人教A版高一数学必修一3.2.2函数模型的应用实例教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高一数学必修一3.2.2函数模型的应用实例教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 165.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-13 19:47:25 | ||
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文档简介
3.2.2 函数模型的应用实例
一、教学目标：
知识与技能：
1．会分析所给出数据，画出散点图．
2．会利用选择或建立的函数模型．
3．会运用函数模型解决实际问题．
过程与方法：
1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．
2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．
情感、态度和价值观：
1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．
2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．
二、重点难点?
重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．
难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．
三、教学方法
通过让学生观察、思考、交流、讨论、展示。
四、教学过程
（1）温故知新，提出问题；上节课我们已经学习了应用已知函数模型解决实际问题，主要的函数模型有，，，．但在实际解决问题中，我们常常碰到没有函数模型或不能建立确切的函数模型，那我们又改如何选择和确定函数模型，如何解决实际问题呢？
设计意图：从温故的角度自然地复习已经学习的函数模型内容，进入学习函数模型实际应用的情景，以及为本节课中选择函数模型作好铺垫．同时提出没有函数模型或不能建立确切的函数模型的实际问题如何解决，明确本节课的任务，以及点出本节课的课题．
（2）问题探究；例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
61456
62828
64563
65994
67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
师生：共同完成例1 解答：
（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率，r1≈0.0200. 同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184. 于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为；r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.
令y 0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.
根据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t (t∈N)的图象
由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t， 由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
解答：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22＞1.2，
所以，这个男生偏胖.
设计意图：利用问题串引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型，培养学生建模能力，从而提高解决问题的能力．学生独立思考与学生小组合作，即锻炼学生的思考能力，又加强学生的小组合作，学会团结合作，为下一种选择函数模型作好必要知识和能力铺垫．利用图像发现函数模型，渗透数形结合思想，同时加深对函数的表格、解析式、图像的三种表示形式．
归纳总结：通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：
设计意图：回顾解题过程，系统总结一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，学生理解从解题过程上升为解题策略，培养学生的反思和总结能力．
当堂检测：
1．某商人购货，进价按原价扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是???????????????????? .
2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为???????????????? .
3．某企业实行裁员增效.已知现有员工人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员人后年纯收益为万元.
(1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围.
(2) 当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)
4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数(其中，，为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.
答案；1．(x?N*) 2．
3．(1)由题意可得y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x，
因为，所以.即x的取值范围是中的自然数.
(2)因为，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，，y取最大值.当a为奇数时，，y取最大值.(因为尽可能少裁人，所以舍去.)
答：当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，
裁员 人，才能获得最大的经济效益.
4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有；解得
所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①
设y2＝g(x)＝mnx＋p则有；解得
所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②
比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.
五、课堂小结
所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.
六、课后作业
课时练与测
七、教学反思
一、教学目标：
知识与技能：
1．会分析所给出数据，画出散点图．
2．会利用选择或建立的函数模型．
3．会运用函数模型解决实际问题．
过程与方法：
1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．
2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．
情感、态度和价值观：
1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．
2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．
二、重点难点?
重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．
难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．
三、教学方法
通过让学生观察、思考、交流、讨论、展示。
四、教学过程
（1）温故知新，提出问题；上节课我们已经学习了应用已知函数模型解决实际问题，主要的函数模型有，，，．但在实际解决问题中，我们常常碰到没有函数模型或不能建立确切的函数模型，那我们又改如何选择和确定函数模型，如何解决实际问题呢？
设计意图：从温故的角度自然地复习已经学习的函数模型内容，进入学习函数模型实际应用的情景，以及为本节课中选择函数模型作好铺垫．同时提出没有函数模型或不能建立确切的函数模型的实际问题如何解决，明确本节课的任务，以及点出本节课的课题．
（2）问题探究；例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
61456
62828
64563
65994
67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
师生：共同完成例1 解答：
（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率，r1≈0.0200. 同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，
r8≈0.0222，r9≈0.0184. 于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为；r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.
令y 0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.
根据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t (t∈N)的图象
由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t， 由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
解答：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22＞1.2，
所以，这个男生偏胖.
设计意图：利用问题串引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型，培养学生建模能力，从而提高解决问题的能力．学生独立思考与学生小组合作，即锻炼学生的思考能力，又加强学生的小组合作，学会团结合作，为下一种选择函数模型作好必要知识和能力铺垫．利用图像发现函数模型，渗透数形结合思想，同时加深对函数的表格、解析式、图像的三种表示形式．
归纳总结：通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：
设计意图：回顾解题过程，系统总结一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，学生理解从解题过程上升为解题策略，培养学生的反思和总结能力．
当堂检测：
1．某商人购货，进价按原价扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是???????????????????? .
2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为???????????????? .
3．某企业实行裁员增效.已知现有员工人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员人后年纯收益为万元.
(1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围.
(2) 当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)
4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数(其中，，为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.
答案；1．(x?N*) 2．
3．(1)由题意可得y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x，
因为，所以.即x的取值范围是中的自然数.
(2)因为，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，，y取最大值.当a为奇数时，，y取最大值.(因为尽可能少裁人，所以舍去.)
答：当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，
裁员 人，才能获得最大的经济效益.
4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有；解得
所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①
设y2＝g(x)＝mnx＋p则有；解得
所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②
比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.
五、课堂小结
所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.
六、课后作业
课时练与测
七、教学反思