北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第16讲 平方差公式(基础)

平方差公式（基础） 知识讲解
【学习目标】
1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【要点梳理】
要点一、公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——平方差公式
1、（2019?富顺县校级模拟）下列各式能用平方差公式分解因式的有（　　）
①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，进而可得答案．
【答案与解析】解：下列各式能用平方差公式分解因式的有；②x2﹣y2；④﹣x2+y2；，共2个，故选：B．
【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平方项等方面来判断．
2、分解因式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【思路点拨】本题都符合平方差公式的特点，可以分别写成两数（式）平方差的形式，然后运用平方差公式进行因式分解.
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以写成“”．（3）一定要把两项写成的形式，再套用平方差公式．
举一反三：
【变式1】分解因式：
（1）；（2）．
【答案】
解：（1）．
（2）
．
【变式2】（2019春?泗阳县期末）下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
　 A.（2a+b）（2b﹣a） B.（﹣x+1）（﹣x﹣1）
C.（a+b）（a﹣2b） D.（2x﹣1）（﹣2x+1）
【答案】B．
类型二、平方差公式的应用
3、（2019春?开江县期末）计算20192﹣2019×2019的结果是（　 　）
　 A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1
【思路点拨】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【答案】D；
【解析】解：原式=20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）=20192﹣（20192﹣1）=20192﹣20192+1=1，
故选D.
【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A；
【变式2】用简便方法计算：（1）；（2）.
【答案】
解：（1）原式
（2）原式

4、已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求两个正方形的边长．
【答案与解析】
解：设大正方形的边长为，则小正方形的边长为(－24)．
依题可列．
运用平方差公式：[＋(－24)][ －(－24)]＝960．
24(2－24)＝960．
解得＝32．－24＝32－24＝8．
答：它们的边长分别为32厘米，8厘米．
【总结升华】无论在哪一方面应用因式分解，都须仔细观察，是有公因式还是符合公式，切忌不能盲目乱用，这样应用起来才能达到真正意义上的化简，不然反而走向误区，就是说不要为用因式分解而用，要因题用，能用则用，不能用千万别用，千万别硬套.
【巩固练习】
一.选择题
1. （2019春?乐业县期末）下列各式中，哪项可以使用平方差公式分解因式（　　）
A．﹣a2﹣b2 B．﹣a2+9 C．p2﹣（﹣q2） D．a2﹣b3
一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）．
A． B． C． D．
3. 有一个因式是,则另一个因式为(　　)
A. B. C. D.
4． 在一个边长为12.75的正方形内挖去一个边长为7.25的正方形，则剩下的面积应当是（ ）
A． B． C． D．
5. （2019?赤峰模拟）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（　 　）
　 A.4 B. 3 C.12 D.1
6. 下列分解因式结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二.填空题
7. （2019?济南）分解因式：a2﹣4b2=　 　．
8. 利用因式分解计算：__________，____________.
9. 分解因式：___________，______________.
10.（2019?杭州模拟）若a+2b=﹣3，a2﹣4b2=24，则a﹣2b+1=　 　．
11. 若多项式能用平方差公式分解因式，那么单项式M＝________.（写出一个即可）
12. 用公式简算：＝________________.
三. 解答题
13. 把下列各式因式分解
（1） （2）
（3） （4）.
14. 已知，. (1)求的值; (2)求和的值.
15.（2019春?牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此判断即可．
2. 【答案】B；
【解析】.
3. 【答案】D；
【解析】.
4. 【答案】C；
【解析】.
5. 【答案】C；
【解析】解：∵a+b=4，a﹣b=3，
∴原式=（a+b）（a﹣b）=12，
故选C.
6. 【答案】D；
【解析】；
.
二.填空题
7. 【答案】（a+2b）（a﹣2b）.
8. 【答案】－198000；5200；
【解析】；
.
9. 【答案】；
【解析】；

.
10.【答案】-7；
【解析】解：∵a+2b=﹣3，a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=24，
∴a﹣2b=﹣8，
则原式=﹣8+1=﹣7．
故答案为：﹣7.
11.【答案】；
12.【答案】－2009；
【解析】
.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
14.【解析】
解：
∴
解方程组，解得.
15.【解析】
解：设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+3米，
根据题意得，（x+3）2﹣x2=63，
由平方差公式得，（x+3+x）（x+3﹣x）=63，
解得，x=9；
∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；
答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．