人教A版高中数学选修2-1 2.3.1双曲线及其标准方程教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选修2-1 2.3.1双曲线及其标准方程教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 68.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-13 20:17:33 | ||
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文档简介
2.3.1 双曲线及其标准方程
（一）教学目标
1.知识与技能：
(1) 理解双曲线的定义.明确焦点、焦距的概念。
(2) 熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。
2.过程与方法：事例引入，动手操作理解双曲线的定义明确焦点、焦距的概念。通过学生动手推导、例题教学让学生熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。
3.情感、态度与价值观：
(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点
重点：双曲线的定义和标准方程。
难点：双曲线标准方程的推导。
（三）教学过程
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）
回忆前面几节课学习，说一说椭圆的相关知识？
问题 1：椭圆的定义是什么？
问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？
问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？
点题：今天我们学习“双曲线及其标准方程”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）
问题4：探究新知:（1）演示一：做书本P52页拉拉链的过程。
(2)演示二：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(3)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？
②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？
③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？
（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹）
1、双曲线定义：
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
即；焦点：；焦距：
注意:双曲线定义中容易遗漏的两处地方：
（1）两个定点---两点间距离确定
（2）当动点设为时，双曲线即为点集
问题5：类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，你能利用上一节学过的坐标法求出双曲线的方程吗？
（1）建系：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。
（2） 设点：设M（x,y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则F1（－c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a<2c）.
（3）列式：由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}.
即:
（4）化简方程
由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：
移项两边平方得
两边再平方后整理得
由双曲线定义知
这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），
问题6：思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?
学生得到: 双曲线的标准方程:.
2：双曲线的标准方程
①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时为：(,)；
焦点在轴上时为：(,)
方程就不能肯定焦点在哪个轴上；由于的大小关系判断焦点在那个坐标轴上。
②有关系式成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
问题7：如何从分母的系数来判断双曲线的位置？
焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
活动三：合作学习、探究新知（18分钟）
例 1：已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为(,)
∵ ∴ ∴
所求双曲线标准方程为
变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？ 变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？ 变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？
变式2： 若将焦点改为其结果如何?
练习：书本P55页练习1
例2：已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．
解略：
扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚．已知各观察点到该中心的距离都是．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）．
解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、、分别是西、东、北观察点，则，，．
设为巨响发生点，∵、同时听到巨响，∴所在直线为……①，又因点比点晚听到巨响声，∴．由双曲线定义知，，，∴，∴点在双曲线方程为……②．联立①、②求出点坐标为．即巨响在正西北方向处．
练习：书本P42页练习2、3
补充练习：
1．判断下列方程是否表上双曲线，若是，求出的值
①；②；③；④
2 双曲线的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点的弦，则的长为
3、写出适合下列条件的双曲线的标准方程:(口答)
a=4,b=3,焦点在x轴；（2）a=2,c=5,焦点在y轴上.
活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）
说说双曲线的定义？
说说双曲线的各种形式？
活动五：作业布置、提高巩固
1．书面作业：书本P61 A组1、2
板书设计： 双曲线及其标准方程
1、双曲线的定义 例1： 例2
2、双曲线的各种形式
（一）教学目标
1.知识与技能：
(1) 理解双曲线的定义.明确焦点、焦距的概念。
(2) 熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。
2.过程与方法：事例引入，动手操作理解双曲线的定义明确焦点、焦距的概念。通过学生动手推导、例题教学让学生熟练掌握双曲线的标准方程，会根据所给的条件画出双曲线的草图并确定双曲线的标准方程。
3.情感、态度与价值观：
(1) 学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
（二）教学重点与难点
重点：双曲线的定义和标准方程。
难点：双曲线标准方程的推导。
（三）教学过程
活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）
回忆前面几节课学习，说一说椭圆的相关知识？
问题 1：椭圆的定义是什么？
问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？
问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？
点题：今天我们学习“双曲线及其标准方程”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）
问题4：探究新知:（1）演示一：做书本P52页拉拉链的过程。
(2)演示二：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(3)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？
②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？
③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？
（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹）
1、双曲线定义：
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
即；焦点：；焦距：
注意:双曲线定义中容易遗漏的两处地方：
（1）两个定点---两点间距离确定
（2）当动点设为时，双曲线即为点集
问题5：类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，你能利用上一节学过的坐标法求出双曲线的方程吗？
（1）建系：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。
（2） 设点：设M（x,y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则F1（－c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a<2c）.
（3）列式：由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}.
即:
（4）化简方程
由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：
移项两边平方得
两边再平方后整理得
由双曲线定义知
这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），
问题6：思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?
学生得到: 双曲线的标准方程:.
2：双曲线的标准方程
①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时为：(,)；
焦点在轴上时为：(,)
方程就不能肯定焦点在哪个轴上；由于的大小关系判断焦点在那个坐标轴上。
②有关系式成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
问题7：如何从分母的系数来判断双曲线的位置？
焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
活动三：合作学习、探究新知（18分钟）
例 1：已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程
解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为(,)
∵ ∴ ∴
所求双曲线标准方程为
变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？ 变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？ 变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？
变式2： 若将焦点改为其结果如何?
练习：书本P55页练习1
例2：已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．
解略：
扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚．已知各观察点到该中心的距离都是．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）．
解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、、分别是西、东、北观察点，则，，．
设为巨响发生点，∵、同时听到巨响，∴所在直线为……①，又因点比点晚听到巨响声，∴．由双曲线定义知，，，∴，∴点在双曲线方程为……②．联立①、②求出点坐标为．即巨响在正西北方向处．
练习：书本P42页练习2、3
补充练习：
1．判断下列方程是否表上双曲线，若是，求出的值
①；②；③；④
2 双曲线的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点的弦，则的长为
3、写出适合下列条件的双曲线的标准方程:(口答)
a=4,b=3,焦点在x轴；（2）a=2,c=5,焦点在y轴上.
活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）
说说双曲线的定义？
说说双曲线的各种形式？
活动五：作业布置、提高巩固
1．书面作业：书本P61 A组1、2
板书设计： 双曲线及其标准方程
1、双曲线的定义 例1： 例2
2、双曲线的各种形式