单元素养评价(一)
(第四章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2019·荆州高一检测)若幂函数f(x)=xa的图像过点(4,2),则f(a2)=( )
A.a B.-a C.±a D.|a|
【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,解得a=,
所以f(x)=,所以f(a2)=(a2=|a|.
2.设a∈,则使函数y=xa的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是 ( )
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.
3.函数y=的值域是 ( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(0,1] D.[1,+∞)
【解析】选D.由于≥0,
所以函数y=≥30=1,
故函数的值域为[1,+∞).
4.已知函数f(x)=2lox的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是 ( )
A. B.[-1,1]
C. D.∪
【解析】选A.因为已知函数f(x)=2x的值域为[-1,1],所以-1≤2x≤1,
即≤2x≤,
化简可得≤x2≤2再由x>0 可得≤x≤,
故函数f(x)的定义域为.
5.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是 ( )
A.a>1,c>1 B.a>1,0
C.01 D.0【解析】选D.因为函数单调递减,所以0当x=1时loga(x+c)=loga(1+c)<0,
即1+c>1,即c>0,
当x=0时loga(x+c)=logac>0,
即c<1,即06.设f(log2x)=2x(x>0),则f(3)的值是 ( )
A.128 B.256 C.512 D.8
【解析】选B.设log2x=t,则x=2t,
所以f(t)=,
即f(x)=,则f(3)==28=256.
7.(2019·成都高一检测)已知函数f(x)=则f(f(-2))的值为 ( )
A.81 B.27 C.9 D.
【解析】选A.由f(x)=
得f(-2)==9,
所以f(f(-2))=f(9)=92=81.
8.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=eln x的定义域和值域相同的是 ( )
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.y=
【解析】选D.函数y=eln x的定义域和值域均为(0,+∞),函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;函数y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.
9.(2019·揭阳高一检测)已知a=0.20.3,b=0.30.2,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c>b>a B.c>a>b
C.b>a>c D.a>b>c
【解析】选A.因为0.20.3<0.30.3,0.30.3<0.30.2,所以0.20.3<0.30.2,
由=0.30.1,所以0.30.1>0.30.2,
所以c>b>a.
10.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 ( )
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,
则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,lg=10.1,=1010.1.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.对于0A.loga(1+a)B.loga(1+a)>loga
C.a1+a<
D.a1+a>
【解析】选B、D.因为0从而1+a<1+.
所以loga(1+a)>loga.
又因为0.
12.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是 ( )
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0
D.f<
【解析】选A、C、D.·=,所以A成立,×≠,所以B不成立,函数f(x)=2x,在R上是单调递增函数,若x1>x2则f(x1)>f(x2),则>0,若x10,故C正确;
f<说明函数是凹函数,
而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.
13.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有 ( )
A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增
B.函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称
C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2=4
D.函数f(x)有且仅有两个零点
【解析】选A、B、D.函数f(x)=|ln|2-x||的图像如图所示:
由图可得:函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,A正确;函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,B正确;若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则当x1,x2>2时,x1+x2>4,C错误;函数f(x)有且仅有两个零点,D正确.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
14.(2019·上海高一检测)设函数f(x)=(其中a为常数)的反函数为f-1(x),若函数f-1(x)的图像经过点(0,1),则方程f-1(x)=2的解为________.?
【解析】由y=f(x)=,
得x-a=y2(y≥0),
所以函数f(x)的反函数f-1(x)=x2+a(x≥0).
把点(0,1)代入,可得a=1.
所以f-1(x)=x2+1(x≥0).
由f-1(x)=2,得x2+1=2,即x=1.
答案:1
15.设f(x)=则f(f(2))=________. ?
【解析】因为f(2)=log3(22-1)=1,
所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
答案:2
16.已知函数f(x)=为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则a=________, f=________.?
【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,
所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,
因为函数f(x)=为奇函数,
所以f(-x)===-,
即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,
所以f=,
所以f===2-3.
答案:1 2-3
17.设函数f(x)=-,[x]表示不超过x的最大整数,则f(x)的值域是________,函数y=(f(x))的值域是________. ?
【解析】f(x)=-=-,
因为2x>0,所以1+2x>1,0<<1,
所以-因为[x]表示不超过x的最大整数,
所以y=(f(x))的值域为{-1,0}.
答案: {-1,0}
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(12分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值.
(2)计算:+810.75-×+log57·log725.
