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简谐运动的周期性和对称性
1.做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以做简谐运动的物体具有周期性．
2.做简谐运动的物体其运动具有对称性．对称性表现在：
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．
(2)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．
(3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等．
【例1】 一个做简谐运动的质点在平衡位置O点附近振动；当质点从O点向某一侧运动时，经3 s第一次过P点，再向前运动，又经2 s第二次过P点，则该质点再经多长的时间第三次经过P点？
解析：若质点沿图中①的方向第一次过P点，历时3 s；由P到B，再由B到P共历时2 s，则由其对称性知P、B间往返等时，各为1 s，从而可知T/4＝4 s，周期T＝16 s．第三次再过P点，设由P向左到A再返回到P，历时为一个周期T减去P、B间往返的2 s，则需时t＝16 s－2 s＝14 s.
若沿图中②的方向第一次过P点，则有
3－tOP＝2＋tPO＋tOP＝T′/2，而tOP＝tPO
由上两式可解得tOP＝tPO＝ s，T′＝ s
则质点第三次过P点历时t′＝T′－2 s＝ s.
答案：14 s或 s
【例2】 光滑水平面上的弹簧振子，振子质量为50 g，若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时，在t＝0.2 s时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为4 m/s.则在t＝1.2 s末，弹簧的弹性势能为________ J，该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为________Hz，1 min内，弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为________次．
解析：根据其周期性及对称性，则有周期T＝0.8 s，振子的最大速度为4 m/s，则最大动能Ekm＝mv2＝0.4 J．根据振子振动的周期性判定在t＝1.2 s末，振子在最大位移处，据机械能守恒有Ep＝Ekm＝0.4 J，物体的振动周期为0.8 s，则其动能的变化周期为＝0.4 s，所以动能的变化频率为2.5 Hz.在物体振动的1个周期内(向平衡位置运动时弹力做正功)弹力两次做正功，根据其周期性可求得1 min内弹力做正功的次数为n＝×2次＝150次．
答案：0.4 2.5 150
简谐运动的图象
振动图象表示振动质点的振动位移随时间的变化规律，图象的形状与起始时刻的选取和正方向的规定有关，从图象中可获得的信息：
1．振幅A和周期T.
2．任一时刻的速度、加速度、回复力的方向及位移的大小和方向．
3．判定任意一段时间内v、a、F、x、Ek、Ep的变化趋势．
利用图象解题时，要深刻理解图象的意义，并能做到见图象而知实际振动过程．同时也能由实际振动过程回归图象．
【例3】 如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大
E．t＝0.8 s时振动系统的机械能最小
解析：t＝0.8 s时，振子经过O点向负方向运动，即向左运动，选项A正确；t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处，选项B正确；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移等大反向，回复力和加速度也是等大反向，选项C错误；t＝0.4 s时到t＝0.8 s的时间内，振子从B点向左运动到平衡位置，其速度逐渐增加，选项D正确，简谐运动机械能守恒，选项E错误．
答案：ABD
【例4】 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知( )
A．质点振动频率是0.25 Hz
B．t＝2 s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为2 cm
D．t＝3 s时，质点所受的合外力一定为零
E．t＝2 s时，质点的振幅为－2 cm
解析：质点振动的周期是4 s，频率是0.25 Hz；t＝2 s时，质点的位移最大，回复力最大，加速度最大；质点的振幅为2 cm；t＝3 s时，质点的位移为零，所受的回复力为零，所受的合外力可能为零，也可能最大，选项A、B、C正确．
答案：ABC
单摆周期公式的应用
1.摆钟的快慢及调节方法
(1)计时原理：摆钟的计时是以钟摆完成一定数量的全振动，从而带动秒针、分针、时针转动实现的，因此钟摆振动的周期变化就反映了摆钟的快慢．如钟摆振动周期变大，则摆钟变慢，摆钟时针转动一圈的时间变长．
(2)摆钟快慢产生的原因：一是g值的变化，如摆钟地理位置的变化等；二是摆长的变化，如热胀冷缩等原因．摆钟周期可以用公式T＝2π计算．
(3)摆钟快慢的调整．
①摆钟变快说明周期变小，应增大摆长．
②摆钟变慢说明周期变大，应减小摆长．
2．在复合场中的单摆
单摆处在电场或磁场中，由于摆球带电，摆球会受电场力或磁场力，此时单摆的周期是否变化应从回复力的来源看，如果除重力外，其他的力参与提供回复力，则单摆周期变化，若不参与提供回复力，则单摆周期不变．
【例5】 如图所示，三根长度均为l0的绳l1，l2，l3共同系住一密度均匀的小球m，球的直径为d(d?l0)，绳l2，l3与天花板的夹角α＝30°.则：
(1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？
(2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？
解析：本题应理解等效摆长及单摆周期公式中的摆长．
(1)小球以O′为圆心做简谐运动，所以摆长l＝l0＋，振动的周期为T1＝2π＝2π＝2π.
