函数的零点与方程的解
学习目标
①明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系,学会结合函数图象性质判断方程根的个数及多种方法求方程的根和函数的零点;
②通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律,在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界;
③通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律,还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性,“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:求下列方程的根.
(1)6x-1=0;
(2)3x2+6x-1=0;
(3)3x5+6x-1=0.(如何解,会解吗?)
问题2:求下面方程的实数根.
lnx+2x-6=0.
问题3:怎么解一般方程f(x)=0?
问题4:方程f(x)=0的根与函数y=f(x)之间有什么样的关系呢?
二、学生探索,尝试解决
活动1:请同学们先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数
①方程x2-2x-3=0的解为 ,函数y=x2-2x-3的图象与x轴有 个交点,坐标为 .?
②方程x2-2x+1=0的解为 ,函数y=x2-2x+1的图象与x轴有 个交点,坐标为 .?
③方程x2-2x+3=0的解为 ,函数y=x2-2x+3的图象与x轴有 个交点,坐标为 .?
根据以上观察结果,可以得到:
结论:一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的 .若一元二次方程无实数根,则相应的二次函数图象与x轴无交点.?
反思:函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,三者有什么关系?
活动2:所有函数都存在零点吗?什么条件下才能确定零点的存在呢?
画出函数f(x)=x2-2x-3的图象,
/
1.在区间[-2,1]上有零点,计算f(-2)= ,f(1)= ,发现f(-2)·f(1) (选填“<”或“>”)0.?
2.在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢?
三、信息交流,揭示规律
零点存在定理:
活动:出示这几个问题让学生思考,小组讨论:
(1)这个定理前提有几个条件?
(2)“有零点”是指有几个零点呢?只有一个吗?
(3)再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢?
(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗?
(5)这个定理有什么作用?
四、运用规律,解决问题
1.在下列哪个区间内,函数f(x)=x3+3x-5一定有零点( )
A(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
2.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
23
9
-7
11
-5
-12
-26
那么该函数在区间[1,6]上的零点有( )
A.只有3个 B.至少有3个 C.至多有3个 D.无法确定
五、变式演练,深化提高
1.函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若函数f(x)在[a,b]上连续,且有f(a)·f(b)>0.则函数f(x)在[a,b]上( )
A.一定没有零点 B.至少有一个零点
C.只有一个零点 D.零点情况不确定
3.函数f(x)=ex-1+4x-4的零点所在区间为( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
4.若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上有一个零点.则f(x)的零点个数为 .?
参考答案/
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)x=
1
6
(2)x=
-3±2
3
3
(3)不会解
问题2:不会解.
问题3:将方程的解转化为函数y=f(x)的零点.
问题4:方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标.
二、学生探索,尝试解决
活动1:①-1,3;2;(-1,0),(3,0);②1;1;(1,0);③0;0;不存在.
活动2:1.5 -4 2.具有同样特点
三、信息交流,揭示规律
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
活动:(1)条件有两个 (2)零点不一定只有一个 (3)加上函数是单调函数 (4)不能 (5)定理可以确定零点
四、运用规律,解决问题
1.C 2.B
五、变式演练,深化提高
1.D 2.D 3.B 4.3
用二分法求方程的近似解
学习目标
①理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法;利用信息技术辅助教学,让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程;
②体会二分法的思想和方法,使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法;让学生能够了解近似逼近思想,培养学生探究问题的能力和创新能力,以及严谨的科学态度;
③体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法;感受正面解决问题困难时,通过迂回的方法使问题得到解决的快乐.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:电路发生了故障,故障在一条长200m的线路上,如何迅速查出故障所在?(只需故障在5m之内即可)请同学们为电工师傅想一想怎样检查比较合理?
二、自主探索,尝试解决
问题2:你是否会解方程x3+3x-1=0?若不能解出,能否求出上述方程的近似解?
以求方程x3+3x-1=0的近似解(精确度0.1)为例进行探究.
探究1:怎样确定解所在的区间?
探究2:怎样缩小解所在的区间?
探究3:幸运52中猜商品价格环节,让学生思考:
(1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用?
(2)如何猜才能最快猜出商品的价格?
