人教A版高中数学选修2-1 2.4.2抛物线的简单几何性质教案

2.4.2抛物线的简单几何性质
（一）教学目标
1.知识与技能：(1) 通过对抛物线图形的研究，让学生熟悉抛物线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对抛物线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
(2) 熟练掌握抛物线的几何性质，会用抛物线的几何性质解决相应的问题。
2.过程与方法：通过讲解抛物线的相关性质，理解并会用抛物线的相关性质解决问题。
3.情感、态度与价值观：
(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点
重点：抛物线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质
难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质。
（三）教学过程
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）
问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？
抛物线的定义？
四种不同抛物线方程的对比？
问题2：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线有那些的几何性质？通过它的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？抛物线上哪些点比较特殊？
点题：今天我们学习“抛物线的简单几何性质”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）
一、抛物线的简单几何性质
1．范围：，
由知，抛物线上点的坐标满足不等式，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方或右下方无限延伸。
2．对称性：抛物线关于轴对称.
在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称.这时，坐标轴轴是抛物线的对称轴。
3．顶点：坐标原点（0，0）
在抛物线的标准方程中，令，得
4．离心率：
抛物线上的点M到焦点的焦距与它到准线的距离的比叫抛物线的离心率.
问题3：说出当满足下列条件时，曲线是什么图形？（1）当0＜e＜1时，（2）当e＞1时，（3）当e=1时。
5.焦半径：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．
设为抛物线y2=2px上任一点，F（，0）是抛物线的焦点，则|PF|=+.
6.由焦半径公式不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴时，抛物线的通径|AB|=2p
练习：完成下列表格
标准方程
图像
范围
对称性
顶点
离心率
焦点坐标
准线方程
开口方向
例3：已知：抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
解：略
问题4：思考顶点在坐标原点，并且经过点的抛物线有几条？求出它的标准方程。
练习：书本P72页练习1、2
活动三：合作学习、探究新知（18分钟）
例4：斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于、两点,求线段的长。
解：法一　弦长公式
法二 设、，则∵将直线代入得，
∴
又∵由抛物线定义得，所以．
小结：过抛物线焦点的弦长求法：法一　弦长公式；法二：焦点弦的长度．
例5：过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．
证明：
(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．
或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．
综合上述有y1y2=-p2
又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，
例6：设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，通过点和抛物线定点的直线交抛物线准线与点。求证且∥轴。
证明：设点，则
∵直线的方程为，准线方程是
例7：已知抛物线的方程为：，直线过定点，斜率为K，K为何值时，直线L与抛物线，只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
解：略
练习：书本P72页练习4
例8：已知点和抛物线：，求过点且与抛物线相切的直线的方程。
分析：直线过点和抛物线相切，所以斜率可以存在也可以不存在，不存在时恰好是轴，存在时可以设方程为，直接代入抛物线，由时相切，即可求得。
解析：（1）当直线斜率不存在时，由直线过点知直线即是轴，其方程为，其和抛物线相切。
（2）当直线斜率存在时，直线过点，设直线的方程为， 代入有，因为直线和抛物线相切，所以，，
　 ∴，直线的方程为。
综上：直线的方程为或
活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）
用表格形式表示一下抛物线的几何性质？
活动五：作业布置、提高巩固
1．书面作业：书本P73 A组5、6、7、8