(2)小球以O为圆心做简谐运动，摆长l′＝l0＋l0sin α＋，振动周期为T2＝2π＝2π＝2π.
答案：(1)2π (2)2π
不同的摆动方向，等效摆长不同，振动周期也就不同．
【例6】 如图所示，处于竖直平面内的光滑绝缘半圆形槽的半径为R，一质量为m的小球于槽中P点由静止释放．
(1)若使小球带一定量的正电荷，并将整个装置放在水平向右的匀强电场中，且小球所受电场力的大小等于小球所受重力的大小，则小球做简谐运动的周期为多大？
(2)若使小球带一定量的正电荷，并将整个装置放在垂直纸面向里的匀强磁场中，且小球的运动始终没有离开圆弧，则小球做简谐运动的周期又为多少？
解析：(1)整个装置处于水平向右的匀强电场后，小球的受力如图所示，其平衡位置和圆心的连线与竖直方向的夹角为45°，
则其“等效重力加速度”g′＝＝＝g，
所以T＝2π.
(2)由于小球所受的洛伦兹力始终垂直于运动方向，所以洛伦兹力不提供回复力，因此小球做简谐运动的周期为T＝2π.
答案：(1)2π (2)2π
同一单摆放到不同环境中，等效重力加速度不同，导致周期不同．
1.如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m.t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
E．0.6 s内物块的位移为－0.1 m
解析：由物块简谐运动的表达式
y＝0.1sin(2.5πt) m知，ω＝2.5π，T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，y＝－0.1 m，对小球：h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A、E正确；物块0.6 s内路程为0.3 m，t＝0.4 s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同．故选项C、D错误．
答案：ABE
2．质点做简谐运动，其x-t关系如图所示．以x轴正向为速度v的正方向，画出该质点的v-t关系图象．
解析：在t＝0时刻，质点的位移如图最大，速度为0，则下一时刻质点应向下运动，在t＝时刻，质点的位移为0，速率最大．
答案：
3．在“探究单摆的周期与摆长的关系”实验中，某同学准备好相关实验器材后，把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度后释放，同时按下秒表开始计时，当单摆再次回到释放位置时停止计时，将记录的这段时间作为单摆的周期．以上操作中有不妥之处，请对其中两处加以改正．
_____________________________________________________
_____________________________________________________.
解析：①应在摆球通过平衡位置时开始计时；②应测量单摆多次全振动的时间，再计算出周期的测量值．(或在单摆振动稳定后开始计时)
答案：见解析
4．一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔．在竖直面内放置有一记录纸．当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图象，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标．由此图求振动的周期和振幅．
解析：设振动的周期为T，由题意可得：在振子振动的一个周期内，纸带发生的位移大小为2x0，故T＝.设振动的振幅为A，则有：2A＝y1－y2，故A＝.
答案：
5．某同学利用单摆测量重力加速度．
(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________．
A．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球
B．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
C．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大
(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m的单摆．实验时，由于仅有量程为20 cm、精度为1 mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝________．
解析：(1)组装单摆时，悬线应选用不易伸长的细线；摆球选择体积小、密度大的摆球；单摆摆动时在同一竖直面内摆动；摆的振幅尽量小一些．选项B、C正确．
(2)设单摆的周期为T1时摆长为L1，周期为T2时摆长为L2
则T1＝2π ①
T2＝2π ②
且L1－L2＝ΔL ③
联立①②③式得g＝.
答案：(1)BC (2)
课件47张PPT。主题2 机械振动与机械波阶段复习课简谐运动的周期性和对称性 简谐运动的图象 单摆周期公式的应用 点击右图进入…Thank you for watching !
