单元素养评价(三)
(第六章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于 ( )
A.- B.
C.-或 D.0
【解析】选C.由a∥b知1×2=m2,解得m=或m=-.
2.若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有 ( )
A.a=3,b=-5 B.a-b+1=0
C.2a-b=3 D.a-2b=0
【解析】选C.=(1,a-3),=(2,b-3),∥?b-3=2a-6,2a-b=3.
3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于 ( )
A.(-2,7) B.(-6,21)
C.(2,-7) D.(6,-21)
【解析】选B.=2=2(-)=2(-3,2)=(-6,4),
=3=3(+)=3(-2,7)=(-6,21).
4.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
【解析】选A.++=++++-=++--- =(-)+=+=-.
5.对于非零向量a,b,“a+2b=0”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.若a+2b=0,则a=-2b,所以a∥b.
若a∥b,则a+2b=0不一定成立,
故“a+2b=0”是“a∥b”的充分不必要条件.
6.如图在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则 ( )
A.=(a+b+c+d)
B.=(a-b+c-d)
C.=(c+d-a-b)
D.=(a+b-c-d)
【解析】选C.连接OE,OF.因为=-=(+)-(+)=(c+d)- (a+b),所以=(c+d-a-b).
7.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为
( )
A.(3,1) B.(1,-1)
C.(3,1)或(1,-1) D.无数多个
【解析】选C.设P(x,y),由||=2||得=2,或=-2,=(2,2), =(x-2,y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1),或(2,2)=-2(x-2,y), x=1,y=-1,P(1,-1).
8.若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则 ( )
A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|
C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|
【解析】选C.因为|a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|,由于a,b是非零向量,则必有a+b≠b,故上式中等号不成立.所以|2b|>|a+2b|.
9.设O,A,M,B为平面上四点,=λ+(1-λ),且λ∈(1,2),则 ( )
A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上 D.O,A,B,M四点共线
【解析】选B.由题意可知-=λ(-),即=λ,所以A,M,B三点共线.又λ∈(1,2),所以||>||,点B在线段AM上.
10.已知点P是△ABC所在平面内一点,边AB的中点为D,若2=(1-λ)+,其中λ∈R,则点P一定在 ( )
A.AB边所在直线上
B.BC边所在直线上
C.AC边所在直线上
D.△ABC内部
【解析】选C.因为边AB的中点为D,所以+=2,
又2=(1-λ)+.
所以+=(1-λ)+-,
所以=-λ,
所以A,C,P三点共线,
因此点P在直线AC上.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.下列命题不正确的是 ( )
A.单位向量都相等
B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量
C.|a+b|=|a-b|,则a⊥b
D.若a与b是单位向量,则|a|=|b|
【解析】选A,B.单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当b=0时,a与c可以为任意向量;|a+b|=|a-b|,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直.
12.下列命题中正确的是 ( )
A.-= B.+=0
C.0·=0 D.++=
【解析】选A,D.起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,-= ;,是一对相反向量,它们的和应该为零向量,+=0;0·=0; ++=.
13.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是
( )
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0
【解析】选B,C.由平面向量基本定理可知,A,D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C,当两个向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,或当λ1e1+μ1e2为非零向量,而λ2e1+μ2e2为零向量(λ2=μ2=0),此时λ不存在.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
14.若=(2,8),=(-7,2),则=________.?
【解析】=-=(-9,-6),所以=(-3,-2).
答案:(-3,-2)
15.已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标是________.?
【解析】因为F=(8,0),所以终点坐标为(8,0)+(1,1)=(9,1).
答案:(9,1)
16.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________.?
【解析】若点A,B,C能构成三角形,则向量,不共线.因为=-= (2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.
答案:k≠1
17.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________. ?
【解析】a+b=(m+1,3),
由|a+b|2=|a|2+|b|2,
得(m+1)2+32=m2+12+12+22,
解得m=-2.
答案:-2
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(12分)在平行四边形ABCD中,=a,=b.
(1)如图①,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示,.
(2)如图②,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.
【解析】(1)=+=+=-=-a+b.=+=-=a-b.
(2)=-=b-a.
因为O是BD的中点,G是DO的中点,
所以==(b-a),
所以=+=a+(b-a)=a+b.
19.(14分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).
(1)当m=8时,将用和表示.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
【解析】(1)m=8时,=(8,3),设=λ1+λ2,
所以(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1),
所以解得
所以=-3+.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有与不共线,又=-=(3,0)-(2,-1)=(1,1),
=-=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),
则有1×4-(m-2)×1≠0,所以m≠6.
