3 简谐运动的回复力和能量
学 习 目 标
知 识 脉 络
1．理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律．(重、难点)
2．掌握简谐运动回复力的特征．(重点)
3．对水平的弹簧振子，能定性地说明弹性势能与动能的转化过程．
知识点一| 简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力．
(2)方向：指向平衡位置．
(3)表达式：F＝－kx．
2．简谐运动的动力学特征
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
1．回复力的方向总是与位移的方向相反． (√)
2．回复力的方向总是与速度的方向相反． (×)
3．回复力的方向总是与加速度的方向相反． (×)
1．公式F＝－kx中的k是否就是指弹簧的劲度系数？
【提示】 不一定．做简谐运动的物体，其回复力特点为F＝－kx，这是判断物体是否做简谐运动的依据，但k不一定是弹簧的劲度系数．
2．弹簧振子从平衡位置到达最大位移处的过程中，回复力如何变化？从最大位移处向平衡位置运动的过程中呢？
【提示】 由回复力F＝－kx可知：从平衡位置到达最大位移处的过程中，回复力逐渐增大，方向一直指向平衡位置．从最大位移处向平衡位置运动的过程中，回复力逐渐减小，方向一直指向平衡位置．
1.回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．
2．简谐运动的回复力的特点
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．
(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．
(3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．
1.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐减小
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
E．弹簧的形变量逐渐减小
解析：该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析．当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝得加速度也减小．物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，即加速度与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大．故正确答案为B、D、E.
答案：BDE
2．如图所示，分析做简谐运动的弹簧振子m的受力情况．
解析：弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力，回复力为效果力，受力分析时不分析此力，故振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力．
答案：受重力、支持力及弹簧给它的弹力．
3．一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示．
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是________；
(2)该小球的振动是否为简谐运动？
解析：(1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力．(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg ①
当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h) ②
将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动．
答案：(1)弹力和重力的合力 (2)是简谐运动
判断是否为简谐运动的方法
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系．
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析．
(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力．
(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动．
知识点二| 简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
1．简谐运动是一种理想化的振动． (√)
2．水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．
(×)
3．弹簧振子位移最大时，势能也最大． (√)
1．振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能各物理量的关系如何？
【提示】 振子经过同一位置时，位移、回复力、加速度、速率、动能一定相同，但速度不一定相同，方向可能相反．
2．振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′时各物理量的关系如何？
【提示】 位移、回复力、加速度大小相等，方向相反，动能、势能相等，速度大小相等，方向可能相同也可能相反，且振子往复通过一段路程(如OP)所用时间相等，即tOP＝tPO.
简谐运动的特点
如图所示的弹簧振子．
振子的运动
位移
加速度
速度
动能
势能
O→B
增大，方向向右
增大，方向向左
减小，方向向右
减小
增大
B
最大
最大
0
0
最大
B→O
减小，方向向右
减小，方向向左
增大，方向向左
增大
减小
O
0
0
最大
最大
0
O→C
增大，方向向左
增大，方向向右
减小，方向向左
减小
增大
C
最大
最大
0
0
最大
C→O
减小，方向向左
减小，方向向右
增大，方向向右
增大
减小
(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反．
