人教A版数学选修4-13.3平面与圆锥面的截线教案

平面与圆锥面的截线
一、考、学情简析
平面截圆锥面（不过顶点）所得的截线，可以是圆、椭圆、双曲线及抛物线，但这些
知识在教材中并未涉及，只是在章头图中惊鸿一现.纵观浙江卷考题及各地模拟卷均却时有
以此为背景的试题，简洁而灵动，但考生往往无所适从，“小题大做”，主要原因是对本节知
识的缺失，通过本节课的学习，让学生了解此类问题的本质,掌握解决此类问题的方法,教师
在教学时可以参阅人教 A 版选修 4-3 的相关内容.
二、教学目标
1.通过动态演示（或图示）观察平面截圆锥面的情境，让学生感知截面的四种情形；
2.利用 Dandelin 双球证明截线为椭圆的情形；
3.能利用结论判断平面截圆锥面所得截线形状.
三、教学重点难点
教学重点：1.平面截圆锥面所得截线形状的三个结论；
2.平面截圆锥面所得截线形状的判断.
教学难点：1.椭圆截线的证明；
2.三个结论的综合应用.
四、教学策略
1.直观性原则
通过动画或图示，让学生直观感知知识的形成过程.
2.探究性原则
应利用探究性、合作学习等方式，加深对知识的理解.
3.适度性原则
根据学情，灵活把握教学的难度，视学情选择教学内容,没必要面面俱到,学生只要掌握
相关结论即可,定理的证明只是为了帮助学生更好地理解相关结论,不强求定性证明.
五、教学过程
【环节一】平面截圆锥面的各种情形
1.观察下列两幅图，感知平面（不过圆锥顶点）截圆锥面所得截线的四种情况
图1
图2
【设计意图】通过图示（有条件可动画演示）让学生直观感知截线的四种情形.由于

本知识在教材中没有介绍，故不宜做过度拓展.
【环节 2】平面截圆锥面定理
两个实验：利用几何画板探究平面截圆锥面定理.
【实验 1】如图 3，AD 是等腰三角形底边上的高， ?BAD ??? ，
直线 l 与 AD 相交于点 P，且与 AD 的夹角为 ? (0 ????? ?2 ) .
【探究 1】当?, ? 满足什么关系时有（1） l 与 AB（或其延长线）、AC 都相交；（2） l 与 AB 不相交；（3） l 与 AB 的延长线、AC 都相交.
【结论】如图 4，可得如下结论：?1?当l与AB ?或AB的延长线?、AC都相交时,
设l与 AB(或 AB的延长线)交于 E, 与 AC交于F.因为? 是?AEP 的外角, 所以必然有?????;
反之,当?????时, l与AB(或AB的延长线)、AC都相交.

