4 单摆
5 实验：用单摆测量重力加速度
学 习 目 标
知 识 脉 络
1．知道什么是单摆．
2．理解单摆振动回复力的来源及做简谐运动的条件．(难点)
3．知道单摆周期的决定因素，掌握单摆的周期公式．(重点)
4．掌握用单摆测量重力加速度的方法．(重点)
知识点一| 单摆及单摆的回复力
1．单摆模型
如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫作单摆．单摆是实际摆的理想化的物理模型．
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力．
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置．
(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．
1．实际的摆的摆动都可以看作简谐运动． (×)
2．单摆回复力的方向总是指向悬挂位置． (×)
3．单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的． (√)
摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达最大位移处，v＝0，加速度是否等于0?
【提示】 单摆摆动中平衡位置不是平衡状态，有向心力和向心加速度，回复力为零，合外力不为零．最大位移处速度等于零，但不是静止状态．一般单摆回复力不是摆球所受合外力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，所以加速度不一定等于零．
1.运动特点
(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力．.
(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力．
2．摆球的受力
(1)任意位置
如图所示，G2＝Gcos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsin θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力．
(2)平衡位置
摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G提供向心力，因此，在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符．
(3)单摆的简谐运动
在θ很小时(理论值为＜5°)，sin θ≈tan θ＝，
G1＝Gsin θ＝x，
G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力
F回＝G1＝－x＝－kx(k＝)．
因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动．
1.振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力、合力及加速度的说法中正确的是( )
A．回复力为零
B．合力不为零，方向指向悬点
C．合力不为零，方向沿轨迹的切线
D．回复力为零，合力也为零
E．加速度不为零，方向指向悬点
解析：单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力和向心加速度，方向指向悬点(即指向圆心)．
答案：ABE
2．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )
A．摆球受重力、摆线的张力作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零
C．摆球的回复力为零时，向心力最大
D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
E．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
解析：单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A对；重力垂直于摆线的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D、E错，B、C对．
答案：ABC
3．下列关于单摆的说法，正确的是( )
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为零
B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力
C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
E．摆球在最高点时的回复力等于小球受的合力
解析：简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，A正确．摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，合力在摆线方向的分力提供向心力，B错误、C正确．摆球经过最低点(摆动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合力不为零，加速度也不为零，D错误．在最高点时、向心力为零，合力等于回复力，E正确．
答案：ACE
对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置．实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡．
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力．
知识点二| 单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与摆球质量、振幅无关．
(2)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大．
2．周期公式
(1)公式：T＝2π．
(2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质．
1．单摆的振幅越大周期越大． (×)
2．单摆的周期与摆球的质量无关． (√)
3．摆长应是从悬点到摆球球心的距离． (√)
1．由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？
【提示】 不是．摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a∝，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T＝2π决定，与摆球的质量无关．
2．把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？
【提示】 两极处重力加速度大于赤道处重力加速度，由T＝2π知，应增大摆长，才能使周期不变．
1.摆长l的确定
实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝l0＋，l0为摆线长，D为摆球直径．
2.重力加速度g的变化
(1)公式中的g由单摆所在地空间位置决定
由G＝g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2.
(2)g还由单摆系统的运动状态决定
如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a.
(3)g还由单摆所处的物理环境决定
如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有g′的问题．
4．如图所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T，则下列说法正确的是( )
A．把摆球的质量增加一倍，其周期不变
B．摆球的振幅变小时，周期也变小
C．此摆由O→B运动的时间为
D．摆球由B→O时，动能向势能转化
E．摆球由O→C时，动能向势能转化
解析：单摆的周期与摆球的质量无关，A正确；单摆的周期与振幅无关，B错误；此摆由O→B运动的时间为，C正确；摆球B→O时，势能转化为动能，O→C时动能转化为势能，D错误，E正确．
答案：ACE
5．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)．
让小球在纸面内振动，周期T＝________．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝________．
解析：让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为(l＋l)，周期T＝2π.