【解析】(1)因为log2(16-2x)=x,
所以2x=16-2x,化简得2x=8,
所以x=3.
(2)原式=1+(34-3×(23+·
=1+27-12+2=18.
19.(14分)已知函数f(x)=2x-1+a(a为常数,且a∈R)恒过点(1,2).
(1)求a的值.
(2)若f(x)≥2x,求x的取值范围.
【解析】(1)f(1)=20+a=1+a=2,解得a=1.
(2)由f(x)=2x-1+1=+1≥2x,得≤1,即2x-1≤1=20,即x-1≤0,解得x≤1,因此,实数x的取值范围是(-∞,1].
20.(14分)求函数y=(2x)2-2×2x+5,x∈[-1,2]的最大值和最小值.
【解析】设2x=t,因为x∈[-1,2],
所以2x=t∈
则y=t2-2t+5为二次函数,图像开口向上,对称轴为t=1,
当t=1时,y取最小值4,当t=4时,y取最大值13.
21.(14分)已知幂函数y=f(x)的图像过点(8,m)和(9,3).
(1)求m的值.
(2)若函数g(x)=logaf(x)(a>0,a≠1)在区间[16,36]上的最大值比最小值大1,求实数a的值.
【解析】(1)由题意,y=f(x)是幂函数,
设f(x)=xα,图像过点(8,m)和(9,3)
可得9α=3,所以α=,故f(x)=,
所以m=f(8)=2,故m的值为2.
(2)函数g(x)=logaf(x),即为g(x)=loga,
因为x在区间[16,36]上,所以∈[4,6],
①当0由loga4-loga6=loga=1,解得a=.
②当a>1时,g(x)min=loga4,g(x)max=loga6,
由loga6-loga4=loga=1,
解得a=,综上可得,实数a的值为或.
22.(14分)(2019·宝山高一检测)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-rx,e是自然对数的底数.
如果项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.
(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)
(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)
【解析】(1)由题意可得5=A·e-0.06n,
所以A=5·e0.06n;
当n=10时,A=5·e0.6≈9.1万元.
(2)n年后的本利和为A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06
=2·,
令2·>100,
可得n>22.7.
所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.
23.(14分)(2019·东莞高一检测)已知函数f(x)=log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围.
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,求得a=0.
又此时f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.
(2)函数f(x)的定义域是一切实数,则+a>0恒成立.
即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0).故只要a≥0即可.
(3)由已知函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),
最小值是f(1)=log2.
由题设log2(1+a)-log2≥2?.
故-考点突破·素养提升
素养一 数学运算
角度1 指数式的运算
【典例1】计算下列各式:
(1)(0.064-+[(-2)3+16-0.75+(0.01.
(2)(a4b-4×a0-÷(ab4)+(a>0,b>0).
【解析】(1)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+++=.
(2)原式=a1b-1·1-(a2b3)÷(ab4)+|-a|=ab-1-ab-1+a=a.
【类题·通】
指数的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.另外,若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的.
【加练·固】
计算+0.00-10+
【解析】原式=(-1+-+1=+50-10+1
=+10-10-20+1=-.
角度2 对数式的运算
【典例2】(1)计算10-log98·log4=________.?
(2)设3x=4y=36,求+的值.
【解析】(1)10-log98·log4
=10lg 9÷10lg 4-·=-·
=-=2.
答案:2
(2)因为3x=36,4y=36,所以x=log336,y=log436,
由换底公式得x==,
y==,所以=log363,=log364,
所以+=2log363+log364=log36(32×4)=log3636=1.
【类题·通】
底数相同的对数式化简的两种基本方法
(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).
【加练·固】
计算:log89·log2732-()lg 1+log535-log57=________.?
【解析】log89·log2732-()lg 1+log535-log57=×-1+log5
=×-1+1=.
答案:
素养二 直观想象
角度 基本初等函数的图像问题
【典例3】已知a>0且a≠1,函数y=,y=logax,y=x+a在同一坐标系中的图像可能是 ( )
【解析】选B.当a>1时,那么0<<1,y=是减函数,y=logax是增函数.y=x+a与y轴的交点大于1,此时没有图像满足;当1>a>0时,>1,y=是递增函数,y=logax是递减函数.y=x+a与y轴的交点在0与1之间,此时图像B满足.
