人教A版高一数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算教案

2.1.1 指数与指数幂的运算
一、教学目标：
1．知识与技能
(1)理解根式的概念，掌握n次方根的性质；
(2)理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂和根式之间的互化；
(3)掌握有理指数幂的运算性质；
(4)培养学生观察分析、抽象等的能力．
2．过程与方法
(1)通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性；
(2)通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辨证地分析问题、
认识问题．
3．情感、态度价值观
(1)通过根式及分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣；
(2)通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的．
二．重点难点?
重点：n次方根概念及性质、根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质．
难点：根式概念、n次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算．
三、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
四、教学过程
（1）问题探究
问题1：我们知道，若x2＝9，则x＝±3，若x3＝8，则x＝2，试探究，若xn＝a(n>1，n∈N*)，则x应该怎么表示？
【提示】　(1)当n为奇数时，x＝。(2)当n为偶数时，若a>0，则x＝±；若a＝0，则x＝0；若a<0，则这样的x不存在．
(2)概念解析：根式及相关概念
(1)a的n次方根的定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示：x＝
(3)根式．
2．根式的性质(n＞1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0. (4)负数没有偶次方根．
问题2．根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子：
① ＝＝a2＝a(a>0)； ② ＝＝a4＝a(a>0)；
③ ＝＝a3＝a(a>0)．
类比以上三个式子的变形，你能给出(a>0，m，n∈N*，且n>1)的变形过程吗？
【提示】　＝ ＝a(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
2.能用分数指数幂表示吗？如何表示？【提示】　可以.＝2－.
归纳总结 1.正数的分数指数幂的意义
正数
的分
数指
数幂
正数的正
分数指数幂
规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
正数的负
分数指数幂
规定：a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
规定
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性
例1.求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4).
【思路探究】　→
【自主解答】　(1)＝－4.(2)＝|－9|＝9.
(3)＝|3－π|＝π－3.(4)＝|a－b|＝
归纳总结：1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．()n与的意义不同.对任意a∈R都有意义；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，
＝|a|＝
跟踪训练1：化简()2＋＋＝________.
【解析】　由题意，首先有a－1≥0，即a≥1.
()2＝a－1, ＝|1－a|＝a－1， ＝1－a.
∴()2＋＋＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. 【答案】　a－1
例2.　用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
(1)·；(2)；(3)·；(4)()2·.
【思路探究】　熟练应用＝a求解，对于所求根式中含有多重根号的，要由里向外，用分数指数幂写出，再用性质化解．
【自主解答】　(1)原式＝a·a＝a＋＝a.
(2)原式＝a·a·a＝a＋＋＝a. (3)原式＝a·a＝a＋＝a.
(4)原式＝(a)2·(ab3)＝a·ab＝a＋b＝ab.
归纳总结；1．分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式：a＝(a>0，m，n∈N*，
且n>1)．
2．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
3．化简过程中要明确字母的范围，以免出错．
跟踪训练2.下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)：
(1)； (2)； (3)x－； (4)xy－.
【解】　(1)＝x＝x2. (2)＝＝x－.
(3)x－＝＝.(4)xy－＝×＝.
例3.　化简求值：
(1)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋；
(2)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (4)2÷4×3.
【思路探究】　直接运用分数指数幂的运算性质求解．在计算过程中，要先把小数化为分数，再把负指数化为正指数，进行合理的运算，得出最简结果．
【自主解答】　(1)原式＝＋＋－－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝(－1)－×－＋－－＋1＝－＋(500)－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.
(4)原式＝2a÷(4ab)×(3b)＝a－b－·3b＝ab.
归纳总结：1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3：化简下列各式(其中字母均表示正数)：
(1)(0.064)－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)．
【解】　(1)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－＝4ab0＝4a.
典例解析：整体代换思想在条件求值中的应用
典例：　(12分)已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1； (2)a2＋a－2；(3).
【思路点拨】　(1)(2)利用整体代入思想，寻找“a＋a－”与a＋a－1及a2＋a－2之间的关系．(2)利用立方差公式求解即可．
【规范解答】　(1)∵a＋a－＝3，∴a＋a－1＝(a＋a－)2－2＝7.4分
(2)由a＋a－1＝7得a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝47.8分
(3)＝＝a＋a－1＋1＝8.12分
归纳总结:本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又称为“知值求值”，解决此类问题的步骤是
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点；
(2)化简：化简已知条件与所求代数式；(3)求值：把条件代入求值．
五、当堂检测
1．将5写成根式，正确的是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】　D
2．下列说法：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的是 (　　)
A．①③④ B．②③④
C．②③ D．③④
【答案】　D
3．()5＝________；＝________；＝________.
【答案】　－5　－5　5
4．化简下列各式：
(1)(·)÷； (2)－－0.5＋0.008－×.
【解】　 (1)原式＝a·a÷a＝a·a·a－＝a＋－＝a.
(2)原式＝－＋×＝－＋25×＝－＋2＝.
六、课堂小结
1.我们今天主要学习了与根式有关的哪些内容？
七、课后作业
课时练与测
八、教学反思