(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点．
(3)最大位移处是速度方向变化的转折点．
(4)简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量．
4．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加
E．小球从B到O的过程中，动能增大，势能减小，总能量不变
解析：小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D项错误．E项正确．
答案：ABE
5．弹簧振子做简谐运动，其位移x与时间t的关系如图所示，则( )
A．在t＝1 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零
B．在t＝2 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零
C．在t＝3 s时，速度的值最大，方向为正，加速度最大
D．在t＝4 s时，速度的值最大，方向为正，加速度为零
E．当t＝5 s时，速度为零，加速度最大，方向为负
解析：当t＝1 s和t＝5 s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项A错误，E正确；当t＝2 s时，位移为零，加速度为零，而速度最大，速度方向要看该点切线斜率的正负，t＝2 s时，速度为负值，选项B正确；当t＝3 s时，位移最大，加速度最大，速度为零，选项C错误；当t＝4 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，方向为正，选项D正确．
答案：BDE
6．如图所示为一弹簧振子的振动图象，在A，B，C，D，E，F各时刻中：
(1)哪些时刻振子有最大动能？
(2)哪些时刻振子有相同速度？
(3)哪些时刻振子有最大势能？
(4)哪些时刻振子有相同的最大加速度？
解析：由题图知，B，D，F时刻振子在平衡位置，具有最大动能，此时振子的速率最大；A，C，E时刻振子在最大位移处，具有最大势能，此时振子的速度为0.B，F时刻振子向负方向运动，D时刻振子向正方向运动，可知D时刻与B，F时刻虽然速率相同，但方向相反．A，E两时刻振子的位移相同，C时刻振子的位移虽然大小与A，E两时刻相同，但方向相反．由回复力知识可知C时刻与A，E时刻振子受力大小相等，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反．
答案：(1)B，D，F时刻振子有最大动能． (2)A，C，E时刻振子速度相同，B，F时刻振子速度相同．
(3)A，C，E时刻振子有最大势能． (4)A，E时刻振子有相同的最大加速度．
对简谐运动能量的三点认识
(1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大．
(2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的．
(3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒．
课件39张PPT。3 简谐运动的回复力和能量主题2 机械振动与机械波简谐运动的回复力平衡位置平衡位置平衡位置－kx正比√ × × 简谐运动的能量
动能势能势能动能动能势能理想化守恒√ √ × 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
1．简谐运动的特点是( )
A．回复力跟位移成正比且反向
B．速度跟位移成反比且反向
C．加速度跟位移成正比且反向
D．振幅跟位移成正比
E．振幅跟位移无关
解析：由F＝－kx，a＝＝－，可知A，C选项正确．当位移增大时，速度减小，但位移的方向与速度方向可能相同，也可能相反，故B选项不正确．振幅与位移无关，D不正确，E选项正确．
答案：ACE
2．关于做简谐运动物体的平衡位置，下列叙述正确的是( )
A．是回复力为零的位置
B．是回复力产生的加速度改变方向的位置
C．是速度为零的位置
D．是回复力产生的加速度为零的位置
E．是势能最大的位置
解析：平衡位置处，x＝0，则回复力F＝0，回复力产生的加速度为零，且此处速度最大势能最小，A，D正确，C、E错误．在平衡位置两边位移方向相反，回复力方向相反，对应加速度方向相反，B正确．
答案：ABD
3．关于简谐运动，以下说法正确的是( )
A．回复力可能是物体受到的合外力
B．回复力是根据力的作用效果命名的
C．振动中位移的方向是不变的
D．物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零
E．振动中振幅是不变的
解析：回复力可以是某个力，可以是某个力的分力，也可以是几个力的合力，A正确；回复力可以由重力、弹力、摩擦力等各种不同性质的力提供，其效果是使物体回到平衡位置，B正确；位移是从平衡位置指向物体所在位置，其方向是不同的，做简谐运动的物体振幅是不变的．C错误，E正确；物体振动到平衡位置时，所受回复力为零，但合外力不一定为零，D错误．
答案：ABE
4．如图所示是某一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是 ( )
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第2 s内，质点速度逐渐增大
C．在第3 s内，动能转化为势能
D．在第4 s内，动能转化为势能
E．在第4 s内，加速度逐渐减小
解析：质点在第1 s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2 s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动加速度减小，速度增大，势能转化为动能，所以选项D错误，E正确．
答案：BCE
5．如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A到B的时间为0.1 s．若使振子在AB＝10 cm间振动，则振子由A到B的时间为________．
解析：由于周期不变，仍为0.2 s，A到B仍用时0.1 s.
