4.5 函数的应用（二 ）学案

函数的应用 （二）
学习目标
①了解方程的根与函数零点的关系;
②理解函数零点的性质,掌握二分法,会用二分法求方程的近似解;
③了解直线上升、指数爆炸、对数增长,会进行指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较;
④能熟练应用数学建模解决有关函数的实际应用问题.
合作学习
一、知识回顾
(一)全章知识点
1.函数的零点,方程的根与函数的零点,零点的性质.
2.二分法,用二分法求函数零点的步骤.
3.几类不同增长的函数模型(直线上升、指数爆炸、对数增长),指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较.
4.应用函数模型解决实际问题的基本过程.
(二)方法总结
1.函数y=f(x)的　　　　就是方程f(x)=0的根,因此,求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题.?
2.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛,求解此类问题常有三种途径:
(1)利用求根公式;
(2)利用二次函数的图象;
(3)利用根与系数的关系.
无论利用哪种方法,根的判别式都不容忽视,只是由于二次函数图象的不间断性,有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中.
3.用二分法求函数零点的一般步骤:
已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个变号零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过正数ε,即使得|x-x0|≤ε.
(1)在D内取一个闭区间[a,b]?D,使　.?
令a0=a,b0=b.
(2)取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的横坐标为
x0=a0+
1
2
(b0-a0)=
1
2
(a0+b0).
计算f(x0)和f(a0).
判断:①如果f(x0)=0,　　　　;?
②如果f(a0)·f(x0)<0,则零点位于区间　　　　内,令a1=a0,b1=x0;?
③如果f(a0)·f(x0)>0,则零点位于区间　　　　内,令a1=x0,b1=b.?
(3)取区间[a1,b1]的中点,则此中点对应的横坐标为
x1=a1+
1
2
(b1-a1)=
1
2
(a1+b1).
计算f(x1)和f(a1).
判断:①如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;
②如果f(a1)·f(x1)<0,则零点位于区间[a1,x1]上,令a2=a1,b2=x1;
③如果f(a1)·f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1]上,令a2=x1,b2=b1.
…
实施上述步骤,函数的零点总位于区间[an,bn]上,　　　　　　　　　　　　　　　　　就是函数y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点与真正零点的误差不超过ε.?
4.对于直线y=kx+b(k≥0),指数函数y=m·ax(m>0,a>1),对数函数y=logbx(b>1),
(1)通过实例结合图象初步发现:当自变量变得很大时,指数函数比一次函数增长得快,一次函数比对数函数增长得快;
(2)通过计算器或计算机得出多组数据,结合函数图象(图象可借助于现代信息技术手段画出)进一步体会:
直线上升,其增长量固定不变;
指数增长,其增长量成倍增加,增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变量的不断增大,直线上升与指数增长的差距越来越大,当自变量很大时,这种差距大得惊人,所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容;
对数增长,其增长速度平缓,当自变量不断增大时,其增长速度小于直线上升.
5.在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=xn(n>0)都是增函数,但是它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会远远超过y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当x>x0时,　　　　.?
6.实际问题的建模方法.
(1)认真审题,准确理解题意;
(2)从问题出发,抓准数量关系,恰当引入变量或建立直角坐标系.运用已有的数学知识和方法,将数量关系用数学符号表示出来,建立函数关系式;
(3)研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义作出解答.
必须说明的是:
(1)通过建立函数模型解决实际问题,目的是通过例题培养学生应用数学的意识和分析问题的能力;
(2)把实际问题用数学语言抽象概括,从数学角度来反映或近似地反映实际问题所得出的关于实际问题的数学描述,即为数学模型.
7.建立函数模型,解决实际问题的基本过程:
/
二、例题讲解
【例1】作出函数y=x3与y=3x-1的图象,并写出方程x3=3x-1的近似解.(精确到0.1)
【例2】分别就a=2,a=
5
4
和a=
1
2
画出函数y=ax,y=logax的图象,并求方程ax=logax的解的个数.
【例3】根据上海市人大十一届三次会议上的政府工作报告,2013年上海完成GDP(国内生产总值)4035亿元,2014年上海市GDP预期增长9%,市委、市政府提出将本市常住人口每年的自然增长率控制在0.08%,若GDP与人口均按这样的速度增长,则要使本市人均GDP达到或超过2013年的2倍,至少需　　　　年.(按:2013年本市常住人口总数约为1300万)?
【例4】某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.
Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt.
(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
三、课堂练习
课本P112复习参考题A组第1,2,3,4,5题.
四、课堂小结
1.函数与方程的紧密联系,体现在函数y=f(x)的零点与相应方程f(x)=0的实数根的联系上;
2.二分法是求方程近似解的常用方法,应掌握用二分法求方程近似解的一般步骤;
3.不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律.指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的现实世界中不同增长规律的函数模型;
4.函数模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测;
5.在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用.
五、作业布置
课本P112复习参考题A组第7,8,9题;B组第1,2题.
参考答案/
二、例题讲解
【例1】解:函数y=x3与y=3x-1的图象如图所示.在两个函数图象的交点处,函数值相等.
/
因此,这三个交点的横坐标就是方程x3=3x-1的解.
由图象可以知道,方程x3=3x-1的解分别在区间(-2,-1),(0,1)和(1,2)内,那么,对于区间(-2,-1),(0,1)和(1,2)分别利用二分法可以求得它精确到0.1的近似解为x1≈-1.8,x2≈0.4,x3≈1.5.
【例2】解:利用Excel、图形计算器或其他画图软件,可以画出函数的图象,如下图所示.
/
根据图象,我们可以知道,当a=2,a=
5
4
和a=
1
2
时,方程ax=logax解的个数分别为0,2,1.
【例3】解:设需n年,由题意得
4035×(1+9%
)
??
13000000×(1+0.08%
)
??
≥
2×4035
13000000
,
化简得
(1+9%
)
??
(1+0.08%
)
??
≥2,解得n>8.
答:至少需9年.
【例4】解:由提供的数据知道,描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数,从而用函数 Q=at+b,Q=a·bt,Q=a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0,而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不吻合.所以,选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述.
以表格所提供的三组数据分别代入Q=at2+bt+c,得到
150=2500??+50??+??,
108=12100??+110??+??,
150=62500??+250??+??.
解得
??=
1
200
,
??=-
3
2
,
??=
425
2
.
所以描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=
1
200
t2-
3
2
t+
425
2
.
(2)当t=-
-
3
2
2×(
1
200
)
=150天时,西红柿种植成本最低,
为Q=
1
200
×1502-
3
2
×150+
425
2
=100(元/102kg).
三、课堂练习
1.C　2.C
3.设列车从A地到B地运行时间为T,经过时间t后列车离C地的距离为y,则
y=
200-
500
??
t,0≤t≤
2??
5
,
500
??
t-200,
2??
5
函数图象为
/
4.(1)圆柱形;
(2)上底小、下底大的圆台形;
(3)上底大、下底小的圆台形;
(4)呈下大上小的两节圆柱形.(图略)
5.令f(x)=2x3-4x2-3x+1,函数图象如下所示:
/
函数分别在区间(-1,0),(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,所以方程2x3-4x2-3x+1=0的最大的根应在区间(2,3)内.
取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)=-0.25.
因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).
再取(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈4.09.
因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).
同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5,2.5625),x0∈(2.5,2.53125),x0∈(2.515625,2.53125),x0∈(2.515625,2.5234375).
由于|2.534375-2.515625|=0.0078125<0.01,
此时区间(2.515625,2.5234375)的两个端点精确到0.01的近似值都是2.52,所以方程2x3-4x2-3x+1=0精确到0.01的最大根约为2.52.