北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第14讲《图形的平移与旋转》全章复习与巩固(基础)

《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】
1.了解平移、旋转、中心对称，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次图形变换后的图形；
3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计；
4.认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.
【知识网络】
/
【要点梳理】
要点一、平移变换
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
要点诠释：
（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离；
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小．
2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等．
要点诠释：
（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
（2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
3. 平移与坐标变换：
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换．
(2)图形的平移
平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
要点诠释：
（1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
（2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的．
要点二、旋转变换1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.要点诠释：
（1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到.
（2）旋转的角度一般小于360°.
（3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向）
２．旋转变换的性质：　　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.
３．旋转作图步骤：　　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.　　②分析所作图形，找出构成图形的关键点.　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.　　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点.
要点三、中心对称与图案设计
1．中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的．
要点诠释：中心对称的性质：
成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分．
2. 中心对称图形：　　把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.要点诠释：中心对称作图步骤：　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
3.图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.
4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的．
【典型例题】
类型一、平移变换
/1.（2019春?曲阜市期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，求直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
/
【思路点拨】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′的坐标；（3）设P（0，y），再根据三角形的面积公式求出y的值即可．
【答案与解析】
解：（1）如图所示：
/
（2）由图可知，A'（0，4），
B'（﹣1，1）；
（3）存在．
设P（0，y），要使得△BCP与△ABC面积相等，只需要点P到BC的距离为3即可，
则y=1或y=﹣5，
故点P的坐标是（0，1）或（0，﹣5）．
【总结升华】本题考查的是平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
举一反三：
【变式】如下图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，则其平移的方向是 ；平移的距离是 ；△ABC经过旋转后成为△BDE，则其旋转中心是 ；旋转角度是 度．
/
【答案】水平向右，AB的长度（或BD的长度），B，120或240．
/2. 三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）．（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；（3）如果将△ABC看成是由△A1B1C1经过一次平移得到的，请指出这一平移方向和距离．
【答案与解析】
解：（1）如图1，
/（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；/
（3）如图3，连接AA1，由图可知，/.
因此，如果将△ABC看成是由△A1B1C1经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A1到A的方向，平移距离是5个单位长度.
/
【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键及平移的相对性．
举一反三：
【变式】如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C的坐标分别为(-3，2)和(3，-2)，则矩形的面积为( )．
A．32 B．24 C．6 D．8
【答案】B.
类型二、旋转变换
/3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（　　）．
/
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
【思路点拨】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可.
【答案与解析】
解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB=45°﹣15°=30°，
故选：B．
【总结升华】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．
举一反三：
【变式】如图，△OAB可以看成是由△OCD绕点O按顺时针方向旋转而来的，则旋转中心是 ，旋转角是 ，点C的对应点是 ．
/
【答案】点O，∠COA或∠DOB，点A．
/4.如图，四边形ABCD是正方形，点E是AB边上的点，BE＝1.将△BCE绕点C顺时针
旋转90°得到△DCF.已知EF＝2/，求正方形ABCD的边长.
【答案与解析】
解：设正方形ABCD的边长为x，∵△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，且BE=1，∴DF=BE=1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=x，∠A=90°，∴在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
∵AE=AB-BE=x-1，AF=AD+DF=x+1，
∴/，解得：x＝3，∴正方形ABCD的边长为3．
【总结升华】此题考查了正方形的性质、旋转的性质以及勾股定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
举一反三：
【变式】如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的数量关系．
/
【答案】数量关系为BK=DM.
∵ABCD和AKLM都是正方形，
∴AB=AD，AK=AM.
∵∠DAM+∠DAK=90°，∠BAK+∠DAK=90°.
∴∠DAM=∠BAK △DAM可以看作是△ABK以A为旋转中心，∠BAD为旋转角(90°)逆时针旋转而成的，故BK=DM.
