对数函数的图象和性质(第一课时)
学习目标
①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律;
②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
在研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题(1个细胞一次分裂为2个细胞),某种细胞分裂时,得到的细胞个数y是分裂次数x的函数,这个函数可以用指数函数y=2x表示.
现在,我们来研究相反的问题,要想得到1万个,10万个,…细胞,1个细胞要经过多少次分裂?
二、自主探索,尝试解决
经过分析,发现分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式 .?
如果用x表示自变量,y表示函数,这个函数是 .?
三、信息交流,揭示规律
1.对数函数的定义
问题1:请同学们类比“指数函数”的定义,给出“对数函数”的定义.
问题2:在函数的定义中,为什么要限定a>0,且a≠1?
问题3:为什么对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域是(0,+∞)?
2.对数函数的图象与性质
问题4:画出函数y=log2x与y=lo
g
1
2
x的图象(师生一起用几何画板画出图象).
问题5:y=log2x与y=lo
g
1
2
x的图象有什么关系?并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.
问题6:选取底数a(a>0,且a≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象.观察图象,看看是否还有类似于问题5中的结论.
问题7:由问题5和问题6的结论,试猜测函数y=logax与y=lo
g
1
??
x(a>0,且a≠1)的图象之间有怎样的位置关系?并证明你的结论.
问题8:由问题5和问题6的结论,结合指数函数的性质,试猜测函数y=logax(a>0,且a≠1)有怎样的性质.
先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质.(投影)
a>1
0
图
象
/
/
性
质
定义域: ?
值域: ?
过定点 ,即x= 时,y= ?
x∈(0,1)时,y<0;
x∈(1,+∞)时,y>0
x∈(0,1)时,y>0;
x∈(1,+∞)时,y<0
在(0,+∞)上是 函数?
在(0,+∞)上是 函数?
四、运用规律,解决问题
【例1】求下列函数的定义域
(1)y=logax2;(2)y=loga(4-x);(3)y=loga(9-x2).
【例2】比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4,log28.5;(2)log0.31.8,log0.32.7;(3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1).
小结1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
①?
②?
③?
小结2:分类讨论的思想.
五、变式演练,深化提高
1.求下列函数的定义域:
(1)y=log3(1-x);(2)y=
1
lo
g
2
x
;
(3)y=log7
1
1-3??
;(4)y=
lo
g
3
x
.
2.函数y=loga(x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .?
3.已知函数y=loga(x+1)(a>0,a≠1)的定义域与值域都是[0,1],求a的值.
4.让学生每人各编一个关于对数函数的定义域的题和单调性的题.
六、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获吗?
1.?
2.?
3.?
七、作业精选,巩固提高
1.课本P74习题2.2A组第7,8,10题;
2.继续完成课堂上自编的尚未解决的求定义域和单调性的题目;
3.已知logm74.已知01,ab>1.比较loga
1
??
,logab,logb
1
??
的大小;
参考答案/
一、设计问题,创设情境
10000=
2
??
1
,100000=
2
??
2
,…
二、自主探索,尝试解决
x=log2y y=log2x
三、信息交流,揭示规律
问题1:一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
问题2:根据对数式与指数式的关系,知y=logax可化为ay=x,由指数的概念,要使ay=x有意义,必须规定a>0且a≠1.
问题3:因为y=logax可化为x=ay,不管y取什么值,由指数函数的性质知,ay>0,所以x∈(0,+∞).
问题4:通过列表、描点、连线作y=log2x与y=lo
g
1
2
x的图象:
/
问题5:y=log2x与y=lo
g
1
2
x的图象关于x轴对称;
相同性质:两图象都位于y轴右方,都经过点(1,0),这说明两函数的定义域都是(0,+∞),且x=1时,y=0.
不同性质:y=log2x的图象是上升的曲线,y=lo
g
1
2
x的图象是下降的曲线,这说明前者在(0,+∞)上是增函数,后者在(0,+∞)上是减函数.
/
问题6:分别取a=3,
1
3
,4,
1
4
,即在同一平面直角坐标系内作出对数函数y=log3x,y=lo
g
1
3
x,y=log4x,y=lo
g
1
4
x的图象.
图象如右:
有类似于问题5中的结论.
