人教版数学八年级上册第十二章 全等三角形12.2全等三角形的判定同步练习（附带解析）

12.2全等三角形的判定 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7 B．AB＝4，BC＝3，∠C＝30°
C．∠A＝30°，AB＝3，∠B＝45° D．∠C＝90°，AB＝4
2．如图，AC与BD相交于点E，BE＝ED，AE＝EC，则△ABE≌△CDE的理由是（　　）

A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
3．如图，用∠B＝∠D，∠1＝∠2直接判定△ABC≌△ADC的理由是（　　）

A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS
4．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝60°，∠C＝25°，则∠BMD的度数为（　　）

A．50° B．65° C．70° D．85°
5．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD交于点O，且AC＝BD．有下列结论：①AD＝BC；②∠DBC＝∠CAD；③AO＝BO；④AB∥CD．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
6．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′，且b﹣a＝b′﹣a′，b+a＝b′+a′，则这两个三角形（　　）
A．不一定全等 B．不全等
C．全等，根据“ASA” D．全等，根据“SAS”
7．下列说法中，不正确的是（　　）
A．判断直角三角形全等的方法只有“HL”定理
B．有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等
C．有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
D．全等三角形对应边上的高相等
8．两个三角形如果具有下列条件：
①三条边对应相等；
②三个角对应相等；
③两条边及它们的夹角对应相等；
④两条边和其中一边的对角相等；
⑤两个角和一条边对应相等，
那么一定能够得到两个三角形全等的是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①③⑤ D．①②③④⑤
9．如图1已知△ABC，则下面如图2的4个三角形中和△ABC全等的三角形有几个（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，∠ABC＝∠DCB，需要补充一个直接条件才能使△ABC≌△DEF．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：甲“AB＝DC”；乙“AC＝DB”；丙“∠A＝∠D”；丁“∠ACB＝∠DBC”．那么这四位同学填写错误的为（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二．填空题（共8小题）
11．已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加条件　 　，证明全等的理由是　 　；或添加条件　 　，证明全等的理由是　 　；也可以添加条件　 　，证明全等的理由是　 　．

12．如图，所示，OA平分∠BAC，∠B＝∠C，则图形全等三角形共有　 　对，它们分别是　 　．

13．如图，已知AF＝BE，∠A＝∠B，AC＝BD，经分析　 　≌　 　．此时有∠F＝　 　．

14．如图，AC⊥CE，DE⊥CE，AC＝BE，AB＝BD，C、B、E三点共线，则∠ABD的度数为　 　．

15．如图，点M、A、N在一条直线上，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BM⊥MN，CN⊥MN，垂足分别为M、N，且BM＝AN，则MN与BM、CN之间的数量关系为　 　．

16．如图，把两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳）只要量出A′B′的长度，就可以知道工件的内径AB是否符合标准，你能简要说出工人这样测量的道理吗？　 　．

17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝AE，且DE⊥AB，∠ADC＝55°，则∠CDE＝　 　．

18．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，请你添加一个条件，使得△ABD≌△ACD．（不在图中添加辅助线）．条件是　 　，判定方法是：　 　．

三．解答题（共8小题）
19．如图，已知AC，BD交于O点，AD⊥BD，BC⊥AC，且AD＝BC，求证：∠OAB＝∠OBA．

20．如图，△ABC中，已知AB＝AC，D、E分别是CB、BC延长线上的点．且DB＝CE．
求证：∠D＝∠E．

21．已知AD平分∠CAB，且DC⊥AC，DB⊥AB，那么AB和AC相等吗？请说明理由．

22．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2
求证：∠B＝∠D．

23．如图，已知AB∥CD，AE∥CF，BF＝DE
求证：AB＝CD．

24．如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，AM＝CN，BM＝DN，∠M＝∠N，
证明：（1）AC＝BD；（2）MA∥NC．

25．如图，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：AD＝BC．

26．已知：如图，AB＝CD，CE∥DF，CE＝DF，问：AE与BF相等吗？请说明你的理由．




12.2全等三角形的判定同步练习
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝7 B．AB＝4，BC＝3，∠C＝30°
C．∠A＝30°，AB＝3，∠B＝45° D．∠C＝90°，AB＝4
【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
【解答】解：A、3+4＝7，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；
B、根据AB＝4，BC＝3，∠A＝30°不能画出唯一三角形，故本选项错误；
C、∠A＝30°，AB＝3，∠B＝45°，能画出唯一△ABC，故此选项正确；
D、∠C＝90°，AB＝4，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
故选：C．
2．如图，AC与BD相交于点E，BE＝ED，AE＝EC，则△ABE≌△CDE的理由是（　　）

