2 简谐运动的描述
学 习 目 标
知 识 脉 络
1．理解振幅、周期和频率的物理意义，了解相位、初相、相位差的概念．(重点)
2．理解周期和频率的关系．
3．掌握用公式描述简谐运动的方法．(难点)
知识点一| 描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，单位为米(m)．
(2)物理含义：振幅是描述振动范围的物理量；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小．
2．周期(T)和频率(f)
内 容
周 期
频 率
定 义
做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间
单位时间内完成全振动的次数
单 位
秒(s)
赫兹(Hz)
物理含义
都是表示振动快慢的物理量
联 系
T＝
1．振幅就是振子的最大位移． (×)
2．从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期．
(×)
3．振动物体的周期越大，表示振动的越快． (×)
1．做简谐运动的物体连续两次通过同一位置的过程，是否就是一次全振动？
【提示】 不一定．只有连续两次以相同的速度通过同一位置的过程，才是一次全振动．
2．如果改变弹簧振子的振幅，其振动的周期是否会改变呢？弹簧振子的周期与什么因素有关呢？我们可以提出哪些猜想？怎样设计一个实验来验证这个猜想？
【提示】 猜想：影响弹簧振子周期的因素可能有：振幅、振子的质量、弹簧的劲度系数等．我们可以设计这样一个实验：弹簧一端固定，弹簧的另一端连着有孔小球，使小球在光滑的水平杆上滑动．通过改变振幅、振子的质量和弹簧的劲度系数，测量不同情况下振子的周期，注意在改变一个物理量的时候其他物理量应保持不变．
1．振幅与位移、路程、周期的关系
(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．
(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．
2．对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动．
(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征．
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
②时间特征：历时一个周期．
③路程特征：振幅的4倍．
④相位特征：增加2π.
1.如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B，C间振动，则( )
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．OB不一定等于OC
E．B、C两点是关O点对称的
解析：O点为平衡位置，B，C为两侧最远点，则从B起经O，C，O，B的路程为振幅的4倍，即A正确；若从O起经B，O，C，B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B错误；若从C起经O，B，O，C的路程为振幅的4倍，即C正确；因弹簧振子的系统摩擦不考虑，所以它的振幅一定，即D错误，E正确．
答案：ACE
2．一个物体做简谐运动时，周期是T，振幅是A，那么物体( )
A．在任意内通过的路程一定等于A
B．在任意内通过的路程一定等于2A
C．在任意内通过的路程一定等于3A
D．在任意T内通过的路程一定等于4A
E．在任意T内通过的位移一定为零
解析：物体做简谐运动，是变加速直线运动，在任意内通过的路程不一定等于A，故A错误；物体做简谐运动，在任意内通过的路程一定等于2A，故B正确；物体做简谐运动，在任意内通过的路程不一定等于3A，故C错误；物体做简谐运动，在一个周期内完成一次全振动，位移为零，路程为4A，故D、E正确．
答案：BDE
3．弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点．求：
(1)振子的振幅；
(2)振子的周期和频率；
(3)振子在5 s内通过的路程大小．
解析：(1)设振幅为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以A＝10 cm.
(2)从B首次到C的时间为周期的一半，因此T＝2t＝1 s；再根据周期和频率的关系可得f＝＝1 Hz.
(3)振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，则5 s内通过的路程为s＝·4A＝5×40 cm＝200 cm.
答案：(1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm.
振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅．
(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，周期内的路程等于振幅．
(2)若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．
知识点二| 简谐运动的表达式
1．表达式：简谐运动的表达式可以写成
x＝Asin或x＝Asin(t＋φ)
2．表达式中各量的意义
(1)“A”表示简谐运动的“振幅”．
(2)ω是一个与频率成正比的物理量叫简谐运动的圆频率．
(3)“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝．
(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位．
(5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相．
1．简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关． (×)
2．一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动． (√)
3．简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)中，ωt＋φ的单位是弧度． (√)
1．有两个简谐运动：x1＝3asin和x2＝9asin ，它们的振幅之比是多少？频率各是多少？
【提示】 它们的振幅分别为3a和9a，比值为1∶3；频率分别为2b和4b.
2．简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的含义是什么？
【提示】 两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同，例如甲和乙两个简谐运动的相位差为π，意味着乙总比甲滞后个周期或次全振动．
1．简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．
2．各量的物理含义
(1)圆频率：表示简谐运动物体振动的快慢．与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf.
(2)φ表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．ωt＋φ表示做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以表示简谐运动的相位．
3．做简谐运动的物体运动过程中的对称性
(1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称．以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等．
(2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tB C＝tC B；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tB C＝tB′C′，如图所示．
4．做简谐运动的物体运动过程中的周期性
简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做如下判断：
(1)若t2－t1＝nT，则t1，t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．
(2)若t2－t1＝nT＋T，则t1，t2两时刻，描述运动的物理量(x，F，a，v)均大小相等，方向相反．
(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定．
4．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是________．
解析：由于振幅A为20 cm，振动方程为y＝Asin ωt(平衡位置计时，ω＝)，由于高度差不超过10 cm，游客能舒服地登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝，t2＝，所以在一个周期内舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝＝1.0 s.