答案：2π 2π
6．如图所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上匀加速运动，求单摆的摆动周期．
解析：单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则摆球受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的视重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝＝g＋a，因而单摆的周期为T＝2π＝2π.
答案：2π
确定单摆周期的方法
(1)明确单摆的运动过程，判断是否符合简谐运动的条件．
(2)运用T＝2π时，注意l和g是否发生变化，若发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间．
(3)单摆振动周期改变的途径：
①改变单摆的摆长；
②改变单摆的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重)．
(4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系．
知识点三| 实验：用单摆测重力加速度
1．实验目的
利用单摆测定当地的重力加速度，巩固和加深对单摆周期公式的理解．
2．实验原理
单摆在偏角很小(小于5°)时，可看成简谐运动，其周期T＝2π，可得g＝.据此，通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度．
3．实验器材
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺．
4．实验步骤
(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．
(2)将小铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．
(3)用刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测出摆球直径d，然后计算出悬点到球心的距离l＝l′＋即摆长．
(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角小于5°，再释放小球．当摆球摆动稳定以后，在最低点位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，然后求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．
(5)改变摆长，重做几次．
(6)根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度；求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即本地区的重力加速度的值．
(7)将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较，如有误差，分析产生误差的原因．
5．数据处理
(1)公式法：根据公式g＝，将每次实验的l、n、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值．
(2)图象法：作出T2-l图象，由T2＝可知T2-l图线是一条过原点的直线，其斜率k＝，求出k，可得g＝.
6．注意事项
(1)摆线要选1 m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数．
(2)摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发生形变．
(3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长．
(4)摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响．
(5)摆角要小于5°(具体实验时可以小于15°)，不要过大，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动，公式T＝2π就不再适用．
(6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆．
(7)要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时．
(8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记．
7．误差分析
(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等．
(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶数误差，进行多次测量后取平均值．
(3)本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可．
7．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出如下建议，其中对提高测量结果精确度有利的是( )
A．适当加长摆线
B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D．当单摆经过最高位置时开始计时
E．当单摆经过平衡位置时开始计时，且测量30～50次全振动的时间
解析：单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度．适当加长摆线，有利于把摆球看成质点，在摆角小于5°的条件下，摆球的空间位置变化较大，便于观察，A对；摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球影响越大，B错；摆角应小于5°，C对；本实验采用累积法测量周期，且从球过平衡位置时开始计时，D错，E正确．
答案：ACE
8．(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，应选用的器材为________．
A．1 m长的细线 B．1 m长的粗线
C．10 cm长的细线 D．泡沫塑料小球
E．小铁球 F．秒表
G．时钟 H．厘米刻度尺
I．毫米刻度尺 J．游标卡尺
(2)在该实验中，单摆的摆角θ应________，从摆球经过________开始计时，测出n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测出摆线长为L，用游标卡尺测出摆球的直径为d.用上述物理量的符号写出测出的重力加速度的一般表达式为g＝________．
解析：(1)做摆长的细线要用不易伸长的细线，一般不应短于1米，选A；小球应是密度较大，直径较小的金属球，选E；计时仪器宜选用秒表F；测摆长应选用毫米刻度尺I，用游标卡尺测摆球的直径．
(2)根据单摆做简谐运动的条件知θ＜5°；因平衡位置易判断，且经平衡位置时速度大，用时少，误差小，所以从平衡位置开始计时．
根据T＝2π，又T＝，l＝L＋
得g＝.
