2018-2019学年黑龙江省哈尔滨113中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）解析版

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨113中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）
一.选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）113的倒数是（　　）
A．113 B．﹣113 C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2÷a3＝a B．（a2）3＝a5
C．3ab2﹣3a2b＝0 D．a2?a4＝a6
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k≥3 C．k≤3 D．k＜3
5．（3分）如图，弦AB和CD相交于点P，∠B＝30°，∠APD＝80°，则∠A等于（　　）

A．30° B．50° C．70° D．100°
6．（3分）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（　　）

A．（6+6）米 B．（6+3）米 C．（6+2）米 D．12米
7．（3分）将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3
8．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．＝ B． C． D．
10．（3分）已知甲、乙两地之间某条公路长为90km，某天小李、小张两人沿此条公路从甲地出发去乙地，小李骑摩托车，小张骑电动车．图中OA、BC分别表示小张、小李离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，下列说法：
①小李比小张晚出发1小时；②小张的速度是20km/h；③小李的速度是45km/h；④小张出发小时时，两个人相遇．其中正确的说法有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二.填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）将113 000 000用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）因式分解：2x2﹣18＝　 　．
14．（3分）计算：＝　 　．
15．（3分）一辆标价为59000元的新能源汽车，按标价打九折后，还能盈利987元，则该新能源汽车的每台进价为　 　．
16．（3分）不等式组的解集是　 　．
17．（3分）如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，则CD长为　 　．

18．（3分）一个扇形的弧长为20πcm，面积为300πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是　 　．
19．（3分）在△ABC中，若AB＝，tan∠B＝，AC＝，则BC＝　 　．
20．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，垂足为点D，连接CD，∠ABD+∠ACD＝90°，AD＝9，CD＝2，则线段AB的长度为　 　．

三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分）
21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中a＝12sin30°，b＝﹣5tan45°．
22．（7分）如图是8×4的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上（小正方形的顶点叫作格点）．
（1）在图中确定点D（点D在小正方形的顶点上），并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其是轴对称图形（画一个即可）；
（2）经过（1）中四边形ABCD边上的两个格点画一条直线，使其将四边形ABCD分成两个图形，其中一个只为轴对称图形，另一个只为中心对称图形（画一条即可）．
（3）四边形ABCD的周长为　 　．

23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BC、AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD；
（1）求证：AD＝BD；
（2）若AB＝10，AC＝6，求BC，AD的长．

24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥BC，垂足为点D，交AB于E，点F在线段DE的延长线上，连接AF、CE，且AF＝AE＝EC．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B＝30°时，连接CF交线段AB于点M，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条长度等于的线段．

25．（10分）和兴商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．
（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）和兴商店将甲种零件每件售价定为220元，乙种零件每件售价定为155元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件．且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于3390元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
26．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，点C为切点，CD∥AB；
（1）如图1，当圆心O在△ABC内部时，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，当圆心O在AB边上时，点F在上，连接AF、BF、CF，求证：AF＝BF+CF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OF并延长交射线CD于点H，连接OC、AF相交于点E，AC＝，HC＝CE，求的值．

27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣3ax+3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，OA＝1；
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上方抛物线上一点，连接AC，DE∥AC交x轴于点E，当OE＝BE时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F在第二象限的抛物线上，连接FD，CK⊥DF垂足为点K，连接OK，当tan∠FKO＝时，求线段FD的长．



参考答案与试题解析
一.选择题（每题3分，共30分）
1．解：113的倒数是，
故选：D．
2．解：∵a2÷a3＝，
∴选项A不符合题意；

∵（a2）3＝a6，
∴选项B不符合题意；

∵3ab2﹣3a2b≠0，
∴选项C不符合题意；

∵a2?a4＝a6，
∴选项D符合题意．
故选：D．
3．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
4．解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，
∴k﹣3＞0，
解得：k＞3，
则k的取值范围是k＞3．
故选：A．
5．解：如右图，
∵∠BPC＝∠APD＝80°，∠B＝30，
∴∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∴∠A＝∠C＝70°．
故选：C．