问题3:精确度0.1指的是什么?与精确到0.1一样吗?
三、信息交流,揭示规律
通过对以上问题的探究,给出二分法的定义就水到渠成了.
二分法的定义:
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下:
(1)
(2)
(3)
①
②
③
(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4).
四、运用规律,解决问题
借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x-7=0的近似解.(精确到0.001)
两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果.
五、牛刀小试
1.下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是( )
/
2.方程4x+2x-11=0的解在下列哪个区间内?( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
六、课外作业
1.下列方程在区间(2,3)内一定没有实根的是( )
A.x2-2x-1=0 B.lgx+x-3=0
C.2x-1=5-x D.lo
g
1
2
x=(
1
2
)x
2.已知y=x(x-1)(x+1)的图形如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0 (填正确性的序号).?
/
(1)有三个实根;
(2)当x<-1时,有且仅有一个实根;
(3)当-1(4)当0(5)当x>1,恰有一个实根.
3.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是( )
A.[-2,1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是 .?
5.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一的零点,如果用“二分法”求这个零点(精确到0.001的近似值),那么将(a,b)区间等分的次数至少是 .?
参考答案/
一、设计问题,创设情境
问题1:1.确定故障所在范围.
2.确定检测范围中点.
3.检测中点
(1)若中点为故障点,即可;
(2)若中点不为故障点,判断故障所在范围(被中点所分两范围之一).
4.判断故障范围是否符合精度,若符合,则得到故障点的近似处,否则重复上述2~4步.
二、自主探索,尝试解决
问题2:求x3+3x-1=0的根?求x3+3x-1=0的零点.
探究1:(1)图象法(数形结合):方程x3+3x-1=0的解就是函数y1=x3与y2=1-3x的图象交点的横坐标,画出两函数的简图如图所示.
/
(2)试值法:
设f(x)=x3+3x-1,f(0)=-1<0,f(1)=3>0.
探究2:反复取中点.
探究3:略
问题3:精度指的是区间长度,精确到0.1指的是小数的保留程度.
三、信息交流,揭示规律
二分法的定义:
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;
(2)求区间(a,b)的中点c;
(3)计算f(c);
①若f(c)=0,则c就是函数的零点;
②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
四、运用规律,解决问题
略
五、牛刀小试
1.C 2.B
六、课外作业
1.D 2.(1)(2) 3.A 4.[2,2.5] 5.10次
函数模型的应用
学习目标
①了解函数拟合的基本思想,学会建立拟合函数模型解决实际问题;
②借助信息技术,利用数据画出函数图象,从拟合简单的一次函数模型入手,掌握多角度观察函数图象的技能,探究出各种合适的拟合函数模型.在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想;
③体验探究的乐趣,了解函数是描述变化规律的基本数学模型,培养学生分析、解决问题的能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
大家已看到在课本第三章的章头图中,说的是有名的“澳大利亚的人兔大战”.859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,到1890年,新南威尔士州的兔子数量据估计就有3600万只.到1926年,全澳洲的兔子数量已经增长到了创纪录的100亿只.可爱的兔子变得可恶起来,100亿只兔子吃掉了相当于10亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛、羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.
与之相应,图中话道出了其中的意蕴:对于一个种群的数量,如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下,那么它将呈指数增长;但在有限制的环境中,种群数量一般符合对数增长模型.
前面我们学习过两种函数模型的应用,分别是利用给定函数模型解决实际问题、建立确定性的函数模型解决问题,那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下,又该如何解决实际问题呢?
二、自主探索,尝试解决
/
问题1:一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式,并作出相应的图象.
再次探索:
(1)将图中的阴影部分隐去,得到的图象有什么意义?
(2)图中每一个矩形的面积的意义是什么?
(3)汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系?它们关于时间的函数图象又有何关系?
三、信息交流,揭示规律
通过前面的分析例题,进行总结归纳.
利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法:
(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系;
(2)利用待定系数法,确定具体函数模型;
(3)对所确定的函数模型进行适当的评价;
(4)根据实际问题对模型进行适当的修正.