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①波源和介质
②振动形式
③垂直
④在同一条直线上
⑤距离
⑥λf
⑦
⑧平衡位置
⑨波长
⑩障碍物
?叠加
?频率
波动图象和振动图象的综合分析
1.区别和联系
波的图象表示某一时刻各个质点相对平衡位置的位移情况，从波的图象上可直接读出振幅和波长．随着时间的推移，波的图象将沿波速方向匀速移动．振动图象表示单个质点振动的位移随时间的变化规律，由振动图象上可直接读出振幅、周期和任意时刻的振动方向，随着时间的推移，振动图象继续延伸，原有图象保持不变．
2．由波的图象画振动图象
给出波的图象，已知波的传播方向时，可粗略画出任一点的振动图象(周期T未知)．如果能再给出波速便可准确画出任一质点的振动图象．
3．由振动图象画波的图象
这类问题一般见到的情况是：给出振动图象和波的传播方向，便可画出任一时刻的波形图；或是给出两个质点的振动图象，加上两质点平衡位置的间距和波源方位，便可画出多种情况下的波形图．
【例1】 图(a)为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，P是平衡位置在x＝1.0 m处的质点，Q是平衡位置在x＝4.0 m处的质点；图(b)为质点Q的振动图象．下列说法正确的是( )
(a) (b)
A．在t＝0.10 s时，质点Q向y轴正方向运动
B．在t＝0.25 s时，质点P的加速度方向与y轴正方向相同
C．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，该波沿x轴负方向传播了6 m
D．从t＝0.10 s到t＝0.25 s，质点P通过的路程为30 cm
E．质点Q简谐运动的表达式为y＝0.10sin 10πt(国际单位制)
解析：由y-t图象可知，t＝0.10 s时质点Q沿y轴负方向运动，选项A错误；由y-t图象可知，波的振动周期T＝0.2 s，由y-x图象可知λ＝8 m，故波速v＝＝40 m/s，根据振动与波动的关系知波沿x轴负方向传播，则波在0.10 s到0.25 s内传播的距离Δx＝vΔt＝6 m，选项C正确；其波形图如图所示，此时质点P的位移沿y轴负方向，而回复力、加速度方向沿y轴正方向，选项B正确；Δt＝0.15 s＝T，质点P
在其中的T内路程为20 cm，在剩下的T内包含了质点P通过最大位移的位置，故其路程小于10 cm，因此在Δt＝0.15 s内质点P通过的路程小于30 cm，选项D错误；由y-t图象可知质点Q做简谐运动的表达式为y＝0.10sin t(m)＝0.10sin 10πt(m)，选项E正确．
答案：BCE
波动问题的多解
1.由于波的传播双向性而导致多解
双向性是指波沿x轴正、负两方向传播时，若正、负两方向传播的时间之和等于周期的整数倍，则正、负两方向传播的那一时刻波形相同．
2.由于波的时间周期性而导致多解
波的时间周期性是指每经过一个周期T，同一质点振动状态相同，波的形状也相同；每经过半个周期，质点振动状态相反，波的形状也相反．因此在波的传播过程中，经过整数倍周期时，波形图线相同．
3．由于波的空间周期性而导致多解
波的空间周期性是指每经过一个波长λ，波的形状相同，质点振动状态也相同；每经过半个波长，波的形状相反，质点振动状态也相反．因此在波的传播方向上相距为波长整数倍距离的质点振动情况相同．
4．两质点间关系不确定形成多解
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定或者两者相位之间关系不确定，就会形成多解．若不能联想到所有可能的情况，就会出现漏解．
【例2】 一列横波的波形如图所示，实线表示t1＝0时刻的波形图，虚线表示t2＝0.05 s时刻的波形图，则：
(1)若2T＞t2－t1＞T，波速可能为多大？(T为周期)
(2)若T＜t2－t1，并且波速为360 m/s，则波向哪个方向传播？
解析：(1)由图象可知：
若波向右传播，则在Δt＝0.05 s内波传播的距离为Δx＝10 m.
则波速v1＝＝ m/s＝200 m/s.
若波向左传播，则在Δt＝0.05 s内波传播的距离为Δx＝14 m.
则波速v2＝＝ m/s＝280 m/s.
(2)由图象可知：波长λ＝8 m.
在Δt＝0.05 s内波传播的距离为Δx＝vΔt＝360×0.05 m＝18 m.