答案：0.1 s
6．如图所示，一弹簧振子在光滑水平面A，B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
(1)简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________能和________能相互转化，总________能守恒．
(2)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到振子的上面，且它们无相对运动而一起运动，下列说法正确的是( )
A．振幅不变
B．振幅减小
C．最大动能不变
D．最大动能减少
E．振动系统的总能量不变
解析：(1)简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上质量为m的物体，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此A正确，B错误．由于机械能守恒，最大动能不变，所以C、E正确，D错误．
答案：(1)振幅 动 弹性势 机械 (2)ACE
7．如图所示，在一倾角为θ的光滑斜板上，固定着一根原长为l0的轻质弹簧，其劲度系数为k，弹簧另一端连接着质量为m的滑块，此时弹簧被拉长为l1.现把小球沿斜板向上推至弹簧长度恰好为原长，然后突然释放，求证小球的运动为简谐运动．
解析：松手释放，滑块沿斜板往复运动——振动．而振动的平衡位置是小球开始时静止(合外力为零)的位置．
mgsin θ＝k(l1－l0)
滑块离开平衡位置的距离为x，受力如图所示，滑块受三个力作用，其合力F合＝k(l1－l0－x)－mgsin θ，F合＝－kx.由此可证小球的振动为简谐运动．
答案：见解析
[能力提升练]
8．公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板．一段时间内货物在竖直方向振动可视为简谐运动，周期为T.竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图象如图所示，则( )
A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
E．t＝T时，货物所受合力为零
解析：要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图象可知在T时，货物向上的加速度最大，则C选项正确；若货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图象可知在时，货物向下的加速度最大，所以选项A正确，B、D错误．T时刻物体所受压力与重力等大反向，选项E正确．
答案：ACE
9.如图所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中( )
A．小球最大动能应小于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
E．小球在最低点时的弹力等于2mg
解析：小球的平衡位置kx0＝mg，x0＝A＝，当到达平衡位置时，有mgA＝mv2＋kA2，A对；机械能守恒，是动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B错；从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，Ep＝2mgA，最低点加速度等于最高点加速度g，据牛顿第二定律F－mg＝mg，F＝2mg，A、C、E正确．
答案：ACE
10．如图所示，一个质量为m的木块放在质量为M的平板小车上，它们之间的最大静摩擦力是fm，在劲度系数为k的轻质弹簧作用下，沿光滑水平面做简谐运动．为使小车能和木块一起振动，不发生相对滑动，简谐运动的振幅不能大于________．
解析：小车做简谐运动的回复力是木块对它的静摩擦力．当它们的位移最大时，加速度最大，受到的静摩擦力最大．为了不发生相对滑动，达到最大位移时，小车的最大加速度a＝，即系统振动的最大加速度．对整体：达到最大位移时的加速度最大，回复力k·A＝(M＋m)a，则振幅A≤.
答案：
11．如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A______A0(选填“>”“<”“＝”)，T ______T0(选填“>”“<”或“＝”)．
解析：(1)弹簧振子振动过程中，机械能守恒，振子经过平衡位置时，弹性势能为零，动能最大，从平衡位置运动到最大位移处时，动能转化为弹性势能．本题中，当粘胶脱开后，物块a与弹簧连接所构成的新的弹簧振子的机械能减小，新振子到达最大位移处时的弹性势能减小，即振子振动的振幅减小；新的弹簧振子的振幅减小，振子从最大位移处加速运动到平衡位置的距离减小，运动中的加速度比原振子振动时的大，所以运动时间减小，振子振动的周期减小．(T＝2π，由于振子质量减小导致周期减小)
答案：＜ ＜
12．一质量为m，侧面积为S的正方体木块，放在水面上静止(平衡)，如图所示．现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动．
解析：以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，当木块被压入水中(x＋Δx)后如图所示，则F回＝mg－F浮，
又F浮＝ρgS(Δx＋x)．
由以上两式，得
F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx.
mg＝ρgSΔx，所以F回＝－ρgSx.
即F回＝－kx(k＝ρgS)．
所以木块的振动为简谐运动．
答案：木块的振动是简谐运动