四、运用规律,解决问题
我校不同身高的男、女同学的体重平均值如下表:
身高/cm
150
152
154
156
158
160
162
164
166
168
170
172
体重/kg
42.9
44.8
46.5
48.5
50.2
52.3
54.2
56.6
59.1
61.4
63.8
66.2
(1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映我校学生体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.
(2)若体重超过相同身高的学生体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常.
请同学们归纳解决问题的基本过程:
/
五、变式训练,深化提高
一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减.
(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;
(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)
六、限时训练,巩固提高
请同学们在8分钟之内完成以下5个小题,比一比谁做的最快最好.
1.已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=0.1x2-11x+3000,每台产品的售价为25万元,则生产者为获得最大利润,产量x应定为( )
A.55台 B.120台 C.150台 D.180台
2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=
4??,1≤??<10,??∈
N
*
,
2??+10,10≤??<100,??∈
N
*
,
1.5,??≥100,??∈
N
*
.
其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )
A.15 B.40 C.25 D.130
3.某产品成本为a元,在今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,则成本y与经过的年数x的函数关系式为( )
A.y=a·(1-p%)m(m∈N*)
B.y=a·(1-m·p%)x(x∈N*且x≤m)
C.y=a·(1-p%)x(x∈N*且x≤m)
D.y=a·(1-p%
)
??
??
,(x∈N*,且x≤m)
4.把长为12cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,那么这两个正方形面积之和的最小值是 .?
5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=
1
2
·log3
??
100
,单位是m/s,其中O表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少?
(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.
七、反思小结,观点提炼
1.课堂作业
课本P104练习第1,2题;P106练习第1,2题.
2.以小组中1人总结,3人倾听的方式,对本课内容进行自主小结.
参考答案/
二、自主探索,尝试解决
问题1:(1)S=360,阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
(2)s=
50??+2004,0≤??<1,
80(??-1)+2054,1≤??<2,
90(??-2)+2134,2≤??<3,
75(??-3)+2224,3≤??<4,
65(??-4)+2299,4≤??≤5.
函数图象如图
/
(2)略
四、运用规律,解决问题
问题(1)的探究
①通过学生自主活动分析数据,发现本题只给出了通过测量得到的数据表,要想由这些数据直接发现函数模型是困难的.
②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机,画出它们的散点图.教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近,从而选择这个函数模型.
/
由图可发现指数型函数y=a·bx的图象可能与散点图的吻合较好,可选之.
③教师再问:如何确定拟合函数模型中a,b值.
④教师把学生每4人分成一小组合作探究,求出拟合函数模型中a,b的值,然后画出图形,得到的拟合函数效果如何?
⑤教师下去巡视后,请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解.
组1:选取(168,61.4),(172,66.2)两组数据,用计算器算出a=2.6,b=1.019.
这样得到函数模型为y=2.6×1.019x,画出这个函数的图象与散点图.
/
我们发现,函数y=2.6×1.019x不能很好地反映我校学生身高与体重关系.
组2:选取(154,46.5),(168,61.4)两组数据,用计算器算出a=2.2,b=1.02.
这样得出函数模型为y=2.2×1.02x,画出这个函数的图象与散点图.
/
我们发现,散点图上的点基本上或大多数接近函数y=2.2×1.02x的图象,所以函数y=2.2×1.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系.
(2)如一男生身高175cm,体重80kg,他的计算如下:
将x=175代入y=2.2×1.02x,得y=2.2×1.02175≈70.4.
由于80÷70.4≈1.136<1.2.
所以,该男生体重正常.
五、变式训练,深化提高
解:(1)最初的质量为500g.
经过1年后,ω=500(1-10%)=500×0.91;
经过2年后,ω=500×0.9(1-10%)=500×0.92;
由此推知,t年后,ω=500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5,
所以t=
lg0.5
lg0.9
=
-lg2
2lg3-1
≈6.6(年),
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
六、限时训练,巩固提高
1.D 2.C 3.C
4.
9
2
cm2
5.解:(1)由题意得v=
1
2
log3
2700
100
=
3
2
(m/s).
(2)当一条鱼静止时,即v=0(m/s),
则0=
1
2
log3
??
100
,
解得O=100.
所以当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是
3
2
m/s,当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100.