A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【分析】由于BE＝ED，AE＝EC，再加上对顶角相等，则可根据“SAS”判断△ABE≌△CDE．
【解答】解：在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（SAS）．
故选：B．
3．如图，用∠B＝∠D，∠1＝∠2直接判定△ABC≌△ADC的理由是（　　）

A．AAS B．SSS C．ASA D．SAS
【分析】由于∠B＝∠D，∠1＝∠2，再加上公共边，则可根据“AAS”判断△ABC≌△ADC．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
故选：A．
4．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝60°，∠C＝25°，则∠BMD的度数为（　　）

A．50° B．65° C．70° D．85°
【分析】首先根据三角形外角的性质可得∠BDC＝25°+60°＝85°，然后再证明△AEB≌△ADC，根据全等三角形的性质可得∠B＝∠C＝25°，再利用三角形内角和定理计算出∠BMD的度数．
【解答】证明：∵∠BAC＝60°，∠C＝25°，
∴∠BDC＝25°+60°＝85°，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠B＝∠C＝25°，
∴∠DNB＝180°﹣25°﹣85°＝70°，
故选：C．
5．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD交于点O，且AC＝BD．有下列结论：①AD＝BC；②∠DBC＝∠CAD；③AO＝BO；④AB∥CD．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【分析】由已知条件，得到三角形全等，得到结论，对每一个式子进行验证从而确定正确的式子．
【解答】解：∵在Rt△ADB和Rt△BCA中

∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL）
∴AD＝BC，∴①正确；
∠DAB＝∠CBA，∠DBA＝∠CAB
∴∠DBC＝∠CAD，∴②正确；
在△AOD和△BOC中

∴△AOD≌△BOC（AAS）
∴AO＝BO，∴③正确；
∵∠CDO+∠DCO+∠COD＝180°，∠CDO＝∠DCO，
∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，∠OAB＝∠OBA
∠COD＝∠AOB
∴∠DCO＝∠OAB
∴AB∥CD，∴④正确；
所以以上结论都正确，
故选：A．
6．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′，且b﹣a＝b′﹣a′，b+a＝b′+a′，则这两个三角形（　　）
A．不一定全等 B．不全等
C．全等，根据“ASA” D．全等，根据“SAS”
【分析】根据b﹣a＝b′﹣a′，b+a＝b′+a′，可推出a＝a'，b＝b'，从而利用SAS可判定两三角形全等．
【解答】解：，
①+②得：b＝b'；
②﹣①得：a＝a'，
即AC＝A'C'，CB＝C'B'，
，
在△ABC和△A′B′C′中，

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
故选：D．
7．下列说法中，不正确的是（　　）
A．判断直角三角形全等的方法只有“HL”定理
B．有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等
C．有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
D．全等三角形对应边上的高相等
【分析】此题根据全等三角形的判定定理进行解答．另外，判定直角三角形全等的方法中最常用的一种就是HL，不过其它4种判定三角形全等得方法也适用，所以直角三角形全等的判定方法应有5种．
【解答】解：A、直角三角形全等的判定除了HL 外，其它四种方法也适用，所以直角三角形全等的判定方法有HL，AAS，SAS，ASA．SSS．故本选项错误；
B、两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形是全等三角形，故本选项正确；
C、有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故本选项正确；
D、根据全等三角形的性质知：全等三角形对应边上的高相等．故本选项正确；
故选：A．
8．两个三角形如果具有下列条件：
①三条边对应相等；
②三个角对应相等；
③两条边及它们的夹角对应相等；
④两条边和其中一边的对角相等；
⑤两个角和一条边对应相等，
那么一定能够得到两个三角形全等的是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①③⑤ D．①②③④⑤
【分析】根据三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
【解答】解：①三条边对应相等，可利用SSS定理判定两个三角形全等；
②三个角对应相等，不能判定两个三角形全等；
③两条边及它们的夹角对应相等，可以利用SAS定理判定两个三角形全等；
④两条边和其中一边的对角相等，不能判定两个三角形全等；
⑤两个角和一条边对应相等利用AAS定理判定两个三角形全等，
故选：C．
9．如图1已知△ABC，则下面如图2的4个三角形中和△ABC全等的三角形有几个（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．
【解答】解：如图．