问题7:函数y=logax与y=lo
g
1
??
x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.证明如下:
y=lo
g
1
??
x=-logax,又点(x,y)和点(x,-y)关于x轴对称,所以y=logax与y=lo
g
1
??
x的图象关于x轴对称.
问题8:(0,+∞) R (1,0) 1 0 增 减
四、运用规律,解决问题
【例1】(1){x|x≠0};(2){x|x<4};(3){x|-3【例2】(1)log23.4(2)log0.31.8>log0.32.7
(3)a>1时,loga5.1loga5.9.
小结1:①确定所要考查的对数函数;
②根据对数、底数判断对数函数的单调性;
③比较真数大小,然后利用对数函数的单调性判断两对数值的大小.
小结2:对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.
五、变式演练,深化提高
1.解:(1)由1-x>0,得x<1,故所求函数定义域为{x|x<1};
(2)由log2x≠0,得x≠1,又x>0,故所求函数定义域为{x|x>0,且x≠1};
(3)由
1
1-3??
>0,
1-3??≠0,
得x<
1
3
,故所求函数定义域为{x|x<
1
3
};
(4)由
??>0,
lo
g
3
x≥0,
得
??>0,
??≥1,
则x≥1,故所求函数定义域为{x|x≥1}.
2.(0,-2)
3.2
4.略
六、反思小结,观点提炼
1.学习了对数函数的定义、图象与性质;
2.用到了类比的思想方法;同时,更近一步熟悉了研究函数的方法和步骤;
3.学习了用对数函数的图象与性质解对数典型题的基本方法.
七、作业精选,巩固提高
3.04.logab1
??
1
??
对数函数的图象和性质(第三课时)
学习目标
①了解反函数的概念,加深对函数思想的理解;
②加深对对数函数和指数函数的性质的理解及函数图象变化规律的理解,培养学生的数学交流能力;
③培养学生用辩证的观点观察问题、分析问题、解决问题的能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
我们知道,物体做匀速直线运动的位移s是时间t的函数,即s=vt,其中速度v是常量,定义域t≥0,值域s≥0;反过来,也可以由位移s和速度v(常量)确定物体做匀速直线运动的时间,即t=
??
??
,这时,位移s是自变量,时间t是位移s的函数,定义域s≥0,值域t≥0.
问题1:函数s=vt的定义域、值域分别是什么?
问题2:函数t=
??
??
中,谁是谁的函数?
问题3:函数s=vt与函数t=
??
??
之间有什么关系?
二、自主探索,尝试解决
问题4:在指数函数y=2x中,x为自变量,y为因变量.如果把y当成自变量,x当成因变量,那么x是y的函数吗?如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由.
问题5:请同学仿照解决问题4的过程,探讨函数x=logay(a>0,且a≠1)是否为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数?
三、信息交流,揭示规律
问题6:由问题5,我们总结了函数x=logay(y∈(0,+∞))是函数y=ax(x∈R)的反函数,但是总感觉函数x=logay(y∈(0,+∞))有些怪怪的,不舒服,到底是哪里的问题呢?又怎样解决呢?
问题7:由问题6知对数函数y=logax(x∈(0,+∞))是指数函数y=ax(x∈R)的反函数,那么反过来,指数函数y=ax(x∈R)是否也是对数函数y=logax(x∈(0,+∞))的反函数呢?
(1)反函数概念:
指数函数y=ax(x∈R)与对数函数y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数.
问题8:通过前面的学习,我们知道研究一个新函数其过程往往是:定义—解析式—图象—性质.反函数的定义与解析式都研究完了,那么,互为反函数的两个函数的图象具有怎样的特点呢?
问题9:根据问题8,我们是否能说互为反函数的两个函数都关于直线y=x对称呢?
通过几何画板我们发现有如下规律:
(2)反函数的性质:
互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
四、运用规律,解决问题
【例1】求下列函数的反函数.
(1)y=4x(x∈R);(2)y=0.25x(x∈R);(3)y=(
1
3
)x(x∈R);(4)y=(
2
)x(x∈R);(5)y=lgx(x>0);(6)y=2log4x(x>0).
【例2】函数y=3x的图象与函数y=log3x的图象关于( )
A.y轴对称 B.x轴对称
C.原点对称 D.直线y=x对称
【例3】若点(1,2)既在函数y=
????+??
的图象上,又在其反函数的图象上,求m,n的值.
五、反思小结,观点提炼
1. ;?