6．解：在Rt△ACB中，∠CAB＝45°，AB⊥DC，AB＝6米，
∴BC＝6米，
在Rt△ABD中，
∵tan∠BAD＝，
∴BD＝AB?tan∠BAD＝6米，
∴DC＝CB+BD＝6+6（米）．
故选：A．
7．解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝3x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+2）2+3．
故选：A．
8．解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
9．解；A、∵DE∥BC，
∴，故正确；
B、∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，故错误；
C、∵DE∥BC，
∴，故错误；
D、∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴，故错误；
故选：A．
10．解：①由图可知，小李比小张晚出发1小时；故①正确；
②小张的速度：60÷3＝20（km/h）；故②正确；
③小李的速度：90÷（3﹣1）＝45km/h；故③正确；
④由图可知点B（1，0），A（3，60），C（3，90），
设OA的解析式为s＝kt，
则3k＝60，
解得k＝20，
所以，s＝20t，
设BC的解析式为s＝mt+n，
则，
解得．
所以，s＝45t﹣45，
解得，t＝，
则小张出发小时时，两个人相遇，
故④错误，
故选：B．
二.填空题（每题3分，共30分）
11．解：113 000 000＝1.13×108，
故答案为1.13×108．
12．解：∵2x﹣3≠0，
∴x≠，
故答案为：x≠．
13．解：2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
14．解：原式＝（3﹣2）
＝2．
故答案为：2．
15．解：设该新能源汽车的每台进价为x元，
依题意得：59000×0.9﹣x＝987
解得x＝52113
故答案是：52113．
16．解：，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤2，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
故答案为：﹣1＜x≤2．
17．解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AE＝AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，
设半径为r，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，即r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
所以CD＝2r＝26，
故答案为：26．

18．解：设这个扇形的半径为R，圆心角是n°，
∵一个扇形的弧长为20πcm，面积为300πcm2，
∴×R＝300π，
解得：R＝30，
由弧长公式得：＝20π，
解得：n＝120，
故答案为：120°．
19．解：如图，作AH⊥C于H．

当高AH在△ABC内时，∵tan∠B＝＝，
∴可以假设AH＝3k，BH＝7k，
∵AB2＝AH2+BH2，
∴58＝58k2，
∵k＞0，
∴k＝1，
∴AH＝3，BH＝7，
在Rt△ACH中，CH＝＝＝6，
∴BC＝BH+CH＝7+6＝13，
当高AH在△ABC′外时，BC′＝BH﹣HC′＝7﹣6＝1，
故答案为13或1．
20．解：过点A作AH⊥CD于H，

∴∠ACD+∠HAC＝90°，且∠ABD+∠ACD＝90°，
∴∠HAC＝∠ABD，且AC＝AB，∠AHC＝∠ADB＝90°，
∴△ADB≌△CHA（AAS）
∴AH＝BD，CH＝AD＝9，
∵CD＝2
∴HD＝7，
∴AH＝＝＝4＝BD，
∴AB＝＝＝
故答案为：
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分）
21．解：
＝÷
＝×
＝．
当a＝12sin30°＝12×＝6，b＝﹣5tan45°＝﹣5×1＝﹣5时，原式＝＝．
22．解：（1）如图所示，四边形ABCD即为所求；

（2）如图所示，直线CE即为所求；
（3）四边形ABCD的周长为2+6+2×2＝8+4，
故答案为：8+4．
23．解：（1）在⊙O中，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝8，
在Rt△ADB中，AD＝BD＝AB＝5，
答：BC，AD的长分别为8，5．
24．（1）证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠B＝∠ECA+∠ECB＝90°，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵CE＝AE＝AF．
∴∠F＝∠FEA＝∠EAC＝∠ECA．
∴∠FAE＝∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF＝EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：连接CF交线段AB于点M，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，
由（1）知CE＝AB，
∴AC＝CE，
又∵四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形，
∴AE⊥CF，
∵∠B＝∠DCE＝30°，∠BDE＝∠CDE＝90°，
∴BD＝CD＝DE，
∵∠DEB＝∠FEM＝∠DEC＝60°，EF＝CE，∠EMF＝∠CDE＝90°，
∴△EFM≌△ECD（AAS），
∴EM＝DE，FM＝CD，
∴FM＝DE，
∵CM＝CF，
∴CM＝DE，
∴等于的线段有FM，CM，CD，DB．