图①与图1中的两个三角形的对应角不是两条对应边的夹角，所以不能判定这两个三角形全等；
图②与图1中的两个三角形由两个对应边与这两条边的夹角相等，符合两个三角形全等的定理SAS，所以能判定这两个三角形全等；
图③与图1中的两个三角形的对应边不相等，所以不能判定这两个三角形全等；
图④与图1中的两个三角形的对应边相等，符合两个三角形全等的判定定理SSS，所以能判定这两个三角形全等．
综上所述，图中全等的三角形有2个．
故选：C．
10．如图，∠ABC＝∠DCB，需要补充一个直接条件才能使△ABC≌△DEF．甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：甲“AB＝DC”；乙“AC＝DB”；丙“∠A＝∠D”；丁“∠ACB＝∠DBC”．那么这四位同学填写错误的为（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】已知∠ABC＝∠DCB，隐含的条件是BC＝BC．甲“AB＝DC”符合SAS；乙“AC＝DB”是SSA不符合全等的条件；丙“∠A＝∠D”，符合AAS；丁“∠ACB＝∠DBC”符合ASA．
【解答】解：根据全等三角形的判定定理可知：SSA不能判定两三角形全等，因此乙的条件不正确．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加条件　AC＝BD　，证明全等的理由是　SAS　；或添加条件　∠E＝∠F　，证明全等的理由是　ASA　；也可以添加条件　∠1＝∠2　，证明全等的理由是　AAS　．

【分析】由条件已知一边和一角相等，可再加一边或再加一角，利用全等三角形的判定方法填写答案即可．
【解答】解：
∵AE＝DF，∠A＝∠D，
∴可添加AC＝BD，利用SAS可证明△ACE≌△DBF；
也可添加∠E＝∠F，利用ASA可证明△ACE≌△DBF；
也可添加∠1＝∠2，利用AAS可证明△ACE≌△DBF；
故答案为：AC＝BD；SAS；∠E＝∠F；ASA；∠1＝∠2；AAS．
12．如图，所示，OA平分∠BAC，∠B＝∠C，则图形全等三角形共有　4　对，它们分别是　△ABO≌△ACO，△BOE≌△COD，△AOE≌△AOD，△ABD≌△ACE　．

【分析】先根据角平分线定义得到∠1＝∠2，加上∠B＝∠C，AO＝AO，则利用“AAS”可判断△ABO≌△ACO；根据全等三角形的性质得OB＝OC，AB＝AC，由于∠BOE＝∠COD，∠B＝∠C，则可根据“SAS”判定△BOE≌△COD，然后利用“SAS”分别判断△AOE≌△AOD，△ABD≌△ACE．
【解答】解：∵OA平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠B＝∠C，AO＝AO，
∴△ABO≌△ACO（AAS）；
∴OB＝OC，AB＝AC，
而∠BOE＝∠COD，∠B＝∠C，
∴△BOE≌△COD（ASA），
∴BE＝CD，
而AC＝AB，
∴AE＝AD，
而∠1＝∠2，AO＝AO，
∴△AOE≌△AOD（SAS）；
∵AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
故答案为4，△ABO≌△ACO，△BOE≌△COD，△AOE≌△AOD，△ABD≌△ACE．
13．如图，已知AF＝BE，∠A＝∠B，AC＝BD，经分析　△ADE　≌　△BCF　．此时有∠F＝　∠E　．

【分析】利用SAS得出全等三角形，进而利用全等三角形的性质得出答案．
【解答】证明：∵AC＝BD，
∴AD＝BC，
在△ADE和△BCF中
∵，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠F＝∠E．
故答案为：△ADE，△BCF，∠E．
14．如图，AC⊥CE，DE⊥CE，AC＝BE，AB＝BD，C、B、E三点共线，则∠ABD的度数为　90°　．

【分析】由题中条件可得△ABC≌△BED，进而利用角之间的转化得出∠ABD的值．
【解答】解：∵AC⊥CE，DE⊥CE，AC＝BE，AB＝BD，
∴△ABC≌△BED，
∴∠A＝∠DBE，∠ABC＝∠D，
又∠A+∠ABC＝90°
∴∠ABC+∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝90°．
15．如图，点M、A、N在一条直线上，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BM⊥MN，CN⊥MN，垂足分别为M、N，且BM＝AN，则MN与BM、CN之间的数量关系为　MN＝BM+CN　．

【分析】利用HL得出△MAB≌△NCA，进而得出AM＝CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系．
【解答】解：MN＝BM+CN；
理由：∵BM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠BMA＝90°，∠ANC＝90°，
在Rt△MAB和Rt△NCA中
，
∴Rt△MAB≌Rt△NCA（HL），
∴AM＝CN，
∴MN＝AM+AN＝BM+CN；
故答案为：MN＝BM+CN
16．如图，把两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳）只要量出A′B′的长度，就可以知道工件的内径AB是否符合标准，你能简要说出工人这样测量的道理吗？　此工具是根据三角形全等制作而成的　．