2. ;?
3. .?
六、作业精选,巩固提高
阅读课本P73.
参考答案/
一、设计问题,创设情境
问题1:定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞).
问题2:时间t是位移s的函数.
问题3:一个解析式的两种不同形式,都是函数解析式,自变量和函数值恰好互换.
二、自主探索,尝试解决
问题4:指数函数y=2x中,x是自变量,y是x的函数,定义域为x∈R,值域为y∈(0,+∞).由指数式与对数式的互化有:x=log2y对于y在(0,+∞)中任何一个值,通过式子x=log2y,x在R中都有唯一的值和它对应.因此,它也确定了一个函数:x=log2y,y为自变量,x为y的函数,定义域是y∈(0,+∞),值域是x∈R.
由于函数x=log2y与函数y=2x是一个解析式的两种不同形式,都是函数解析式,而且自变量与函数值恰好相反,故我们引入一个新的概念,称函数x=log2y(y∈(0,+∞))是函数y=2x(x∈R)的反函数.
问题5:指数函数y=ax中,x是自变量,y是x的函数,定义域为x∈R,值域为y∈(0,+∞).由指数式与对数式的互化有:x=logay对于y在(0,+∞)中任何一个值,通过式子x=logay,x在R中都有唯一的值和它对应.因此,它也确定了一个函数:x=logay,y为自变量,x为y的函数,定义域是y∈(0,+∞),值域是x∈R.
由于,函数x=logay与函数y=ax是一个解析式的两种不同形式,都是函数解析式,而且自变量与函数值恰好相反,故我们引入一个新的概念,称函数x=logay(y∈(0,+∞))是函数y=ax(x∈R)的反函数.
三、信息交流,揭示规律
问题6:在函数x=logay中,y是自变量,x是函数.但习惯上,我们通常用x表示自变量,y表示函数.为此,我们常常对调函数x=logay中的字母x,y,把它写成y=logax.这样,对数函数y=logax(x∈(0,+∞))是指数函数y=ax(x∈R)的反函数.
问题7:由上述讨论可知,对数函数y=logax(x∈(0,+∞))是指数函数y=ax(x∈R)的反函数;同时,指数函数y=ax(x∈R)也是对数函数y=logax(x∈(0,+∞))的反函数.因此,指数函数y=ax(x∈R)与对数函数y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数.
问题8:利用几何画板在同一个坐标系中依次画出函数y=2x,y=log2x,y=3x,y=log3x的图象.发现,y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称,y=3x与y=log3x的图象也关于直线y=x对称.
问题9:利用几何画板在同一个坐标系中依次画出指数函数y=ax(x∈R)与对数函数y=logax(x∈(0,+∞))的图象,并观察,两图象关于直线y=x对称.
四、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)所求反函数为y=log4x(x>0);(2)所求反函数为y=log0.25x(x>0);(3)所求反函数为y=lo
g
1
3
x(x>0);(4)所求反函数为y=lo
g
2
x(x>0);(5)所求反函数为y=10x(x∈R);(6)所求反函数为y=
4
??
2
=2x(x∈R).
【例2】D
【例3】解:由已知得:
??+??
=2,
2??+??
=1,
即
??=-3,
??=7,
故m,n的值分别是-3,7.
五、反思小结,观点提炼
1.反函数的定义
2.掌握同底的指数函数与对数函数互为反函数
3.互为反函数的函数图象关于直线y=x对称
对数函数的图象和性质(第二课时)
学习目标
①进一步理解对数函数的图象和性质;
②熟练应用对数函数的图象和性质解决一些综合问题;
③通过例题和练习的讲解与演练,培养学生分析问题和解决问题的能力.
合作学习
一、复习回顾,承上启下
完成下表(对数函数y=logax(a>0,且a≠0)的图象和性质)
0a>1
图象
定义域
?
值域
?
过定点
过定点 ,即x=1时,y=0?
单调性
在 上是减函数?
在 上是增函数?
二、典例分析,性质应用
1.函数单调性
【例1】比较下列各组中两个值的大小:
(1)log67,log76;(2)log3π,log20.8.
变式1.已知x=
9
4
时,不等式loga(x2-x-2)>loga(-x2+2x+3)成立,求使此不等式成立的x的取值范围.
变式2.若函数f(x)=logax(0【例2】求下列函数的单调性.