则Δx＝λ＝2λ＋λ，所以波向右传播．
答案：(1)见解析 (2)向右
此题是由波的传播方向导致的多解，所以应该先假设一个传播方向，再由已知条件求解．
【例3】 一列简谐横波沿水平方向向右传播，M，N为介质中相距Δx的两质点，M在左，N在右．t时刻，M，N均通过平衡位置，且M，N之间只有一个波峰，经过Δt时间N质点恰处于波峰位置，求这列波的波速．
解析：由题意可知t时刻的波形可能有四种情况，如图所示．
对(a)图，N质点正经过平衡位置向上振动，则Δt可能为，，……即Δ t＝(n＋)T(n＝0，1，2，…)，
则v0＝＝，
所以va＝＝(n＝0，1，2，…)．
同理，对于(b)，(c)，(d)分别有：
vb＝(n＝0，1，2，…)，
vc＝(n＝0，1，2，…)，
vd＝(n＝0，1，2，…)．
答案：见解析
在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定或者相位之间的关系不确定，就会形成多解，应通过认真分析，确定出所有可能的情况．
1.某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8 m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近．该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s．下列说法正确的是( )
A．水面波是一种机械波
B．该水面波的频率为6 Hz
C．该水面波的波长为3 m
D．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去
E．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移
解析：水面波是一种机械波，说法A正确．根据题意得周期T＝ s＝ s，频率f＝＝0.6 Hz，说法B错误．波长λ＝＝m＝3 m，说法C正确．波传播过程中，传播的是振动形式，能量可以传递出去，但质点并不随波迁移，说法D错误，说法E正确．
答案：ACE
2．一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形如图所示，质点P的x坐标为3 m．已知任意振动质点连续2次经过平衡位置的时间间隔为0.4 s．下列说法正确的是( )
A．波速为4 m/s
B．波的频率为1.25 Hz
C．x坐标为15 m的质点在t＝0.6 s时恰好位于波谷
D．x坐标为22 m的质点在t＝0.2 s时恰好位于波峰
E．当质点P位于波峰时，x坐标为17 m的质点恰好位于波谷
解析：任意振动质点连续2次经过平衡位置的时间间隔0.4 s，可知振动周期T＝0.8 s，频率f＝＝1.25 Hz，B正确．从题图中可以看出波长λ＝4 m，根据v＝λf得v＝5 m/s，A错误．由于波在传播过程中具有空间周期性，x坐标为15 m处的质点运动规律与x＝3 m处相同，从t＝0时刻经过0.6 s，即经历周期，质点应位于平衡位置，C错误．用同样的方法可判断出D、E正确．
答案：BDE
3．由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播．波源振动的频率为20 Hz，波速为16 m/s.已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧，且P、Q和S的平衡位置在一条直线上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别为15.8 m、14.6 m．P、Q开始振动后，下列判断正确的是( )
A．P、Q两质点运动的方向始终相同
B．P、Q两质点运动的方向始终相反
C．当S恰好通过平衡位置时，P、Q两点也正好通过平衡位置
D．当S恰好通过平衡位置向上运动时，P在波峰
E．当S恰好通过平衡位置向下运动时，Q在波峰
解析：简谐横波的波长λ＝＝ m＝0.8 m．P、Q两质点距离波源S的距离PS＝15.8 m＝19λ＋λ，SQ＝14.6 m＝18λ＋λ.因此P、Q两质点运动的方向始终相反，说法A错误，说法B正确．当S恰好通过平衡位置向上运动时，P在波峰的位置，Q在波谷的位置．当S恰好通过平衡位置向下运动时，P在波谷的位置，Q在波峰的位置．说法C错误，说法D、E正确．
答案：BDE
4．一列简谐横波在介质中沿x轴正向传播，波长不小于10 cm.O和A是介质中平衡位置分别位于x＝0和x＝5 cm处的两个质点．t＝0时开始观测，此时质点O的位移为y＝4 cm，质点A处于波峰位置；t＝ s时，质点O第一次回到平衡位置，t＝1 s时，质点A第一次回到平衡位置．求：
(1)简谐波的周期、波速和波长；
(2)质点O的位移随时间变化的关系式．
解析：(1)设振动周期为T.由于质点A在0到1 s内由最大位移处第一次回到平衡位置，经历的是个周期，由此可知
T＝4 s ①
由于质点O与A的距离5 cm小于半个波长，且波沿x轴正向传播，O在t＝ s时回到平衡位置，而A在t＝1 s时回到平衡位置，时间相差 s．两质点平衡位置的距离除以传播时间，可得波的速度
v＝7.5 cm/s ②
利用波长、波速和周期的关系得，简谐波的波长
λ＝30 cm. ③
(2)设质点O的位移随时间变化的关系为
y＝Acos ④
将①式及题给条件代入上式得
⑤
解得
φ0＝，A＝8 cm ⑥
质点O的位移随时间变化的关系式为
y＝0.08cos(国际单位制) ⑦
或y＝0.08sin(国际单位制)．
答案：(1)4 s 7.5 cm/s 30 cm
(2)y＝0.08cos(国际单位制)
或y＝0.08sin(国际单位制)
5．甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿x轴正向和负向传播，波速均为v＝25 cm/s.两列波在t＝0时的波形曲线如图所示．求：
(1)t＝0时，介质中偏离平衡位置位移为16 cm的所有质点的x坐标；
(2)从t＝0开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为－16 cm的质点的时间．
解析：(1)t＝0时，在x＝50 cm处两列波的波峰相遇，该处质点偏离平衡位置的位移为16 cm.两列波的波峰相遇处的质点偏离平衡位置的位移均为16 cm.