【分析】利用证边相等时，常常通过把边放到两个全等三角形中来证．
【解答】解：此工具是根据三角形全等制作而成的．
∵O是AA′，BB′的中点，
∴AO＝A′O，BO＝B′O，
又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角，
∴∠AOB＝∠A′OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
∵，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′＝AB，
∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准．
17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝AE，且DE⊥AB，∠ADC＝55°，则∠CDE＝　110°　．

【分析】根据HL证Rt△ACD≌Rt△AED，推出∠ADC＝∠ADE，即可求出答案．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠C＝90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE＝55°，
∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝110°，
故答案为：110°．
18．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，请你添加一个条件，使得△ABD≌△ACD．（不在图中添加辅助线）．条件是　AB＝AC　，判定方法是：　HL　．

【分析】根据已知条件知，两个直角三角形的一条直角边对应相等，所以只需添加“一斜边对应相等”即可利用全等三角形的判定定理HL证得△ABD≌△ACD．
【解答】解：需要添加的条件是：AB＝AC．根据直角三角形全等的判定定理HL证得△ABD≌△ACD．理由如下：
∵如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD与Rt△ADC中，，
∴Rt△ABD≌Rt△ADC（HL）．
故答案是：AB＝AC；HL．

三．解答题（共8小题）
19．如图，已知AC，BD交于O点，AD⊥BD，BC⊥AC，且AD＝BC，求证：∠OAB＝∠OBA．

【分析】利用HL判定全等，利用全等的性质可知∠OAB＝∠OBA．
【解答】证明：∵AD⊥BD，BC⊥AC，
∴∠D＝∠C＝90°，
∵AD＝BC，AB＝BA，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA （HL），
∴∠OAB＝∠OBA．
20．如图，△ABC中，已知AB＝AC，D、E分别是CB、BC延长线上的点．且DB＝CE．
求证：∠D＝∠E．

【分析】由已知条件，根据SAS判定△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应角相等，从而得到∠D＝∠E．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，DB＝CE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠D＝∠E．
21．已知AD平分∠CAB，且DC⊥AC，DB⊥AB，那么AB和AC相等吗？请说明理由．

【分析】通过证明△ACD≌△ABD从而得出AB＝AC．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，DB⊥AB，
∴∠CAD＝∠BAD，∠ACD＝∠ABD＝90°．
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△ABD．
∴AC＝AB．
22．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2
求证：∠B＝∠D．

【分析】根据等式的性质，可得∠BAC与∠CAE的关系，根据SAS，可得三角形全等，再根据全等三角形的性质，可得答案．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE （SAS），
∴∠B＝∠D．
23．如图，已知AB∥CD，AE∥CF，BF＝DE
求证：AB＝CD．

【分析】由平行可得∠B＝∠D，∠AEF＝∠CFE，可求得∠AEB＝∠CFD，又结合条件可得BE＝DF，可证明△ABE≌△CDF，可得AB＝CD．
【解答】证明：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
∵AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，
在△ABE和△CDF中

∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AB＝CD．
24．如图，已知A、B、C、D四点在同一直线上，AM＝CN，BM＝DN，∠M＝∠N，
证明：（1）AC＝BD；（2）MA∥NC．

【分析】根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABM≌△CDN．
（1）根据全等三角形的对应边相等知AB＝CD，所以有AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD；
（2）由全等三角形的对应角相等知，同位角∠A＝∠NCD，所以两直线AM∥CN．
【解答】证明：（1）在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（SAS），
∴AB＝CD，
∴∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD；
（2）由（1）知，△ABM≌△CDN，
∴∠A＝∠NCD（全等三角形的对应角相等），
∴AM∥CN（同位角相等，两直线平行）．
25．如图，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：AD＝BC．

【分析】证明△CAB≌△DBA，根据全等三角形的对应边相等即可得到．
【解答】证明：∵在△CAB和△DBA中，

∴△CAB≌△DBA（SAS）．
∴AD＝BC
26．已知：如图，AB＝CD，CE∥DF，CE＝DF，问：AE与BF相等吗？请说明你的理由．

【分析】AE＝BF需要证明两边所在三角形全等即证△ACE≌△BDF，由已知利用边角边定理可证．
【解答】解：AE与BF相等．理由如下：
∵AB＝CD，
∴AC＝BD，
∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
∵CE＝DF，
∴△ACE≌△BDF，
∴AE＝BF．