25．解：（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是分式方程的解，且符合题意，
∴x+50＝200．
答：每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元．
（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+6）个，
依题意，得：（220﹣200）m+（155﹣150）（2m+6）＞3390，
解得：m＞112．
∵m为正整数，
∴m的最小值为113．
答：该商店本次购进甲种零件至少是113个．
26．证明：（1）如图1，连接CO并延长交AB于M，

∵CD是⊙O的切线，
∴CM⊥CD，
∵CD∥AB，
∴CM⊥AB，
∴＝，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，连接OC，同理得OC⊥AB，

∵O在AB上，即AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠AFC＝∠ABC＝45°，
过C作CG⊥CF，交AF于G，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴CG＝CF，FG＝CF，
∵∠ACB＝∠GCF＝90°，
∴∠ACG＝∠BCF，
在△ACG和△BCF中，
∵，
∴△ACG≌△BCF（SAS），
∴AG＝BF，
∴AF＝AG+FG＝BF+CF；
（3）如图3，延长BF交CD于I，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠AFC＝∠ABC＝45°，
∴∠CFI＝∠CGF＝45°，
∵∠FCI＝∠ECG＝90°﹣∠ECF，CF＝CG，
∴△CEG≌△CIF（ASA），
∴CE＝CI，
∵CH＝CE，即，
设CH＝3x，CE＝2x，则CI＝2x，HI＝3x﹣2x＝x，
∵∠ICF＝∠CAF，∠CFI＝∠AFC＝45°，
∴△CIF∽△ACF，
∴，即＝，CF＝
∵CD∥AB，
∴，即，BF＝，
∴＝＝，
∴BF＝CF，
由（2）知：AF＝BF+CF＝2CF，
∵△CIF∽△ACF，
∴，
∴＝，
x＝，即HI＝，
∵HI∥OB，
∴＝＝，
∴＝．
27．解：（1）∵OA＝1，点A在x负半轴上，
∴A（﹣1，0），
将A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣3ax+3并解得：a＝﹣
∴抛物线的解析式为y＝+x+3；
（2）在y＝+x+3中，令y＝0，得+x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4
∴B（4，0），令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵OE＝BE
∴E（2，0）
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝3x+3，
∵DE∥AC，
设直线DE解析式为y＝3x+b，将E（2，0）代入可得：b＝﹣6，
∴直线DE解析式为y＝3x﹣6，
解方程组得，，
∵点D是x轴上方抛物线上一点，
∴D（3，3）；

（3）如图2，
连接CD，延长CK交x轴于H，设DF交y轴于点G，连接GH，
∵CK⊥DF，
∴∠CKG＝∠HKG＝90°＝∠HOG，
∴点O，H，K，G四点共圆，
∴∠FKO＝∠GHO，
∵tan∠FKO＝，
∴tan∠GHO＝，
在Rt△HOG中，tan∠GHO＝＝，
设OH＝3m，则OG＝5m，
由（2）知C（0，3），D（3，3），
∴OC＝3，CD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝3﹣5m，
∵C（0，3），D（3，3），
∴CD⊥y轴，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ODG+∠CGD＝90°，
∵∠CKG＝90°，
∴∠OCH+∠CGD＝90°，
∴∠OCH＝∠CDG，
在△COH和△DCG中，，
∴△COH≌△DCG（ASA），
∴OH＝CG，
∴3m＝3﹣5m，
∴m＝，
∴OG＝5m＝，
∴G（0，），
∵D（3，3），
∴直线DG的解析式为y＝x+①，
∵抛物线的解析式为y＝+x+3②，
联立①②解得，或（点D的纵横坐标），
∴F（﹣，），
∵D（3，3），
∴FD＝＝．