20.(14分)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值.
(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标.
(3)已知点D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.
【解析】(1)=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.
因为A,E,C三点共线,
所以存在实数k,使得=k,
即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),
得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,
所以解得k=-,λ=-.
(2)=+=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以=.
设A(x,y),则=(3-x,5-y),
因为=(-7,-2),
所以解得
即点A的坐标为(10,7).
21.(14分)用向量法证明:三角形的三条中线交于一点.
【证明】如图,D,E,F分别是△ABC三边上的中点,
设=a,=b,AD∩BE=G.
设=λ,=μ.
则=+=(b-a)+μ=(b-a)+μ=b-a+=(μ-2)a+(1-μ)b,又=λ=λ(+)==-λa+λb,
所以解得
则=+=a+
=a+=a+b,
=a+b,所以=,所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点.
22.(14分)在风速为75(-)km/h的西风中,飞机以150 km/h的航行速度向西北方向飞行,求没有风时飞机的航行速度和方向.
【解析】如图所示,设v=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度,则vb=va-v.所以vb,va,v构成了一个三角形,
||=|va|,||=|v|,||=|vb|.
作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°,设||=150,||=75(-),
则||=||=||=75,
所以||=75.
从而||=150,∠CAD=30°,
所以|vb|=150,
所以无风时飞机的航行速度为150 km/h,方向为北偏西60°.
23.(14分)设直线l:mx+y+2=0与线段AB有公共点P,其中A(-2,3),B(3,2),试用向量的方法求实数m的取值范围.
【解析】(1)P与A重合时,m×(-2)+3+2=0,所以m=.P与B重合时,3m+2+2=0,所以m=-.
(2)P与A,B不重合时,设=λ,则λ>0.
设P(x,y),则=(x+2,y-3),
=(3-x,2-y).
所以所以
把x,y代入mx+y+2=0可解得λ=,
又因为λ>0,所以>0.
所以m<-或m>.
由(1)(2)知,所求实数m的取值范围是
∪.
考点突破·素养提升
素养一 数学运算
角度 平面向量的坐标运算
【典例1】已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标.
(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求y与λ的值.
【解析】(1)设点B的坐标为(x1,y1).
因为=(4,3),A(-1,-2),
所以(x1+1,y1+2)=(4,3).
所以所以所以B(3,1).
同理可得D(-4,-3).
设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),
则x2==-,y2==-1,
所以M.
(2)由已知得=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
又=λ,所以(1,1-y)=λ(-7,-4),
则所以
【类题·通】
向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,是将几何问题代数化的有力工具,它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模,判断共线、平行等问题.
素养二 直观想象
角度 用已知向量表示未知向量
【典例2】在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.
【解析】选择,作为平面向量的一组基底,
则=+,=+,=+,
又=λ+μ=+,
于是得解得
所以λ+μ=.
【类题·通】
利用已知向量表示未知向量,实质就是利用三角形法则进行向量的加、减、数乘运算;平面向量基本定理的引入为其提供了有力的理论依据,利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底,常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题.
素养三 逻辑推理
角度 平面向量在几何中的应用
【典例3】如图,点L,M,N分别为△ABC的边BC,CA,AB上的点,且=l,=m,=n,若++=0.求证:l=m=n.
【证明】令=a,=b,=c,
则由=l得,=l b;
由=m得,=m c;
由=n得,=n a.
因为++=0,
所以(+)+(+)+(+)=0.
即(a+l b)+(b+m c)+(c+n a)=0,
所以(1+n)a+(1+ l)b+(1+m)c=0.
又因为a+b+c=0,所以a=-b-c,
所以(1+n)(-b-c)+(1+l)b+(1+m)c=0,
即(l-n)b+(m-n)c=0.
因为b与c不共线,
所以l-n=0且m-n=0,
所以l=n且m=n,即l=m=n.
【类题·通】
1.向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则,数乘运算和线段平行之间联系密切,因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.
2.利用平面向量解决几何问题的关键是恰当地引入向量,通过向量运算,解释几何性质.
【加练·固】
如图所示,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,四边形PECF是矩形,求证:PA=EF.
【证明】以B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,||=λ,
则A(0,1),P,E,F,
=,=.
因为||2=+=λ2-λ+1,
||2=+=λ2-λ+1,
所以||2=||2,故PA=EF.
