人教A版高中数学选修2-1 2.4.1抛物线及其标准方程教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选修2-1 2.4.1抛物线及其标准方程教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 108.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-13 20:15:16 | ||
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文档简介
2.4.1抛物线及其标准方程
（一）教学目标
1.知识与技能：
(1) 理解抛物线的定义明确焦点、焦距的概念。
(2) 熟练掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件画出抛物线的草图并确定抛物线的标准方程。
2.过程与方法：事例引入，动手操作理解抛物线的定义明确焦点、焦距的概念。通过学生动手推导、例题教学让学生熟练掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件画出抛物线的草图并确定抛物线的标准方程。
3.情感、态度与价值观：
(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点
重点：抛物线的定义和标准方程
难点：抛物线标准方程的推导
（三）教学过程
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）
回忆前面学习的内容，说一说椭圆与双曲线的相关知识？
问题1：椭圆的定义是什么？双曲线的定义是什么？
问题2：椭圆的标准方程是怎样的？双曲线的标准方程是怎样的？
问题3：同学们对抛物线已有了哪些认识？
在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象。
问题4：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？
在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.
问题5：把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线
点题：今天我们学习“抛物线及其标准方程”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）
问题6：实验操作书本P64页，几何画板上的画图，从实验中，点M随着H运动的过程中，与有什么关系？
1、抛物线定义：
把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
即=；焦点：；准线：直线
问题7：类似求椭圆或双曲线标准方程的方法来求抛物线的标准方程，你能利用上一节学过的坐标法求出抛物线的方程吗？
如图所示，建立直角坐标系，设（）,
那么焦点的坐标为，准线的方程为，
设抛物线上的点，则有
化简方程得
方程叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在轴的正半轴上，焦点坐标是，它的准线方程是
问题8：探究: 若抛物线的焦点分别为、、，抛物线的标准方程是什么?
2：抛物线的标准方程
(1), 焦点:，准线：
(2), 焦点:，准线：
(3), 焦点:，准线：
(4) , 焦点:，准线：
活动三：合作学习、探究新知（18分钟）
例 1:（1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是（0，－2），求它的标准方程
分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用的代数式表示的，所以只要求出即可；
（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出，问题易解。
解析：（1），焦点坐标是（，0）准线方程是．
（2）焦点在轴负半轴上，＝2，所以所求抛物线的标准议程是．
练习：书本P67：1
例2 已知抛物线的标准方程是（1），（2），求它的焦点坐标和准线方程．
分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数的值．
解：（1），焦点坐标是（3，0）准线方程
（2）先化为标准方程，，焦点坐标是（0，），准线方程是.
练习：书本P67页练习2
问题8：思考:你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。
例3：点与点的距离比它到直线：的距离小1，求点的轨迹方程
解析：可知原条件点到和到距离相等，由抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．∴ ，∴所求方程是。
对定义的一种等价变形，看到定点和定直线就要想到抛物线的定义
练习：已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴是轴，焦点为，
（1）抛物线上的点到焦点的距离等于，求此抛物线的方程与的值；
（2）抛物线上的一点的横坐标为，且，求此抛物线的方程。
解析:（1）设抛物线的方程为，则 ∵，∴，
所以抛物线的方程为 ∴，；
（2）由已知条件知抛物线为，所以，不妨设，则
∵，，且 ∴，
又，解之有抛物线的标准方程为。
例4: (书本例2)一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p>0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76
所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）
练习：书本P67页练习3
例 5：求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F（－5，0）
（2）经过点A（2，－3）
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
解：（1）焦点在x轴负半轴上，＝5，
所以所求抛物线的标准议程是．
（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是或x2＝－y
例6：已知抛物线，是抛物线上一点。
（1）设是焦点，一个定点为，求的最小值，并指出此时点的坐标；
（2）设点（），求||的最小值，并指出此时点的坐标；
分析：（1）一般我们用原理：三角形两边之和不小于第三边，即，当且仅当点在线段上时求的最小值；但定点在抛物线含焦点部分，点在抛物线上，所以点不会再在线段上，所以需要利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点和到准线的距离相等作一个转化，从而实现上面的想法。
（2）已知抛物线，是抛物线上一点，所以其坐标满足抛物线的方程：，而（），求||的最小值不妨直接用两点间距离直接表示||，从而转化为函数的最值问题。
解析：（1）做垂直于准线，其中为垂足，则| |=| |，
所以||+||=||+||，可知，当垂直准线时三点，，共线，||+||=||+||取小值为，此时
（2）设，因为（），
所以，又，
所以
①当时，在上是增函数， 所以当时最小值为，此时；
②时，在上是减函数， 在上是增函数， 所以当时最小值为，此时。
小结：点在抛物线上首先点满足抛物线的定义（到焦点和到准线的距离相等）；其次是点的坐标满足抛物线的方程。
活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）
说说抛物线的定义？
说说抛物线的各种形式？
活动五：作业布置、提高巩固
1．书面作业：书本P73 A组1、2
（一）教学目标
1.知识与技能：
(1) 理解抛物线的定义明确焦点、焦距的概念。
(2) 熟练掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件画出抛物线的草图并确定抛物线的标准方程。
2.过程与方法：事例引入，动手操作理解抛物线的定义明确焦点、焦距的概念。通过学生动手推导、例题教学让学生熟练掌握抛物线的标准方程，会根据所给的条件画出抛物线的草图并确定抛物线的标准方程。
3.情感、态度与价值观：
(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点
重点：抛物线的定义和标准方程
难点：抛物线标准方程的推导
（三）教学过程
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）
回忆前面学习的内容，说一说椭圆与双曲线的相关知识？
问题1：椭圆的定义是什么？双曲线的定义是什么？
问题2：椭圆的标准方程是怎样的？双曲线的标准方程是怎样的？
问题3：同学们对抛物线已有了哪些认识？
在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象。
问题4：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？
在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.