从图线可以看出，甲、乙两列波的波长分别为
λ1＝50 cm.λ2＝60 cm
甲、乙两列波波峰的x坐标分别为
x1＝50＋k1λ1，k1＝0，±1，±2，…
x2＝50＋k2λ2，k2＝0，±1，±2，…
由以上三式得，介质中偏离平衡位置位移为16 cm的所有质点的x坐标为
x＝(50＋300n)cm n＝0，±1，±2，….
(2)只有两列波的波谷相遇处的质点的位移为
－16 cm.t＝0时，两列波波谷间的x坐标之差为
Δx′＝－
式中，m1和m2均为整数．解得
Δx′＝10(6m2－5m1)＋5
由于m1、m2均为整数，相向传播的波谷间的距离最小为Δx′0＝5 cm
从t＝0开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为－16 cm的质点的时间为t＝
代入数值得t＝0.1 s.
答案：(1)(50＋300n)cm n＝0，±1，±2，… (2)0.1 s
课件44张PPT。阶段复习课主题2 机械振动与机械波波动图象和振动图象的综合分析 波动问题的多解 点击右图进入…Thank you for watching !阶段综合测评(二)
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的5个选项中，有3项符合题目要求，选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得6分．每选错1个扣3分，最低得分为0分)
1．做简谐运动的物体经过平衡位置时( )
A．速度为零 B．回复力为零
C．加速度为零 D．位移为零
E．动能最大
解析：简谐运动的平衡位置是回复力为零的位置，而物体在平衡位置时加速度不一定为零．例如，单摆在平衡位置时存在向心加速度．简谐运动的物体经过平衡位置时速度最大，位移为零．
答案：BDE
2．一个水平弹簧振子的振动周期是0.025 s，当振子从平衡位置向右运动，经过0.17 s时，振子运动情况是( )
A．正在向右做减速运动
B．正在向右做加速运动
C．位移正在减小
D．正在向左做加速运动
E．势能正在减小
解析：＝＝6，T在T～T之间，故0.17 s时振子从最大位移处正向右加速接近平衡位置．
答案：BCE
3．一弹簧振子做简谐运动，它所受的回复力F随时间t变化的图线为正弦曲线，如图所示，下列说法正确的是( )
A．在t从0到2 s时间内，弹簧振子做减速运动
B．在t1＝3 s和t2＝5 s时，弹簧振子的速度大小相等，方向相反
C．在t1＝5 s和t2＝7 s时，弹簧振子的位移大小相等，方向相同
D．在t从0到4 s时间内，t＝2 s时刻弹簧振子所受回复力做功功率最小
E．在t从0到4 s时间内，回复力的功率先增大后减小
解析：由于F＝－kx，由F-t图象知，在0到2 s时间内，弹簧振子位移变大，离开平衡位置做减速运动，A对；在t1＝3 s和t2＝5 s时，图象斜率相同，说明速度大小相等，方向相同，B错；t1＝5 s和t2＝7 s时位移大小、方向都相同，C对；在0到4 s时间内，t＝2 s时刻弹簧振子回复力最大，在端点位置，速度为零，功率最小，D对E错．
答案：ACD
4．如图所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图象，由图可知，下列说法中正确的是( )
A．振动周期为5 s
B．振幅为8 cm
C．第2 s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值
D．第3 s末振子的速度为正向的最大值
E．从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
解析：根据图象，周期T＝4 s，振幅A＝8 cm，A错误，B正确．第2 s末振子到达负的最大位移处，速度为零，加速度为正向的最大值，C正确．第3 s末振子经过平衡位置，速度达到最大值，且向正方向运动，D正确．从第1 s末到第2 s末振子经过平衡位置向下运动，速度逐渐减小，做减速运动，E错误．
答案：BCD
5．如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，过周期，振子具有正方向的最大速度．那么下面五个图象中哪个能够正确反映振子的振动情况( )
A B C D E
解析：t＝T时，振子具有正向的最大速度，则t＝0时，振子应处于负向最大位移处，此时，回复力和加速度正向最大．故选项C、E错，A、B、D对．
答案：ABD
6．一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知( )