类型三、中心对称与图形设计
/5．如图，方格纸中△ABC的三个顶点均在格点上，将△ABC向右平移5格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°，得到△A1B2C2．
（1）在方格纸中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）设B点坐标为（﹣3，﹣2），B2点坐标为（4，2），△ABC与△A1B2C2是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心，并写出对称中心的坐标；若不成中心对称，请说明理由．
/
【思路点拨】根据平移和旋转的作图方法作图即可．根据中心对称的特点可知P点就是对称中心，从而求出A（﹣2，0），A1（3，0），P（/，0）．
【答案与解析】
解：（1）如下图．
（2）△ABC与△A1B2C2成中心对称，
如下图所示，连接CC2（或BB2）交AA1于点P．
则P点就是对称中心．
∵B（﹣3，﹣2），B2（4，2），∴A（﹣2，0），A1（3，0），
∴P（/，0）．
/
【总结升华】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．
/6．如图，图案可以看做以一个怎样的图案为“基本图案”形成的?试用两种以上的方法分析它的形成过程．
/
【答案与解析】
解：解法一：图案可以看做是以其中的八分之一为“基本图案”，经过三次轴对称 (第1、2根对称轴彼此垂直，而且过整个图案的中心)所形成的．
解法二：也可以看做是以图案的四分之一为“基本图案”(可以是小正方形状也可以是等腰直角三角形状)，绕整个图案的中心分别旋转90°、180°、270°所形成的．
解法三：也可以以四分之一图形为基本图形，经过两次轴对称(对称轴互相垂直，而且过整个图案的中心)所形成．
【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的知识，基本图案的寻找较为灵活，对于不同的基本图形需要作的几何变换也不同．
举一反三：
【变式】（2019春?泸溪县期末）如图所示，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图2、图3、图4中分别画出满足以下要求的图形（用阴影表示）
（1）使所得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；
（2）使所得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形；
（3）使所得图形既是轴对称图形也是中心对称图形．
/
【答案】解：
/
《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. 以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）.
A．4个 B．5个 C．6个 D．3个
2．有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ）.
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
3.（2019?番禺区一模）下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（　　）
A．/ B．/ C．/ D．/
4.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形可由△OBC平移得到的是（ ）.　　A.△OCD　　　B.△OAB　　　C.△OAF　　　D.△OEF
5.如图，∠DOE为直角，如果△ABC关于OD的对称图形是△A′B′C′，△A′B′C′关于OE的对称图形是△A″B″C″，则△ABC与△A″B″C″的关系是（ ）．
A．以∠DOE的平分线成轴对称; B．关于点O成中心对称
C．平移关系; D．不具备任何关系
/ / /
第4题 第5题 第6题
6.如图所示，△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，△EDC是由△ADB旋转180°所得，则AB边的取值范围是（ ）．
　　A．l＜AB＜29 　　　B．4＜AB＜24　　　 C．5＜AB＜19 　　　D．9＜AB＜19
7. 下列变换中，哪一个是平移（　　）．
/ / / /
8.（2019·新疆）如图所示，将一个含30°的直角三角板ABC绕点A选择，使得点B，A，C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是 ( ).
A．60° B．90° C．120° D．150°
/
二、填空题/
9.（2019春?天津期末）某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为 　．
/
10. 如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是__________cm2.
11. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形纸，小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去，使AB边和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判定方法是________．
/ / /
第10题 第11题 第12题
12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与
AC上的点B1重合，则AC＝ cm．
13.（2019·青岛模拟）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB’C’，点C’恰好落在边AB上，连接BB’，则∠BB’C’= .
/ /
第13题 第14题
14. 如图所示，图形①经过 变换得到图形②；图形①经过 变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④．（填平移、旋转、轴对称）

15.如图，把大小相等的两个长方形拼成L形图案，则∠FCA＝ 度．
/
16．将△ABC绕BC边的中点O旋转1800得到△BCD.如果AB+BD=12㎝,那么旋转前后图形拼成的
四边形的周长是 ．
三、解答题
17. 动手操作．（1）在A图中画出图形的一半，是它们成为一个轴对称图形．（2）把B图形?②绕O点 方向旋转 ，然后向 平移 格，再向 平移 格，可同图形①拼成一个正方形． /
18. 如图1，往6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换．　　将图形F沿x轴向右平移1格得图形/，称为作1次P变换；　　将图形F沿y轴翻折得图形/，称为作1次Q变换；　　将图形F绕坐标原点顺时针旋转90°得图形/，称为作1次R变换．　　规定：PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1
次Q变换；/变换表示作n次R变换．　　解答下列问题：　　(1)作/变换相当于至少作________次Q变换；　　(2)请在图2中画出图形F作/变换后得到的图形/；　　(3)PQ变换与QP变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ变换后得到的图形/，在图4中
画出QP变换后得到的图形/．　/19.（2019?淮阴区校级模拟）阅读材料：
如图（一），在已建立直角坐标系的方格纸中，图形①的顶点为A、B、C，要将它变换到图④（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．
例如：将图形①作如下变换（如图二）．
第一步：平移，使点C（6，6）移至点（4，3），得图②；
第二步：旋转，绕着点（4，3）旋转180°，得图③；
第三步：平移，使点（4，3）移至点O（0，0），得图④．
则图形①被变换到了图④．
/
解决问题：
（1）在上述变化过程中A点的坐标依次为：
（4，6）→（　 　，　 　）→（　 　，　 　）→（　 　，　 　）
（2）如图（三），仿照例题格式，在直角坐标系的方格纸中将△DEF经过平移、旋转、翻折等变换得到△OPQ．（写出变换步骤，并画出相应的图形）
/
20.如图，在正方形网格上有一个△ABC．（1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′（不写作法，但要标出字母）；（2）若网格上的最小正方形边长为1，求出△ABC的面积．
/
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】A．
2．【答案】D.