答案：1.0 s
5．物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin m．比较A，B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A，B周期相等，为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB
E．A的相位始终超前B的相位
解析：振幅是标量，A，B的振幅分别是3 m，5 m，A错；A，B的圆频率ω＝100，周期T＝＝ s＝6.28×10－2 s，B错，D对；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φAO－φBO＝为定值，E对．
答案：CDE
6．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图象．
解析：简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，所以x＝8sin(πt＋φ) cm，将t＝0，x0＝4 cm代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝或φ＝π，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝π，所求的振动方程为x＝8sin(πt＋π) cm，画对应的振动图象如图所示．
答案：见解析
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
(1)明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相．
(2)ω＝＝2πf是解题时常涉及到的表达式．
(3)解题时画出其振动图象，会使解答过程简捷、明了．
课件39张PPT。2 简谐运动的描述主题2 机械振动与机械波23描述简谐运动的物理量4范围最大距离5全振动全振动秒(s)赫兹(Hz)振动快慢6× × × 7891011121314151617181920简谐运动的表达式2122振幅频率圆频率周期相位初相位初相23× √ √ 242526272829303132333435363738点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
1．振动周期指振动物体( )
A．从任何一个位置出发又回到这个位置所用的时间
B．从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用时间
C．从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用时间
D．经历了四个振幅的时间
E．完成一次全振动的时间
解析：振动周期是振子完成一次全振动所用的时间，C、D、E正确．
答案：CDE
2．关于振幅的各种说法中，正确的是( )
A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离
B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅
C．振幅等于振子运动轨迹的长度
D．振幅越大，表示振动越强
E．振幅的大小与周期无关
解析：振幅是振子离开平衡位置的最大距离，是标量，在简谐运动中大小不变，而位移是变化的，故A对，B、C错；振幅越大，振动越强，但与周期无关，D、E对．
答案：ADE
3．在1 min内甲振动30次，乙振动75次，则( )
A．甲的周期为0.5 s
B．乙的周期为0.8 s
C．甲的频率为0.5 Hz
D．乙的频率为0.8 Hz
E．甲、乙的圆频率之比为2∶5
解析：T甲＝＝2 s，f甲＝＝0.5 Hz；T乙＝＝0.8 s，f乙＝＝1.25 Hz.＝＝.
答案：BCE
4．如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是( )
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是2 s
C．振幅是5 cm
D．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
E．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析：振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm.弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过路程为40 cm，3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm.故B、C、E正确，A、D错误．
答案：BCE
5．一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图所示，a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置，下列说法正确的是( )
A．质点在位置b比位置d时相位超前
B．质点通过位置b时，相对平衡位置的位移为
C．质点从位置a到c和从位置b到d所用时间相等
D．质点从位置a到b和从b到c的平均速度相等
E．质点在b、d两位置速度相同
解析：质点在位置b比位置d时相位超前，选项A正确；质点通过位置b时，相对平衡位置的位移大于，选项B错误；质点从位置a到c和从位置b到d所用时间相等，选项C正确；质点从位置a到b和从b到c的时间相等，位移不等，所以平均速度不相等，选项D错误．由对称性知选项E正确．
答案：ACE
6．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt(cm)和x2＝2sin 2πt(cm)，它们的振幅之比为________，各自的频率之比是________．
解析：由题意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1.
答案：2∶1 2∶1
7．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是________．
解析：由题意知，ω＝＝4π，t＝0时具有负方向的最大加速度，所以t＝0时振子具有最大的正位移，故初相位φ＝，表达式为x＝8×10－3 sin m.
答案：x＝8×10－3 sin m
8．某个质点的简谐运动图象如图所示，求振动的振幅和周期．
解析：由题图读出振幅A＝10 cm
简谐运动方程x＝Asin(t)
代入数据－10＝10sin(×7)
得T＝8 s.
答案：10 cm 8 s
[能力提升练]
9．一弹簧振子做简谐运动，周期为T( )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度、位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的奇数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
C．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度可能相等
E．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
解析：若Δt＝或ΔT＝nT－(n＝1，2，3，…)，则在t和(t＋Δt)两时刻振子必在关于平衡位置对称的两位置(包括平衡位置)，这两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相反，但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等[只有当振子在t和(t＋Δt)两时刻均在平衡位置时，弹簧长度才相等]．反过来，若在t和(t＋Δt)两时刻振子的位移、加速度和速度均大小相等、方向相反，则Δt一定等于的奇数倍，即Δt＝(2n－1)(n＝1，2，3，…)．如果仅仅是振子的速度在t和(t＋Δt)两时刻大小相等、方向相反，那么不能得出Δt＝(2n－1)，更不能得出Δt＝n(n＝1，2，3，…)．根据以上分析，C选项错，A、D项正确．若t和(t＋Δt)两时刻，振子的位移、加速度、速度等均相同，则Δt＝nT(n＝1，2，3，…)，但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出Δt＝nT，所以B选项错．若Δt＝nT，在t和(t＋Δt)两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相同，E选项正确．
答案：ADE
10．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置运动到x＝处所经历的时间为t1，第一次从最大位移处运动到x＝所经历的时间为t2，t1与t2的大小关系是________．
解析：画出x-t图象，从图象上，我们可以很直观地看出：t1＜t2.
答案：t1＜t2
11．一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10 cm的A、B两点，且由A到B的过程中速度方向不变，历时0.5 s(如图所示)．过B点后再经过t＝0.5 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点，则质点振动的周期是________．
解析：根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s，质点从B向右到达右方极端位置(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s，所以质点从O到D的时间tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s，所以T＝2.0 s.
答案：2.0 s
12．如图为一弹簧振子的振动图象，试求：
(1)写出该振子简谐运动的表达式；
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的位移是多少？路程是多少？
解析：(1)由振动图象可得A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0
则ω＝＝ rad/s
故该振子简谐运动的表达式为x＝5sint cm.
(2)由题图可知，在t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的推移，位移不断变大，加速度也不断变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3 s时，加速度达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．
(3)振子经一周期位移为零，路程为5×4 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子位移x＝0，振子路程x′＝20×25 cm＝500 cm＝5 m.
答案：(1)x＝5sint cm (2)见解析
(3)0 5 m