答案：(1)AEFIJ (2)小于5° 平衡位置
课件51张PPT。4 单摆
5 实验：用单摆测量重力加速度主题2 机械振动与机械波单摆及单摆的回复力理想化伸缩质量直径简谐切线正比平衡位置× × √ 单摆的周期摆球质量振幅摆长越大× √ √ 实验：用单摆测重力加速度点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B．摆球受到的回复力是它所受的合力
C．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零
D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比
E．摆角很小时，摆球的回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
解析：回复力是使摆球回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置，A选项正确；摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，B选项错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，C选项正确；摆角很小时，回复力与摆球相对于平衡位置的位移大小成正比，但合力没有此关系，D选项错误．E选项正确．
答案：ACE
2．发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大( )
A．增大摆球质量
B．增加摆长
C．减小单摆振幅
D．将单摆由山下移到山顶
E．把单摆放在减速上升的升降中
解析：由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小或L增大时周期会变大．
答案：BDE
3．一个单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是( )
A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
E．t4时刻摆球所受合力为零
解析：由振动图象可知：t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球的拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球的拉力最大．故正确答案为A、B、D.
答案：ABD
4．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的，则单摆摆动的频率________，振幅变________．
解析：单摆的周期和频率由摆长和当地的重力加速度决定，与摆球的质量和速度无关；另外由机械能守恒定律可知，摆球经过平衡位置的速度减小了，则摆动的最大高度减小，振幅减小．
答案：不变 小
5．把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动变________了，要使它恢复准确，应________摆长．
解析：把标准摆钟从北京移到赤道上，重力加速度g变小，则周期T＝2π＞T0，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长．
答案：慢 缩短
6．在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹簧振子的周期为T1，单摆的周期为T2，则T1和T2的关系为________．
解析：弹簧振子的周期与重力加速度无关，故其周期不变；单摆的周期为T＝2π，由于g的增大，故单摆的周期减小，故有T1＞T2.
答案：T1＞T2
7．摆长为l的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(即取作t＝0)，当振动至t＝时，摆球恰具有负向最大速度，画出单摆的振动图象．
解析：t＝＝T，最大速度时，单摆应在平衡位置，y＝0，v方向为－y，沿y轴负方向．
答案：
8．将秒摆的周期变为4 s，应怎样调摆长？
解析：单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，对秒摆，T0＝2π＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π＝4 s，故l＝4l0.
答案：将单摆的摆长变为原来的4倍
[能力提升练]
9．如图所示，用绝缘细丝线悬挂着的带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则( )
A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同
B．当小球每次通过平衡位置时，速度相同
C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力不相同
D．磁场对摆的周期无影响
E．撤去磁场后，小球摆动周期变大
解析：小球在磁场中运动时，由于洛伦兹力不做功，所以机械能守恒．运动到最低点，球的速度大小相同，但方向可能不同，A项正确，B项错误．小球从左、右两方向通过最低点时，向心力相同，洛伦兹力方向相反，所以拉力不同，C项正确．由于洛伦兹力不提供回复力，因此有无磁场，不影响振动周期，D项正确，E项错误．
答案：ACD
10．一个摆长为l1的单摆，在地面上做简谐运动，周期为T1，已知地球的质量为M1，半径为R1；另一摆长为l2的单摆，在质量为M2，半径为R2的星球表面做简谐运动，周期为T2.若T1＝2T2，l1＝4l2，M1＝4M2，则地球半径与星球半径之比R1∶R2为________．
解析：在地球表面单摆的周期T1＝2π……①，在星球表面单摆的周期T2＝2π……②，＝g……③，G＝g′……④.联立①②③④得＝··＝.
答案：2∶1
11.在“利用单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝.只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2-l图象，就可以求出当地的重力加速度．理论上T2-l图象是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图象如图所示．
(1)造成图象不过坐标原点的原因可能是________．
(2)由图象求出的重力加速度g＝________ m/s2.(π2取9.87)
解析：(1)既然所画T2-l图象与纵坐标有正截距，这就表明l的测量值与真实值相比偏小了，则意味着测摆长时可能漏掉了摆球半径．(2)图象的斜率k＝＝4，则g＝＝9.87 m/s2.
答案：(1)测摆长时漏掉了摆球半径 (2)9.87
12．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少．
解析：(1)由乙图知周期T＝0.8 s，
则频率f＝＝1.25 Hz.
(2)由乙图知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以在B点．
(3)由T＝2π得L＝＝0.16 m.
答案：(1)1.25 Hz (2)B点 (3)0.16 m