(1)y=log2(x2+2x-3);
(2)y=lo
g
1
3
(-x2+4x+5).
2.过定点问题
【例3】函数y=loga(x+3)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .?
变式3.(1)函数y=kx-2k+3的图象恒过定点 .?
(2)函数y=ax-2+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .?
3.函数图象的应用
探究1:函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示,回答下列问题.
说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么?
探究2:分别画出函数④y=lo
g
1
2
x,⑤y=lo
g
1
5
x,⑥y=lo
g
1
10
x的图象,并找出规律.
探究3:y=logax,y=logbx,y=logcx的图象如图所示,那么a,b,c的大小关系怎样?
/
【例4】已知函数y=lo
g
??
1
x,y=lo
g
??
2
x,y=lo
g
??
3
x,y=lo
g
??
4
x的图象,则底数及1之间的关系: .?
/
变式4.已知y=logm(π-3)
A.1三、变式演练,深化提高
1.比较大小.
(1)log0.30.7,log0.40.3;(2)log3.40.7,log0.60.8,(
1
3
)
-
1
2
;(3)log0.30.1,log0.20.1.
2.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是( )
A.(0,
1
2
) B.(0,
1
2
] C.(
1
2
,+∞) D.(0,+∞)
3.已知loga(3a-1)恒为正数,求a的取值范围.
4.函数y=logax在[2,4]上的最大值比最小值大1,求a的值.
5.若a>0且a≠1,且loga
3
4
<1,则实数a的取值范围是( )
A.03
4
C.a>
3
4
或03
4
D.03
4
或a>1
6.函数y=x+a与y=logax的图象可能是( )
/
7.求函数y=lo
g
1
2
(3-2x-x2)的单调区间.
四、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?
1. ;?
2. ;?
3. .?
五、作业精选,巩固提高
1.如果loga2>logb2>0,那么下面不等关系式中正确的是( )
A.0b>1 D.b>a>1
2.当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是( )
/
3.函数f(x)=log4(x2-1),若f(a)>2,则实数a的取值范围是 .?
4.课本P75习题2.2B组第1,3,4题.
参考答案/
一、复习回顾,承上启下
(0,+∞) R (1,0) (0,+∞) (0,+∞)
二、典例分析,性质应用
【例1】解:(1)∵log67>log66=1,log76log76;
(2)∵log3π>log31=0,log20.8log20.8.
变式1.解:∵x=
9
4
使原不等式成立,
∴loga[(
9
4
)2-
9
4
-2]>loga[-(
9
4
)2+2×
9
4
+3],
即loga
13
16
>loga
39
16
,而
13
16
<
39
16
,
所以y=logax为减函数,故0原不等式可化为
??
2
-x-2>0,
-
??
2
+2x+3>0,
??
2
-x-2<-
??
2
+2x+3,
解得
??<-1或??>2,
-1-15
2
.
故使不等式成立的x的取值范围是(2,
5
2
).
变式2.a=
2
4
【例2】解:(1)定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).
原函数可看做函数y=log2u与函数u=x2+2x-3,x∈(-∞,-3)∪(1,+∞)的复合函数,因为函数y=log2u为增函数,函数u=x2+2x-3,x∈(-∞,-3)∪(1,+∞)在(-∞,-3)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,所以,y=log2(x2+2x-3)在(-∞,-3)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.
(2)在(-1,2)上为减函数,在(2,5)上为增函数.
【例3】(-2,0)
变式3.(1)(2,3) (2)(2,4)
探究1:y=log2x对应①,y=log5x对应②,y=lgx对应③.
规律:a>1时,x轴上方的图象,越靠右的底a越大,且在直线x=1的右侧.
探究2:画图略.
规律:0探究3:a>c>b
【例4】 a2>a1>1>a4>a3
变式4.C
三、变式演练,深化提高
1.(1)log0.30.71
3
)
-
1
2
;(3)log0.30.1>log0.20.1.
2.A
3.(
1
3
,
2
3
)∪(1,+∞)
4.
1
2
或2
5.D
6.C
7.减区间为(-3,-1),增区间为(-1,1)
四、反思小结,观点提炼
1.对数函数单调性及其应用
2.对数函数的图象及其应用
3.借对数函数过定点探究函数过定点问题
五、作业精选,巩固提高
1.D 2.B 3.(-∞,-
17
)