问题5：把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F 用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线
点题：今天我们学习“抛物线及其标准方程”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）
问题6：实验操作书本P64页，几何画板上的画图，从实验中，点M随着H运动的过程中，与有什么关系？
1、抛物线定义：
把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，这个定点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
即=；焦点：；准线：直线
问题7：类似求椭圆或双曲线标准方程的方法来求抛物线的标准方程，你能利用上一节学过的坐标法求出抛物线的方程吗？
如图所示，建立直角坐标系，设（）,
那么焦点的坐标为，准线的方程为，
设抛物线上的点，则有
化简方程得
方程叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在轴的正半轴上，焦点坐标是，它的准线方程是
问题8：探究: 若抛物线的焦点分别为、、，抛物线的标准方程是什么?
2：抛物线的标准方程
(1), 焦点:，准线：
(2), 焦点:，准线：
(3), 焦点:，准线：
(4) , 焦点:，准线：
活动三：合作学习、探究新知（18分钟）
例 1:（1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是（0，－2），求它的标准方程
分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用的代数式表示的，所以只要求出即可；
（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出，问题易解。
解析：（1），焦点坐标是（，0）准线方程是．
（2）焦点在轴负半轴上，＝2，所以所求抛物线的标准议程是．
练习：书本P67：1
例2 已知抛物线的标准方程是（1），（2），求它的焦点坐标和准线方程．
分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数的值．
解：（1），焦点坐标是（3，0）准线方程
（2）先化为标准方程，，焦点坐标是（0，），准线方程是.
练习：书本P67页练习2
问题8：思考:你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。
例3：点与点的距离比它到直线：的距离小1，求点的轨迹方程
解析：可知原条件点到和到距离相等，由抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．∴ ，∴所求方程是。
对定义的一种等价变形，看到定点和定直线就要想到抛物线的定义
练习：已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴是轴，焦点为，
（1）抛物线上的点到焦点的距离等于，求此抛物线的方程与的值；
（2）抛物线上的一点的横坐标为，且，求此抛物线的方程。
解析:（1）设抛物线的方程为，则 ∵，∴，
所以抛物线的方程为 ∴，；
（2）由已知条件知抛物线为，所以，不妨设，则
∵，，且 ∴，
又，解之有抛物线的标准方程为。
例4: (书本例2)一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解；设抛物线的标准方程是y2=2px (p>0)。有已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76
所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是（2.88，0）
练习：书本P67页练习3
例 5：求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F（－5，0）
（2）经过点A（2，－3）
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
解：（1）焦点在x轴负半轴上，＝5，
所以所求抛物线的标准议程是．
（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是或x2＝－y
例6：已知抛物线，是抛物线上一点。
（1）设是焦点，一个定点为，求的最小值，并指出此时点的坐标；
（2）设点（），求||的最小值，并指出此时点的坐标；
分析：（1）一般我们用原理：三角形两边之和不小于第三边，即，当且仅当点在线段上时求的最小值；但定点在抛物线含焦点部分，点在抛物线上，所以点不会再在线段上，所以需要利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点和到准线的距离相等作一个转化，从而实现上面的想法。
（2）已知抛物线，是抛物线上一点，所以其坐标满足抛物线的方程：，而（），求||的最小值不妨直接用两点间距离直接表示||，从而转化为函数的最值问题。
解析：（1）做垂直于准线，其中为垂足，则| |=| |，
所以||+||=||+||，可知，当垂直准线时三点，，共线，||+||=||+||取小值为，此时
（2）设，因为（），
所以，又，
所以
①当时，在上是增函数， 所以当时最小值为，此时；
②时，在上是减函数， 在上是增函数， 所以当时最小值为，此时。
小结：点在抛物线上首先点满足抛物线的定义（到焦点和到准线的距离相等）；其次是点的坐标满足抛物线的方程。
活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）
说说抛物线的定义？
说说抛物线的各种形式？
活动五：作业布置、提高巩固
1．书面作业：书本P73 A组1、2