
七、作业精选,巩固提高
课本P59习题2.1A组第2,3,4题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:P=(12)5730.
问题2:初中所学的指数是整数,而这里的指数是分数形式.
二、自主探索,尝试解决
问题3:①5a10=a105,②a8=a82,③4a12=a124,④a10=a102的结果中a的指数2,4,3,5分别写成了105,82,124,102,形式上变了,本质没变.根据4个式子的最后结果可以总结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式).
问题4:453=534,375=753,5a7=a75,nxm=xmn.
问题5:53的4次方根是534,75的立方根是753,a7的5次方根是a75,xm的n次方根是xmn.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.
三、信息交流,揭示规律
问题7:负整数指数幂的意义是a-n=1an(a≠0),n∈N*.
问题9:零的分数指数幂的意义是零的正分数指数幂等于零,零的负分数指数幂没有意义,例如0-2=102=10.
问题11:若没有a>0这个条件会怎样呢?如(-1)13=3-1=-1,(-1)26=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零.
问题12:ar+s ars arbr
四、运用规律,解决问题
【例1】解:①823=(23)23=23×23=22=4;
②25-12=(52)-12=52×(-12)=5-1=15;
③(12)-5=(2-1)-5=25=32;
④(1681)-34=(23)4×(-34)=(23)-3=278.
【例2】解:a3·a=a3·a12=a3+12=a72;
a2·3a2=a2·a23=a2+23=a83;
a3a=(a·a13)12=(a43)12=a23.
【例3】解:(1)(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56)=[2×(-6)÷(-3)]a23+12-16·b12+13-56=4ab0=4a;
(2)(m14n-38)8=(m14)8(n-38)8=m2n-3=m2n3.
【例4】解:(1)(325?125)÷425=(523?532)÷512=523-12?532-12=516-5=65-5;
(2)a2a·3a2=a2a12a23=a2-12-23=a56=6a5.
五、变式演练,深化提高
1.(1)1615 (2)3147 (3)363 (4)6
2.(1)a16 (2)a (3)a23 (4)2aa(1-a) (5)1a
六、反思小结,观点提炼
1.分数指数是根式的另一种写法
2.无理数指数幂表示一个确定的实数
3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的