A．频率是2 Hz
B．振幅是5 cm
C．t＝1.7 s时的加速度为正，速度为负
D．t＝0.5 s时，质点所受合外力为零
E．t＝0.5 时回复力的功率为零
解析：由简谐运动的图象可判断出振子的周期为2 s，则频率f＝＝0.5 Hz；该质点的振幅为5 cm；1.7 s时位移为负值，则加速度为正，根据图象走向可判断速度为负；0.5 s时，振动质点位于平衡位置，回复力为零，但合外力不一定为零(如单摆在平衡位置时合外力指向圆心)．
答案：BCE
7．如图所示的装置中，在曲轴AB上悬挂一个弹簧振子，若不转动把手C，让其上下振动，周期为T1，若使把手以周期T2(T2＞T1)匀速转动，当运动都稳定后，则( )
A．弹簧振子的振动周期为T1
B．弹簧振子的振动周期为T2
C．弹簧振子的振动频率为
D．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速减小
E．要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速增大
解析：弹簧振子在把手作用下做受迫振动，因此振动周期为T2，A错，B、C对；由于T2＞T1，故欲使振幅增大，应使T2减小，即转速应增大，D错，E对．
答案：BCE
8．如图所示，用绝缘细线悬挂的单摆，摆球带正电，悬挂于O点，摆长为l，当它摆过竖直线OC时便进入或离开匀强磁场，磁场方向垂直于单摆摆动的平面向里，A，B点分别是最大位移处．下列说法中正确的是( )
A．A点和B点处于同一水平面
B．A点高于B点
C．摆球在A点和B点处线上的拉力大小相等
D．单摆的振动周期仍为T＝2π
E．单摆向右或向左摆过D点时，线上的拉力大小相等
解析：摆球运动过程中机械能守恒，所以A，B在同一高度．选项A正确，B错误；球在B点不受洛伦兹力，与球在A点时受拉力大小相等，选项C正确；球在磁场中运动时虽然受洛伦兹力，但洛伦兹力总与速度方向垂直，不能提供回复力，所以不改变振动的周期，选项D正确；单摆向右或向左摆过D点时，速度大小相等，但洛伦兹力的方向相反，所以线上的拉力不相等，选项E错误．
答案：ACD
二、非选择题(共4小题，共52分，按题目要求作答)
9．(8分)某同学在进行研究弹簧振子的周期和小球质量的关系的实验时，利用如图甲所示装置进行了如下实验：让弹簧振子穿过一光滑的水平横杆，在弹簧振子的小球上安装一支笔，下面放一条纸带．当小球振动时，垂直于振动方向以恒定的加速度拉动纸带，加速度大小为a，这时笔在纸带上画出如图乙所示的一条曲线，请根据图乙中所测得的长度s1，s2，写出计算弹簧振子的周期的表达式：T＝________．
解析：由于纸带做匀加速直线运动，且运动s1和s2所用时间均等于弹簧振子的振动周期T，由匀加速直线运动规律知s2－s1＝aT2，所以T＝ .
答案：
10．(12分)某实验小组在“利用单摆测定当地重力加速度”的实验中：
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm.
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________．(填选项前的字母)
A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
解析：(1)游标卡尺读数为0.9 cm＋8×0.1 mm＝0.98 cm.(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”，则周期T＝，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝，B错误；由T＝2π得g＝，其中l为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能够将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大、体积较小的摆球，故D错误．
答案：(1)0.98 (2)C
11．(16分)如图所示，轻弹簧的下端系着A、B两球，mA＝100 g，mB＝500 g，系统静止时弹簧伸长x＝15 cm，未超出弹性限度．若剪断A、B间绳，则A在竖直方向做简谐运动，求：
(1)A的振幅为多大．
(2)A的最大加速度为多大．(g取10 m/s2)
解析：(1)设只挂A时弹簧伸长量x1＝.由(mA＋mB)g＝kx，得k＝，即x1＝x＝2.5 cm.振幅A＝x－x1＝12.5 cm.(2)剪断细绳瞬间，A受最大弹力，合力最大，加速度最大．F＝(mA＋mB)g－mAg＝mBg＝mAam，am＝＝5g＝50 m/s2.