【解析】①温度计中液柱的上升或下降改变图形的大小，不属于平移；②打气筒打气时，活塞的运动属于平移；③钟摆的摆动是旋转，不属于平移；④传送带上瓶装饮料的移动符合平移的性质，属于平移．
3．【答案】B.
【解析】解：A、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误；
B、图形的大小没有发生变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项正确；
C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误；
D、图形的大小发生变化，不属于平移得到，故此选项错误．
故选：B．
4．【答案】C.
5．【答案】B.
【解析】当对称轴垂直时，一个图形经过两次轴对称变换得到的图形与原图形成中心对称．
6．【答案】D.
【解析】∵△ADB绕点D旋转180°，得到△EDC，
∴AB=EC,AD=DE，而AD=7，∴AE=14，在△ACE中，AC=5，∴AE-AC＜EC＜AC+AE，即14 -5＜EC＜14+5，∴9＜AD＜19．
7.【答案】A.
【解析】根据平移不改变图形方向、形状和大小，对每个选项分别判断、解答出即可．
8.【答案】D.
【解析】旋转角是∠CAC’=180°－30°=150°.
二．填空题
9．【答案】200m．
【解析】解：∵荷塘中小桥的总长为100米，
∴荷塘周长为：2×100=200（m）
故答案为：200m．
10．【答案】2.
【解析】连结AC，如图，∵AB⊥BC，AB=BC=2cm，∴△ABC为等腰直角三角形，又∵弧OA与弧OC关于点O中心对称，∴OA=OC，弧OA=弧OC，∴弓形OA的面积=弓形OC的面积，∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的图形的面积=三角形ABC的面积=/×2×2=2（cm2）．
/
11．【答案】对角线平分内角的矩形是正方形.
12．【答案】4cm.
【解析】∵AB=2cm，AB=AB1∴AB1=2cm，∵四边形ABCD是矩形，AE=CE，∴∠ABE=∠AB1E=90°∵AE=CE，∴AB1=B1C，∴AC=4cm．
13.【答案】22°．
【解析】∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°得到Rt△AB’C’，∴AB=AB’，∠BAB’=44°，在△ABB’中，∠ABB’=（180°-∠BAB’）=68°，
∵∠AC’B’=∠C=90°，
∴B’C’⊥AB，
∴∠BB’C’=90°－∠ABB’=22°．故答案为：22°．
14．【答案】轴对称，旋转，平移.
【解析】解：由图形可知：图形①和图形②关于对称轴对称；图形①经过顺时针旋转90°变换得到图形③；图形①经过平移变换得到图形④．故答案为：轴对称，旋转，平移．
15．【答案】45°.
【解析】易得△FAC为等腰直角三角形，且∠FAC＝90°，所以∠FCA＝45°．
16．【答案】24cm.
三.综合题
17.【解析】
解：（1）根据题干分析画图如下：/（2）观察上图，图形②绕O点逆时针方向旋转90度，然后向左平移2格，再向下平移3格，可同图形①拼成一个正方形．故答案为：逆时针；90度；左；2；下；3．
18．【解析】
解：(1) 2；　　 (2)正确画出图形/；　　 (3)变换PQ与变换QP不是相同的变换.正确画出图形/，/.　　/
19．【解析】
解：（1）（2，3）→（6，3）→（2，0），
（2）第一步：翻折，沿DE所在直线翻折180°，得图2；
第二步：旋转，绕着点（5，4）逆时针旋转90°，得图3；
第三步：平移，使点（3，4）移至点O（0，0），得图4．
/
20.【解析】
解：（1）如图： /
（2）解：S△ABC=6×1-/（1×2+1×3+1×2）=6-/=/． /