人教A版高中数学选修1-1 2.2.3圆锥曲线与方程教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选修1-1 2.2.3圆锥曲线与方程教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 110.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-13 20:22:55 | ||
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文档简介
2.1.8 圆锥曲线与方程
一、教学目标：
1.知识与技能：
（1）通过复习理解曲线与方程的关系，会利用曲线的图象去求出曲线的方程的联系.
（2）根据具体的例子理解椭圆的概念与性质、双曲线的概念与性质、抛物线的概念与性质
（3）从具体的例子中去理解直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 过程与方法
学生通过观察和类比，借助具体的例子理解各种曲线的特点与几何性质.
3. 情态与价值观
提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.
二、教学重点.难点
重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质；坐标法的应用.
难点：椭圆、双曲线的标准方程的推导过程；利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等.
三、学情分析
通过《圆锥曲线》的学习，学生初步掌握了椭圆，抛物线，双曲线的定义，几何图形，标准方程及简单性质，学生需要更深入的的理解圆锥曲线的定义及圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
四、教学方法
通过观察.类比.思考.交流和讨论等.
五、教学过程
新课引入
复习提问引入新课
1．抛物线的定义？
2．抛物线的两种标准方程是什么？
六、自主学习
一、课前预习
名 称
椭 圆
双 曲 线
图 象
定 义
平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即
当2﹥2时，轨迹是椭圆，
当2=2时，轨迹是一条线段
当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2=2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
常数的关 系
，，
最大，
，
最大，可以
渐近线
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
抛物线：
图形
方程
焦点
二、章节知识点回顾：
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：，（）
3．椭圆的性质：由椭圆方程()
(1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于轴对称．图象关于轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
(4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比
椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例
4．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关
5．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为： (,)
6.有关系式成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
7.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
8．双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
（2）顶点
顶点：，特殊点：
实轴：长为2a, a叫做半实轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
（3）渐近线
过双曲线的渐近线（）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
9．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
10．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成
11. 抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
12．抛物线的准线方程：
(1), 焦点:，准线：
(2), 焦点:，准线：
(3), 焦点:，准线：
(4),焦点:，准线：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即
不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号
13．抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
14.直线与抛物线：
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）
将代入，消去y，得到
关于x的二次方程 （ ）
若，相交；，相切；，相离
综上，得：联立，得关于x的方程
当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）
当，则
若，两个公共点（交点）
，一个公共点（切点）
，无公共点 （相离）
（2）相交弦长：
弦长公式：，
典型例题：
例1、巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．
例2、一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，
若，则
A. B.C. D.
例4、以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值
为．
例5、已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交
于不同的两点，证明的大小为定值.
五、当堂检测
1．曲线与曲线的（ ）．
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）．
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等（ ）．
A． B． C． D．
4．直线与双曲线没有公共点，则的取值范围．
5．到直线的距离最短的抛物线上的点的坐标是．
6．就的不同取值，指出方程所表示的曲线的形状．
7． 抛物线与过点的直线相交于，两点，为原点，若和的斜率之和为，求直线的方程．
【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的
程度，进行学习监控和补救.】
六、课堂小结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
七、课时练与测
八、教学反思
一、教学目标：
1.知识与技能：
（1）通过复习理解曲线与方程的关系，会利用曲线的图象去求出曲线的方程的联系.
（2）根据具体的例子理解椭圆的概念与性质、双曲线的概念与性质、抛物线的概念与性质
（3）从具体的例子中去理解直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 过程与方法
学生通过观察和类比，借助具体的例子理解各种曲线的特点与几何性质.
3. 情态与价值观
提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.
二、教学重点.难点
重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质；坐标法的应用.
难点：椭圆、双曲线的标准方程的推导过程；利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等.
三、学情分析
通过《圆锥曲线》的学习，学生初步掌握了椭圆，抛物线，双曲线的定义，几何图形，标准方程及简单性质，学生需要更深入的的理解圆锥曲线的定义及圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
四、教学方法
通过观察.类比.思考.交流和讨论等.
五、教学过程
新课引入
复习提问引入新课
1．抛物线的定义？
2．抛物线的两种标准方程是什么？
六、自主学习
一、课前预习
名 称
椭 圆
双 曲 线
图 象
定 义
平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即
当2﹥2时，轨迹是椭圆，
当2=2时，轨迹是一条线段
当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2=2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
常数的关 系
，，
最大，
，
最大，可以
渐近线
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
抛物线：
图形
方程
焦点
二、章节知识点回顾：
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：，（）
3．椭圆的性质：由椭圆方程()
(1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于轴对称．图象关于轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
(4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比
椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例
4．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关
5．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为： (,)
6.有关系式成立，且
其中a与b的大小关系:可以为
7.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
8．双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
（2）顶点
顶点：，特殊点：
实轴：长为2a, a叫做半实轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
（3）渐近线
过双曲线的渐近线（）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
9．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
10．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成
11. 抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
12．抛物线的准线方程：
(1), 焦点:，准线：
(2), 焦点:，准线：
(3), 焦点:，准线：
(4),焦点:，准线：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即
不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号
13．抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
14.直线与抛物线：
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）
将代入，消去y，得到
关于x的二次方程 （ ）
若，相交；，相切；，相离
综上，得：联立，得关于x的方程
当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）
当，则
若，两个公共点（交点）
，一个公共点（切点）
，无公共点 （相离）
（2）相交弦长：
弦长公式：，
典型例题：
例1、巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．
例2、一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，
若，则
A. B.C. D.
例4、以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值
为．
例5、已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交
于不同的两点，证明的大小为定值.
五、当堂检测
1．曲线与曲线的（ ）．
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）．
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上
3．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等（ ）．
A． B． C． D．
4．直线与双曲线没有公共点，则的取值范围．
5．到直线的距离最短的抛物线上的点的坐标是．
6．就的不同取值，指出方程所表示的曲线的形状．
7． 抛物线与过点的直线相交于，两点，为原点，若和的斜率之和为，求直线的方程．
【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的
程度，进行学习监控和补救.】
六、课堂小结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
七、课时练与测
八、教学反思