答案：(1)12.5 cm (2)50 m/s2
12．(16分)如图所示，摆长为L的单摆竖直悬挂后摆球在最低点O距离地面高度为h，现将摆球拉至A点无初速度释放，摆角为θ(θ＜5°)．当摆球运动到最低点O时，摆线突然断裂．不计空气阻力，重力加速度为g，求摆球从A点开始运动到落地经历的时间．
解析：单摆的周期T＝2π
摆线断裂后，由h＝gt2得：下落时间t＝
t总＝t＋＝＋.
答案：＋
阶段综合测评(三)
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的5个选项中，有3项符合题目要求，选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得6分．每选错1个扣3分，最低得分为0分)
1．一列声波从空气传入水中，则( )
A．声波频率不变 B．声波波长变大
C．声波频率变小 D．声波波长不变
E．声波波速变大
解析：由于波的频率由波源决定，因此波无论在空气中还是在水中频率都不变；又因波在水中速度较大，由公式v＝λf可得，波在水中的波长变大，故A、B、E正确．
答案：ABE
2．平静湖面传播着一列水面波(横波)，在波的传播方向上有相距3 m的甲、乙两小木块随波上下运动．测得两小木块每分钟都上下30次．甲在波谷时，乙在波峰，且两木块之间有一个波峰，这列水面波( )
A．频率是0.5 Hz B．波长是3 m
C．波速是1 m/s D．周期是0.1 s
E．周期是2 s
解析：由题意知甲、乙两小木块间的距离x＝3 m＝λ，故波长λ＝2 m．又知两小木块都是每分钟振动30次，故周期T＝2 s，频率f＝0.5 Hz，则波速v＝＝1 m/s.故选项A、C、E正确．
答案：ACE
3．如图所示，实线是沿x轴传播的一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，虚线是这列波在t＝0.2 s时刻的波形图．该波的波速为0.8 m/s，则下列说法正确的是( )
A．这列波的波长是12 cm
B．这列波的周期是0.5 s
C．这列波是沿x轴正方向传播的
D．t＝0时，x＝4 cm处的质点振动方向为沿y轴负方向
E．这列波是沿x轴负方向传播的
解析：由波形图读出波长，利用波速求解周期，根据传播时间求出可能的传播距离或者将时间与周期相比较，就可以判断传播方向．
由题图知该波的波长λ＝12 cm，故A项正确．由v＝，得T＝ s＝0.15 s，故B项错误．因＝＝，故该波沿x轴负方向传播，故C项错误，E项正确．由波沿x轴负方向传播可判定t＝0时刻，x＝4 cm处质点的振动方向沿y轴负方向，故D项正确．
答案：ADE
4．一振动周期为T、振幅为A、位于x＝0点的波源从平衡位置沿y轴正向开始做简谐振动．该波源产生的一维简谐横波沿x轴正向传播，波速为v，传播过程中无能量损失．一段时间后，该振动传播至某质点P，关于质点P振动的说法正确的是( )
A．振幅一定为A
B．周期一定为T
C．速度的最大值一定为v
D．开始振动的方向沿y轴向上或向下取决于它离波源的距离
E．若P点与波源距离s＝vT，则质点P的位移与波源的相同
解析：由于没有能量损失，故P与波源的振幅相同，A正确；波在传播过程中周期不变，故B正确；质点的振动速度与波传播的速度是两个概念，故C错误；介质中所有质点开始振动的方向都与波源的起振方向相同，故D错误；若P点与波源距离s＝vT，则P与波源之间的距离为一个波长，故质点P与波源的位移总是相同的，E正确．
答案：ABE
5．一列波由波源向周围扩展开去，下列说法正确的是( )
A．介质中各质点由近及远地传播开去
B．介质中的振动形式由近及远传播开去
C．介质中振动的能量由近及远传播开去
D．介质中质点只是振动而没有迁移
E．在扩展过程中频率逐渐减小
解析：波在传播时，介质中的质点在其平衡位置附近做往复运动，它们并没有随波的传播而发生迁移，A错，D对．波传播的是振动形式，而振动由能量引起，也传播了能量，而频率不变．B、C对．
答案：BCD
6．如图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，a、b两质点的横坐标分别为xa＝2 m和xb＝6 m，图乙为质点b从该时刻开始计时的振动图象．下列说法正确的是( )
甲 乙
A．该波沿－x方向传播
B．波速为1 m/s
C．质点a经4 s振动的路程为4 m
D．此时刻质点a的速度沿＋y方向
E．质点a在t＝2 s时速度为零
解析：由题图乙可知，简谐横波的周期T＝8 s，且t＝0时质点b沿＋y方向运动，根据振动和波动的关系，波沿－x方向传播，v＝＝1 m/s.质点a沿－y方向运动，选项A、B正确，D错误；质点a经过4 s振动的路程s＝·4A＝1 m，选项C错误；质点a在t＝2 s时，处于负向最大位移处，速度为零，选项E正确．
答案：ABE
7．如图所示，一列简谐横波在x轴上传播．图甲和乙分别是在x轴上a、b两质点的振动图象，且xab＝6 m．下列判断正确的是( )
甲 乙
A．波一定沿x轴正方向传播
B．波可能沿x轴负方向传播
C．波长可能是8 m
D．波速一定是6 m/s
E．波速可能是2 m/s
解析：波的传播方向可能向＋x或－x方向传播，A错，B对．ab之间的距离可能是λ或λ，周期为4 s，波长可能为8 m，波速可能为2 m/s，D错，C、E正确．
答案：BCE
8．一列简谐横波沿直线传播，该直线上平衡位置相距9 m的a、b两质点的振动图象如图所示，下列描述该波的图象可能正确的是( )
解析：根据振动图象、波动规律解决问题．
根据y-t图象可知，a、b两质点的距离为或，即nλ＋λ＝9 m或nλ＋λ＝9 m(n＝0，1，2，3，…)
解得波长λ＝ m或λ＝ m.
