人教A版高中数学选修1-1专题2.2.1双曲线及其标准方程教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选修1-1专题2.2.1双曲线及其标准方程教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 21.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-13 20:11:42 | ||
图片预览
文档简介
2.1.4 双曲线及其标准方程
一、教学目标：
1.知识与技能目标：
（1）理解双曲线的定义
（2）能根据已知条件求双曲线的标准方程
（3）进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法
2．过程与方法目标：
（1）提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
（2）培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题。
（3）培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。
3.情感态度价值观目标：
（1）亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。
（2）通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。
（3）养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
二、教学重点.难点
重点：了解双曲线的定义
难点：双曲线标准方程推导过程中的化简
三、学情分析
学生已熟悉和掌握椭圆的有关内容，有亲历体验发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作、归纳猜想和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。在教师的指导下能够主动与同学探究、发现归纳数学知识。使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．
四、教学过程
新课引入
用Flash动画演示，平面从竖直方向由上往下截圆锥体，得到两只双曲线，这种曲线就是本课要研究的对象——双曲线。
五、自主学习
一、复习准备：
1.______________________________________叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
2.焦点在x轴上的椭圆的标准方程是 .
3.焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 .
4.在椭圆的标准方程中分母的大小反映了焦点所在的坐标轴,并且a2、b2、c2之间的关系是 .?
二、讲授新课：
1. 问题提出 若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之差”,这时轨迹又是什么? 演示几个问题： (1)轨迹叫什么曲线？(2)其中|MF1|与|MF2|哪个大？ (3)点M与F1，F2的距离之差是|MF1|-|MF2|还是|MF2|-|MF1|？ (4)如何统一两距离之差？ 双曲线及标准方程 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值是常数2a (小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线。两定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 2.正确理解双曲线定义
（1）定义中“小于|F1F2|”这一限制条件十分重要，其根据是“三角形两边之差小于第三边”.若2a=2c时，此时动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；若2a>2c时，动点轨迹不存在.
（2）距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支.若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF2|-|PF1|=2a，则点P在左支上.若点P′满足|P′F1|-|P′F2|=2a，则点P′在右支上，双曲线上的点满足集合P={M|MF1|-|MF2|=2a}.
（3）若2a=2c,且|PF1|-|PF2|=2a(F1、F2为双曲线左、右焦点)，则点P在右边的射线上，若|PF2|-|PF1|=2a,则点P在左边的射线上.
3.双曲线的标准方程
双曲线的标准方程有两种不同类型：,(a>0,b>0),分别表示焦点在x轴和焦点在y轴上的双曲线.
（1）标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2=c2-a2，与椭圆中b2=a2-c2(a>b>0)相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a、b大小则不确定.
（2）焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
（3）当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式.
4.求双曲线的标准方程
如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程是标准的，否则是不标准的.求双曲线的标准方程是本节的重点，一般根据题意判定出焦点的位置（即在x轴还是y轴上），从而设出标准方程的形式，利用待定系数法确定a、b的值.
如果双曲线的焦点位置不确定，可设标准方程为mx2+ny2=1(m·n<0)，能简化计算，避免讨论.
典型例题：
例1：
1、①双曲线，a=___________,b=____________,焦点坐标是________；焦距是_____________。
②双曲线，a=___________,b=____________,焦点坐标是________；焦距是_____________。
③双曲线4x2-9y2+36=0, a=___________,b=____________,焦点坐标是________；焦距是_____________。
归纳：①化为标准方程②a,b,c的关系：c2=a2+b2③判断焦点的位置：看x2,y2前的系数的正负，哪一项为正，则在相应的轴上。（口诀：焦点看正负！）
例2：
2、已知双曲线焦点的坐标为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
注：要向学生指明，如果某种轨迹符合合某种曲线的定义，直接设出方程求待定系数即可。
例3：
3、已知双曲线焦点在y轴上a＝2，经过点A(2，－5)，求双曲线的标准方程。
归纳：你能归纳出用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤吗？（师生共析）
①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
②设方程：根据上述判断设方程为或(a＞0，b＞0)．
③寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c的方程组．
④得方程：解方程组，将a，b代入所设方程即为所求．
例4：
相距2km的两个哨所A，B都听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速为330m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B处迟4s。试求爆炸点的轨迹方程。
归纳：通过此题的解决加强学生的应用能力及应用意识，让学生感悟到数学源于生活，又服务于生活的辨证唯物主义观点。注意强调应用问题格式步骤的书写
五、当堂检测
1．求满足下列的双曲线的标准方程： 焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；：
2.已知点F1（，0）、F2（，0），动点P满足|PF2|-|PF1|=2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是（）
A. B. C. D.2
3.已知双曲线的两个焦点F1,F2之间的距离为26,双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24,求双曲线的方程.
