北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第13讲 中心对称

中心对称--知识讲解
【学习目标】
1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；
3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
【要点梳理】
要点一、中心对称和中心对称图形
1.中心对称图形：　把一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心．
要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
2.中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合.
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
　
中心对称
中心对称图形
区别
①指两个图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．
①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
要点二、关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点/关于原点的对称点/坐标为/，反之也成立.
要点三、中心对称、轴对称、旋转对称
1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：
/
2.中心对称图形与轴对称图形比较：
/
要点诠释：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.
【典型例题】
类型一、中心对称和中心对称图形
/1. （2019·铜仁市）如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是中心对称图形的有 ( )
/
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】中心对称图形要求绕中心旋转180°与原图形重合。
中国银行、中国工商银行两个图形绕中心旋转180°能与原图形重合，所以选A.
【总结升华】中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合.
举一反三　
【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　 /　　A．M或O或N 　　　B．E或O或C 　　　C．E或O或N 　　　D．M或O或C
【答案】A
/2.（灌云县校级月考）如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角．
/
【思路点拨】利用中心对称的定义及性质直接写出即可．
【答案与解析】
解：对称点为：A和D、B和E、C和F；
相等的线段有AC=DF、AB=DE、BC=EF；
相等的角有：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．
【总结升华】本题考查了中心对称的性质及定义，中心对称的两个图形的对应角相等，对应边的比相等．
类型二、作图
/3. 已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/
【答案与解析】/
【总结升华】解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.
举一反三　
【变式】（北京某中学期中）物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
/
【答案】（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．
如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，
经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ），
因此点O是各条线段的公共重心，也是平行四边形ABCD的重心．
/
（2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心；
把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，点G即为该模板的重心．
/
类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明
/4. 某同学学习了几何中的对称后，忽然想起了过去做过一道题：有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和.这个同学想，方阵就象正方形，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，能不能利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题吗？这个同学试了试，竟得到了非常巧妙的方法，你也能试试看吗？　 　　/
【思路点拨】从方阵中的数看出，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线当作轴，把正方形翻折一下，对称位置的两数之和都是10，这样方阵中数的和即可求.也可考虑：把方阵绕中心旋转180°，就得到另一方阵，再加到原来的方阵上去，就得到所有的数都是10的方阵，这一方阵数的和亦可求.
【答案】125.
【解析】
解法一：?/　　解法二：?/　　/
　　此题还可引伸成解决其它数学问题.
　　当在求一组有规律的数的和时，经常会用到对称思想.如：　　/　　考虑：　　/　　所以?/
【总结升华】数形结合是学习数学的一种重要思想方法.
举一反三
【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为 ．
/
【答案】/.
中心对称--巩固练习

【巩固练习】
一. 选择题
1. 选出下列图形中的中心对称图形( )　 /　　 A.①②　　　 B.①③ 　　　C.②③ 　　　D.③④
2.（2019春?鄄城县期末）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：
①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1； ③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（　　）
/
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有(　 )　　A.3个 　　　B.4个 　　　C.5个　　　 D.6个
4.下列说法正确的是(　 )　　A.两个会重合的三角形一定成轴对称　　B.两个会重合的三角形一定成中心对称　　C.成轴对称的两个图形中，对称线段平行且相等　　D.成中心对称的两个图形中，对称线段平行(或在同一条直线上)且相等
5.（2019·德州校级自主招生）下列英语单词中，是中心对称图形的是（　　）
A.SOS B.CEO C.MBA D.SAR
6．在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是( )
①中心对称　②旋转　③轴对称　 ④平移
A．①② B．②③　C．③④　D．①④

二. 填空题
7. （2019·射阳县二模）正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点的坐标为________.　　　　　　　　　　　　　　　/
8.（2019秋?寿宁县期中）将五个边长都为3cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是　 　cm2．
/
9．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.
10.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____.　　
11.如图所示，△ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，AB＝AC，△AEC绕点A旋转到△AFB的位置；∠FAD＝__________，∠FBD＝__________． 　　　　　　　　　 /
12.如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为_____________.　　　　　　　　　　/
三． 综合题
13. 如图，△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的图形.　(1)请指出图中所有相等的线段；　(2)写出图中所有相等的角；　(3)图中哪些三角形可以看成是关于点O成中心对称的？　　　　　　　　　　　　　　　　　　 /　　
14.（宜春期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．
（1）根据图形直接写出点C的坐标：　 　；
（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．
/

15. 如图，/为边的/是等边三角形，
求AP的最大、最小值.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　/　　
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B；
2．【答案】D；
【解析】解：中心对称的两个图形全等，则①②④正确；
对称点到对称中心的距离相等，故③正确；
故①②③④都正确．
故选D．
3．【答案】B
【解析】既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有线段、矩形、菱形、正方形.
4．【答案】D
5．【答案】A
【解析】是中心对称图形的是A，故选A．
6．【答案】D
【解析】旋转180°与原图像不能重合，所以①是错误的；平移应该是整个图形通过平移得到新图形，所以④是错误的.
二、填空题/
7.【答案】(4，0)；
【解析】
/
8.【答案】9；
【解析】解：由中心对称的性质和正方形的性质得，一个阴影部分的面积等于正方形的面积的/，
所以，四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，
∵五个正方形的边长都为3cm，
∴四块阴影面积的总和为9（cm2），
故答案为：9．
9.【答案】60°或120°.
【解析】正六边形的中心角是360°÷6=60°，所以旋转角是60°的倍数即可.
10.【答案】/
【解析】准确的画图将为我们研究问题提供较好的思维切入点，据题意，画示意图.　　　　　　　　　　　　　　　　　/由图可知，P3与P2关于y轴对称，因此只须求得P2坐标，而我们可以发现△OP0P2为含60°角的 直角三角形，所以可以知道 /，/.
11.【答案】60°；60°.
【解析】因为△AEC绕点A旋转到△AFB的位置，所以△AEC≌△AFB，
即∠FAB=∠EAC,∠ACB=∠FBA,又因为∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
所以∠FAD=∠BAD +∠FAB=∠BAD+∠EAC =120°-60°=60°；
所以∠FBD=∠ABC+∠FBA=∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°.
12.【答案】(-2,-1)
三．解答题
13.【解析】
因为△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的，所以这两个三角形关于点O成中心对称
(1)图中相等的线段有：/(2)图中相等的角有：　 /(3)图中关于点O成中心对称的三角形有：　　　　 △ABC与△DEF，△ABO与△DEO，△ACO与△DFO，△BCO与△EFO.
14.【解析】
解：（1）∵B（6，0）、D（0，4），
∴点C的横坐标是6，纵坐标是4，
∴点C的坐标为（6，4）；
故答案为：（6，4）；
（2）直线m如图所示，
对角线OC、BD的交点坐标为（3，2），
设直线m的解析式为y=kx+b（k≠0），
则/，
解得/，
所以，直线m的解析式为y=﹣/x+6．
/
15.【解析】已知条件AB=3，AC=2与所求的AP比较分散.考虑到/是等边三角形，　　　　　若/绕点P逆时针旋转/到/，
则/
可得/是等边三角形，/，
　　　　　则/与所求/就集中到/中　　　　　（特殊情况A，/，B三点在同一直线）.　　　　　由于/，　　　　　所以/.　　　　　即 AP的最大值为5，最小值为1.
/