人教A版高中数学选修2-1 2.3.2双曲线的简单几何性质教案

1.1.1 命题
（一）教学目标
1.知识与技能：
（1）通过对双曲线图形的研究，让学生熟悉双曲线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对双曲线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
（2）熟练掌握双曲线的几何性质，会用双曲线的几何性质解决相应的问题。
（3）理解等轴双曲线的特点与性质
2.过程与方法：通过讲解双曲线的相关性质，理解并会用双曲线的相关性质解决问题。
3.情感、态度与价值观：
（1）学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
（2）培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点
重点：双曲线的几何性质，数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质
难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质
（三）教学过程
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）
问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？
双曲线的定义？
两种不同双曲线方程的对比？
问题2：类比椭圆几何性质，观察双曲线（a>0,>b>0）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？双曲线上哪些点比较特殊？
点题：今天我们学习“双曲线的简单几何性质”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）
1、双曲线的简单几何性质
①范围：，或；
由双曲线的标准方程得，，进一步得：，或．这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；
②对称性：关于以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：实顶点：为，；实轴为||=；实半轴长为
虚顶点为，；虚轴为||=；虚半轴长为
圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
④渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；
直线叫做双曲线的渐近线；
问题3：双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线与直线具有怎样的关系呢？
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（）．
问题4：当时，双曲线方程有什么变化？渐近线？离心率？
2、等轴双曲线：当时，双曲线为叫等轴双曲线，渐近线为，离心率
问题5：书本P58页思考？
例3： 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是．
练习：书本P61页练习1
扩展：求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率．
解法剖析：双曲线的渐近线方程为．①焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，无解；②焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，因此，所求双曲线的标准方程为，离心率．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为．
练习：书本P61页练习3
活动三：合作学习、探究新知（18分钟）
例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到）．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫，已知，，，．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设为“等距离”线上任意一点，则，即
（定值），∴“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为．理由略．
练习：书本P61页练习2
例5:如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则，到直线：的距离
，则容易得点的轨迹方程．
解:设是点M到直线的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M|}, 即
所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线
例6：如图，过双曲线 的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，求。
练习：书本P61页练习5
活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）
说说本节课学习了双曲线的那些题型？
活动五：作业布置、提高巩固
1．书面作业：书本P61B组1、3、4 书本P61 A组3、4、5