【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的
程度，进行学习监控和补救.】
六、课堂小结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
七、课时练与测
八、教学反思
一、教学目标：
1.知识与技能目标：
（1）理解双曲线的定义
（2）能根据已知条件求双曲线的标准方程
（3）进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法
2．过程与方法目标：
（1）提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
（2）培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题。
（3）培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。
3.情感态度价值观目标：
（1）亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。
（2）通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。
（3）养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
二、教学重点.难点
重点：了解双曲线的定义
难点：双曲线标准方程推导过程中的化简
三、学情分析
学生已熟悉和掌握椭圆的有关内容，有亲历体验发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作、归纳猜想和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。在教师的指导下能够主动与同学探究、发现归纳数学知识。使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．
四、教学过程
新课引入
用Flash动画演示，平面从竖直方向由上往下截圆锥体，得到两只双曲线，这种曲线就是本课要研究的对象——双曲线。
五、自主学习
一、复习准备：
1.______________________________________叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
2.焦点在x轴上的椭圆的标准方程是 .
3.焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 .
4.在椭圆的标准方程中分母的大小反映了焦点所在的坐标轴,并且a2、b2、c2之间的关系是 .?
二、讲授新课：
1. 问题提出 若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之差”,这时轨迹又是什么? 演示几个问题： (1)轨迹叫什么曲线？(2)其中|MF1|与|MF2|哪个大？ (3)点M与F1，F2的距离之差是|MF1|-|MF2|还是|MF2|-|MF1|？ (4)如何统一两距离之差？ 双曲线及标准方程 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值是常数2a (小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线。两定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 2.正确理解双曲线定义
（1）定义中“小于|F1F2|”这一限制条件十分重要，其根据是“三角形两边之差小于第三边”.若2a=2c时，此时动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；若2a>2c时，动点轨迹不存在.
（2）距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支.若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF2|-|PF1|=2a，则点P在左支上.若点P′满足|P′F1|-|P′F2|=2a，则点P′在右支上，双曲线上的点满足集合P={M|MF1|-|MF2|=2a}.
（3）若2a=2c,且|PF1|-|PF2|=2a(F1、F2为双曲线左、右焦点)，则点P在右边的射线上，若|PF2|-|PF1|=2a,则点P在左边的射线上.
3.双曲线的标准方程
双曲线的标准方程有两种不同类型：,(a>0,b>0),分别表示焦点在x轴和焦点在y轴上的双曲线.
（1）标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2=c2-a2，与椭圆中b2=a2-c2(a>b>0)相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a、b大小则不确定.
（2）焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
（3）当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式.
4.求双曲线的标准方程
如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程是标准的，否则是不标准的.求双曲线的标准方程是本节的重点，一般根据题意判定出焦点的位置（即在x轴还是y轴上），从而设出标准方程的形式，利用待定系数法确定a、b的值.
如果双曲线的焦点位置不确定，可设标准方程为mx2+ny2=1(m·n<0)，能简化计算，避免讨论.
典型例题：
例1：
1、①双曲线，a=___________,b=____________,焦点坐标是________；焦距是_____________。
②双曲线，a=___________,b=____________,焦点坐标是________；焦距是_____________。
③双曲线4x2-9y2+36=0, a=___________,b=____________,焦点坐标是________；焦距是_____________。
归纳：①化为标准方程②a,b,c的关系：c2=a2+b2③判断焦点的位置：看x2,y2前的系数的正负，哪一项为正，则在相应的轴上。（口诀：焦点看正负！）
例2：
2、已知双曲线焦点的坐标为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
注：要向学生指明，如果某种轨迹符合合某种曲线的定义，直接设出方程求待定系数即可。
例3：
3、已知双曲线焦点在y轴上a＝2，经过点A(2，－5)，求双曲线的标准方程。
归纳：你能归纳出用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤吗？（师生共析）
①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
②设方程：根据上述判断设方程为或(a＞0，b＞0)．
③寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c的方程组．
④得方程：解方程组，将a，b代入所设方程即为所求．
例4：
相距2km的两个哨所A，B都听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速为330m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B处迟4s。试求爆炸点的轨迹方程。
归纳：通过此题的解决加强学生的应用能力及应用意识，让学生感悟到数学源于生活，又服务于生活的辨证唯物主义观点。注意强调应用问题格式步骤的书写
五、当堂检测
1．求满足下列的双曲线的标准方程： 焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；：
2.已知点F1（，0）、F2（，0），动点P满足|PF2|-|PF1|=2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是（）
A. B. C. D.2
3.已知双曲线的两个焦点F1,F2之间的距离为26,双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24,求双曲线的方程.
【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的
程度，进行学习监控和补救.】
六、课堂小结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
七、课时练与测
八、教学反思