北师大版初中数学八年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第17讲 完全平方公式(基础)

完全平方公式（基础）
【学习目标】
1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【要点梳理】
要点一、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即/，/.
形如/，/的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母/和/的广泛意义，/、/可以是字母，也可以是单项式或多项式.
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——完全平方公式
/1、（2019?普宁市模拟）下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）．
A． B． C． D．
【思路点拨】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解.
【答案】B；
【解析】A、其中有两项-x2、12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；
B、，符合完全平方公式特点，故本选项正确；
C、其中有两项x2、-12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；
D、，不符合完全平方公式特点，故本选项错误.
【总结升华】本题主要考察了能用完全平方公式分解因式的式子特点，熟记公式结构是解题的关键.
举一反三：
【变式】（2019春?临清市期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（　　）
　 A．﹣1 B． 7 C． 7或﹣1 D． 5或1
【答案】C.
/2、分解因式：
（1）/； （2）/； （3）/； （4）/．
【答案与解析】
解：（1）/．
（2）/．
（3）/．
（4）/．
【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应．
举一反三：
【变式】分解因式：
（1）/； （2）/；
（3）/； （4）/．
【答案】
解：（1）//
/．
（2）//．
（3）//．
（4）/
/
/．
/3、分解因式：
（1）/；（2）/；（3）/．
【答案与解析】
解：（1）//．
（2）//．
（3）//
/．
【总结升华】分解因式的一般步骤：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解．
举一反三：
【变式】分解因式：
（1）/．
（2）/．
（3）/；
（4）/；
（5）/；
【答案】
解：（1）原式/
/．
（2）原式/
/．
（3）原式/
（4）原式＝/
（5）原式/
类型二、配方法
/4、（2019春?江都市期末）已知：x+y=3，xy=﹣8，求：
（1）x2+y2
（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．
【思路点拨】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将各自的值代入计算即可求出值．
【答案与解析】
解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，
∴原式=（x+y）2﹣2xy=9+16=25；
（2）∵x+y=3，xy=﹣8，
∴原式=x2y2﹣（x2+y2）+1=64﹣25+1=40．
【总结升华】要先观察式子的特点，看能不能将式子进行变形，以简化计算.
举一反三：
【变式】已知/为任意有理数，则多项式/－1－//的值为（ ）．
A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．可能为正数，负数或0
【答案】B；
提示：/－1－//＝/.
【巩固练习】
一.选择题
1. （2019?长春）把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
2．是下列哪一个多项式分解的结果（ ）
A． B．
C． D．
3. （2019?邵阳）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（　　）
　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
4. 如果可分解为,那么的值为(　　).
A.30 B.－30 C.60 D.－60
5. 如果是一个完全平方公式，那么是（ ）
A.6 B.－6 C.±6 Ｄ.18
6. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）
A. B. Ｃ. D.
二.填空题
7. 若，那么．
8. 因式分解:＝____________.
9.（2019?湘西州）分解因式：x2﹣4x+4=　 　．
10.（2019春?萧山区期末）将4x2+1再加上一项，使它成为（a+b）2的形式（这里a、b指代的是整式或分式），则可以添加的项是　 　．
11. 分解因式： ＝_____________.
12. （1）（2）.
三.解答题
13. 若，求的值.
14.（2019春?万州区期末）已知x﹣y=1，x2+y2=25，求xy的值．
15. 把称为立方和公式，称为立方差公式，据此，试将下列各式因式分解:
(1)； (2).
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
2. 【答案】C；
【解析】.
3. 【答案】C；
【解析】解：∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2
=（a+b）2﹣2ab
=32﹣2×2
=5，
故选C.
4. 【答案】D；
【解析】.
5. 【答案】C；
【解析】.
6. 【答案】B；
【解析】.
二.填空题
7. 【答案】8；
【解析】.
8. 【答案】；
【解析】.
9. 【答案】（x﹣2）2
10.【答案】4x，﹣4x，/．
【解析】解：①4x2是平方项时，4x2±4x+1=（2x±1）2，
可加上的单项式可以是4x或﹣4x，
②当4x2是乘积二倍项时，4x4+4x2+1=（2x2+1）2，
可加上的单项式可以是4x4，
③1是乘积二倍项时，/，
可加上的单项式可以是/，
故答案为：4x，﹣4x，/．
11.【答案】；
【解析】.
12.【答案】（1）；（2）.
三.解答题
13.【解析】
解：.
14．【解析】
解：∵x﹣y=1，
∴（x﹣y）2=1，
即x2+y2﹣2xy=1；
∵x2+y2=25，
∴2xy=25﹣1，
解得xy=12．
15. 【解析】
解：（1）
（2）.