【类题·通】
函数图像的画法
画法
应用范围
画法技巧
基本
函数法
基本初等函数
利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的有关知识,画出特殊点(线),直接根据函数的图像特征作出图像
变换法
与基本初等函数有关联的函数
弄清所给函数与基本函数的关系,恰当选择平移、对称等变换方法,由基本函数图像变换得到函数图像
描点法
未知函数或较复杂的函数
列表、描点、连线
【加练·固】
(2019·邵阳高一检测)在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=
loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像大致为 ( )
【解析】选A.因为a>0且a≠1,所以f(x)为减函数,排除C;若a>1,则g(x)在(-2,+∞)上单调递增,此时f(x)的斜率为-a<-1,排除B;若0素养三 逻辑推理
角度1 比较大小
【典例4】(2019·广州高一检测)设a=0.70.4,b=0.40.7,c=0.40.4,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.bC.b【解析】选C.因为函数y=0.4x在R上单调递减,所以0.40.7<0.40.4,即b所以0.40.4<0.70.4,即c【延伸探究】
将本例中的三个数改为a=log37,b=21.1,c=0.83.1,试比较三个数的大小.
【解析】因为2>a=log37>1,b=21.1>2,c=0.83.1<1,所以c【类题·通】
比较函数值的大小的一般步骤
(1)根据函数值的特征选择适当的函数.
(2)根据所选函数的单调性,确定两个函数值的大小.
(3)当两个函数值不能直接比较时,常选择两个对应函数,再进行比较.
(4)必要时,可先将函数值与特殊值0和1进行比较,最后确定它们的大小关系.
【加练·固】
若a>b>0,0A.logacC.accb
【解析】选B.方法一:因为0方法二:取a=4,b=2,c=,
则log4=->log2,排除A;=2>,
排除C;<,排除D.
角度2 基本初等函数的奇偶性、单调性
【典例5】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,若a=f(log25),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.b【解析】选B.根据题意,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,则函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,则20.8<21=2【类题·通】
关于初等函数的性质的应用
此类题目往往以指数函数、对数函数、幂函数为载体,涉及函数的奇偶性、单调性、图像等性质的综合应用,一般是先由函数的性质转化,再利用指、对、幂函数的性质解题.
【加练·固】
已知函数f(x)=是奇函数,若f(2m-1)+f(m-2)≥0,则m的取值范围
为 ( )
A.m>1 B.m≥1 C.m<1 D.m≤1
【解析】选B.因为函数f(x)=的定义域为R,且是奇函数,所以f(0)==0,即a=-1.
所以f(x)==2x-,
因为y=2x在(-∞,+∞)上为增函数,
所以函数f(x)=2x-在(-∞,+∞)上为增函数,
由f(2m-1)+f(m-2)≥0,
得f(2m-1)≥f(-m+2),
所以2m-1≥-m+2,
可得m≥1,所以m的取值范围为m≥1.
素养四 数学建模
角度 函数模型的应用
【典例6】某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的0.5%,且最低1元/笔,最高50元/笔,王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务.
(1)若王杰转账的金额为x元,手续费为y元,请将y表示为x的函数.
(2)若王杰转账的金额为10t-3 996元,他支付的手续费大于5元且小于50元,求t的取值范围.
【解析】(1)由题意得y=
(2)从(1)中的分段函数得,如果王杰支付的手续费大于5元且小于50元,
则转账金额大于1 000元,且小于10 000元,
则只需要考虑当1 000由1 000<10t-3 996<10 000得3得3 999【类题·通】
建模的三个原则
(1)简化原则:建立模型,要对原型进行一定的简化,抓主要因素、主变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则:建立的模型一定要有意义,既能对其进行理论分析,又能计算和推理,且能推演出正确结果.
(3)反映性原则:建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系,即应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明现实问题的功能,能回到具体研究对象中去解决问题.
【加练·固】
通过实验数据可知,某液体的蒸发速度y(单位:升/小时)与液体所处环境的温度x(单位:℃)近似地满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该液体在0 ℃的蒸发速度是0.1升/小时,在30 ℃的蒸发速度为0.8升/小时,则该液体在20 ℃的蒸发速度为________升/小时.?
【解析】根据题意得,x=0时,y=0.1,
x=30时,y=0.8,
代入函数y=ekx+b中,可得eb=0.1,e30k+b=0.8,
所以e30k=8,所以e10k=2,
当x=20时,y=e20k+b=e20k·eb=(e10k)2·eb=22×0.1=0.4,
即液体在20 ℃的蒸发速度是0.4升/小时.
答案:0.4