即该波的波长λ＝36 m、7.2 m、4 m…或λ＝12 m、 m、 m…选项A、B、C、D、E的波长分别为4 m、8 m、12 m、36 m、16 m，故选项A、C、D正确，选项B、E错误．
答案：ACD
二、非选择题(共5小题，共52分，按题目要求作答)
9．(6分)如图所示，实线为一列横波某时刻的波形图象，这列波的传播速度为0.25 m/s，经过时间1 s后的波形为虚线所示．那么这列波的传播方向是________，这段时间内质点P(x＝0.1 m处)所通过的路程是________．
解析：波的传播距离x＝vt＝0.25 m＝λ，故波向左传播，P所通过的路程为5倍振幅，即50 cm.
答案：向左 50 cm
10．(6分)如图所示，S为上下振动的波源，振动频率为100 Hz，所产生的横波向左、右两方向传播，波速为80 m/s，已知P，Q两质点距波源S的距离为SP＝17.4 m，SQ＝16.2 m．当S通过平衡位置向上振动时，P，Q两质点的位置是P在________，Q在________．
解析：
由λ＝得λ＝0.8 m，即依题意可得SP＝21λ，SQ＝20λ，当S在平衡位置向上振动时，Q，P都应在最大位移处，画出最简波形图如图所示．故P在波峰，Q在波谷．
答案：波峰 波谷
11．(12分)一列声波在空气中的波长为34 cm，传播速度为340 m/s，这列声波传入另一介质中时，波长变为68 cm，它在这种介质中的传播速度是多少？该声波在空气中与介质中的频率各是多少？
解析：在空气中fλ＝v，f＝＝Hz＝1 000 Hz，声波在介质中与在空气中频率保持不变．在介质中fλ′＝v′，v′＝1 000×68×10－2m/s＝680 m/s.
答案：680 m/s 1 000 Hz
12． (12分)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时的波形如图所示，已知t＝0.6 s时，B点第三次出现波峰．则这列波的周期是多少？x＝50 cm处的质点A回到平衡位置的最短时间为多少？
解析：由题意得t＝2.5 T，解得T＝0.24 s，由图象可知λ＝120 cm＝1.2 m，v＝＝5 m/s，x＝50 cm处的质点A回到平衡位置的最短时间为t′＝＝0.1 s.
答案：0.24 s 0.1 s
13．(16分)一列简谐横波在x轴上传播，在t1＝0和t2＝0.05 s时，其波形分别用如图所示的实线和虚线表示，求：
(1)这列波可能具有的波速；
(2)当波速为280 m/s时，波的传播方向如何？以此波速传播时，x＝8 m处的质点P从平衡位置运动至波谷所需的最短时间是多少？
解析：(1)若波沿x轴正向传播，则：
Δs＝Δx1＋nλ＝(2＋8n)m，n＝0，1，2，…
v＝＝ m/s＝(40＋160n) m/s
若波沿x轴负向传播，则：
Δs′＝Δx2＋nλ＝(6＋8n)m，n＝0，1，2，…
v′＝＝ m/s＝(120＋160n) m/s.
(2)当波速为280 m/s时，有280＝(120＋160n)
n＝1，所以波向x轴负方向传播
T＝＝ s
所以P质点第一次到达波谷所需最短时间为：
t＝＝ s＝2.1×10－2 s.
答案：见解析