图3
图4

2

2?当l与AB不相交时,则l / / AB, 这时有?????; 反之,当????? 时, l / / AB, 那么l与AB不相交.
?3?当l与BA的延长线、AC都相交时,设l 与BA的延长线交于G,
因为?是?APG的外角, 所以?????;如果?????, 那么l 与BA的延长线、AC都相交
【设计意图】实验 1 从平面图形出发，通过探究让学生感知三个结论，而这三个结论恰恰
是定理的核心内容.由于是平面图形学生能够很容易理解，教师可直接让学生回答，可不必
用几何画板演示.
【实验 2】将图 3中的等腰三角形拓展为圆锥，直线拓展为平面，通过合情推理则得到图
2.（实验只需演示，不必让学生探究）
【实验结果】如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则得到如
下结论：
1.如果平面与一条母线平行（相当于图 4 中的 ????? ），那么平面就只与圆锥的一半相
交，这时交线是一条抛物线；
2.如果平面与母线不平行，则有两种情形：
（1）当 ????? 时，平面只与圆锥的一半相交，这时交线是椭圆；
（2）当 ????? 时，平面与圆锥的两部分都相交，这时交线是双曲线.
【设计意图】通过演示，让学生直观感知结论，无需过多拓展.当然对条件较好的学校可
以适当引申.
【定理】在空间中，取直线 l 为轴，直线 l / 与 l 相交于 O 点，其夹角为? ， l / 围绕 l 旋转得
到以 O 为顶点， l / 为母线的圆锥面，任取平面 ? ，若它与轴 l 交
角为 ? （π与 l 平行，记着β＝0），则：
（1） ????? ，平面π与圆锥的交线为椭圆；
（2） ????? ，平面π与圆锥的交线为抛物线；
（3） ????? ，平面π与圆锥的交线为双曲线.
图5
利用 Dandelin 双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平
面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）
下面只证明 ????? 时，平面π与圆锥的交线为椭圆.
证明：如图 5，设截面与两球的切点分别为 E、F，A 为截线上任一点，过点 A 的母线与两
球的切点分别为 B、C，则易得： AB ? AF , AE ? AC ，
所以 AE ? AF ? AB ? AC ? BC ? 定值，由椭圆定义，则点 A 的轨迹为椭圆.
【设计意图】进一步强化结论.定理的证明以椭圆为例，其他两种情况不做要求.这里只需要学生掌握结论即可.
【环节 3】定理应用
例 1：直接利用定理解决下列问题.
（1）平面? 与圆锥的母线平行，则它们的交线为抛物线;离心率为__1__;
（2）一圆锥面的母线和轴线成 30? 角，当用一与轴线成 30? 的不过顶点的平面去截圆锥时，
则所截得的截线是（ C ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.两条相交直线
（3）已知圆锥面 S，其母线与轴线所成角为 30? ，在轴线上取一点 C，通过点 C 作一截面?
使它与轴线所成的角为 45? ，则截出的曲线是（ B ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
【设计意图】例 1 的三个小题均可直接利用定理求解，主要是为了让学生熟悉定理结论及其简单应用.
例 2：求解下列问题.
（1）圆锥的顶角为 60? ，平面? 与母线所成的角为 60? ，则截面所截得的截线是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
提示：截面与轴垂直，所以截线为圆，故选 A.
（2）（2015 年浙江文 7）如图 6，斜线段 ??与平面? 所成的角为 60? ，? 为斜足，平面?
上的动点 ? 满足 ?????? 30? ，则点 ? 的轨迹是 （ C ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支
提示：当 P 点运动时，在空间中，满足条件的 AP 绕 AB 旋转形
图6
成一个圆锥，用一个与圆锥高成 60? 角的平面截圆锥，所得图形
为椭圆.故选 C.
【变式】（2016 金丽衢十二校理 8）如图 7，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足． 若点 C 在平面? 内运动，且∠CAB 等于直线 AB 与平面? 所成的角，
则动点 C 的轨迹为( D
)
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
图7
【设计意图】通过两个问题和一个变式加深对定理的理解.对于问题(2)及变式,需要模型建构,才能利用定理进行判断,是对学生数学建模素养的培养.
例 3：活用定理解决下列问题.
（1）（2008 年浙江理 10）如图 8，AB 是平面? 的斜线段，A
为斜足，若点 P 在平面? 内运动，使三角形 ABP 的面积为定值
则动点 P 的轨迹是（ B
）
图8
A．圆B．椭圆
C．一条直线D．两条平行直线
（2）（2015 湖州二中 10 月月考）二面角??? l ??? 大小120? ， AB 垂直平面 ? 交 l 于 B ，
动点 C 满足 AC 与 AB 成 40? 角，则点 C 在平面? 和平面 ? 上的轨迹分别是 （ C ）
A．椭圆、圆 B．双曲线、椭圆 C．双曲线、圆 D．抛物线、圆
【设计意图】强化定理的灵活应用，培养学生的理性思维.
【反馈练习】
1.如图 9，直线 PO ? 平面 M，垂足为 O，直线ＰＡ是平面Ｍ的一条斜线，斜足为Ａ，其中
?APO ??? ，过点Ｐ的动直线ＰＢ交平面Ｍ于点Ｂ， ?APB ??? ，则下列说法正确的是＿
（１）若??? 0?, ??? 90? ，则动点Ｂ的轨迹是一个圆；
（２）若??? 0?, ??? 90? ，则动点Ｂ的轨迹是一条直线；
（３）若??? 0?, ??? 90?且??????? 90? ，则动点Ｂ的轨迹是抛物线；
图9
（４）若??? 0?, ??? 90?且??????? 90? ，则动点Ｂ的轨迹是双曲线；
答案（２）（３）
2.如图 10，平面? 的斜线 AB 交? 于 B 点，且与? 所成的角为?
平面? 内有一动点 C 满足 ?BAC ? ?
，若动点 C 的轨迹为椭圆
图10
6
??,
??）
则? 的取值范围为________.答案：（
6
2
3.如图 11，直线 AB 是平面? 的斜线，A 为斜足，若点 P 在平面? 内运
动，使得点 P 到直线 AB 的距离为定值 a(a>0),则动点 P 的轨迹是（ B
）
图11
A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条平行直线