课堂检测·素养达标
1.已知对数函数的图像过点M(9,2),则此对数函数的解析式为 ( )
A.y=log2x B.y=log3x
C.y=lox D.y=lox
【解析】选B.设函数f(x)=logax(x>0,a>0且a≠1),因为对数函数的图像过点M(9,2),
所以2=loga9,所以a2=9,a>0,解得a=3.
所以此对数函数的解析式为y=log3x.
2.(2019·滨海高一检测)函数f(x)=ln(1-x)的定义域是 ( )
A.(0,1) B.[0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
【解析】选D.要使f(x)有意义,则1-x>0,
所以x<1,所以f(x)的定义域为(-∞,1).
3.如果函数y=log2x的图像经过点A(4,y0),那么y0=________.?
【解析】因为函数y=log2x的图像经过点A(4,y0),
所以y0=log24,所以=4=22,所以y0=2.
答案:2
4.若log0.1>log0.1,则a的取值范围是________.?
【解析】因为y=log0.1x是减函数且定义域为,所以0<1-a<2a-1,
即解得
答案:【新情境·新思维】
设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是________. ?
【解析】根据题意画出f(x)的草图,由图像可知,f(x)>0的x的取值范围是-11.
答案:(-1,0)∪(1,+∞)
课时素养评价 六
对数函数的性质与图像
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分.多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列函数表达式中,是对数函数的有 ( )
A.y=logπx B.y=ln x
C.y=2log4x D.y=log2(x+1)
【解析】选A、B.按对数函数的定义式判断.
2.(2019·锦州高一检测)函数f(x)=log3(x2-x-2)的定义域为 ( )
A.{x|x>2或x<-1} B.{x|-1C.{x|-21或x<-2}
【解析】选A.由题意得:x2-x-2>0,解得:x>2或x<-1,
所以函数的定义域是{x|x>2或x<-1}.
3.设a=logπ3,b=log3,c=20.4,则 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
【解析】选D.由对数函数的性质可得,020=1,所以c>a>b.
4.若loga<1,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.∪(1,+∞)
【解析】选D.由loga<1得:loga当a>1时,有a>,即a>1;
当0综上可知,a的取值范围是∪(1,+∞).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知函数f(x)=loga (x+2),若图像过点(6,3),则f(x)=________,f(30)= ________.?
【解析】代入 (6,3),得3=loga(6+2)=loga8,
即a3=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),
所以f(30)=log232=5.
答案:log2(x+2) 5
6.函数y=的定义域是________.?
【解析】由
得所以x≥4.
答案:[4,+∞)
三、解答题(共26分)
7.(12分)比较下列各组数的大小;
(1)log0.90.8,log0.90.7,log0.80.9.
(2)log32,log23,log4.
【解析】(1)因为y=log0.9x在(0,+∞)上是减函数,
且0.9>0.8>0.7,所以1又因为log0.80.9所以log0.80.9(2)由log31又因为log23>log22=1,log4所以log48.(14分)已知函数f=loga,g=loga,.
(1)设a=2,函数g(x)的定义域为[-15,-1], 求g(x)的最大值.
(2)当00的x的取值范围.
【解析】(1)当a=2时,g=log2,在上为减函数,
因此当x=-15时g的最大值为4 .
(2)f-g>0,即f>g,所以
当0loga,
满足所以-1故当00的解集为.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·天津高考)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.b【解析】选A.0b=log0.50.2>log0.50.5=1,
1=0.50>c=0.50.2>0.51=,所以a2.(4分)若log(a-1)(2x-1)>log(a-1)(x-1),则有 ( )
A.10 B.11
C.a>2,x>0 D.a>2,x>1
【解析】选D.当a>2时,a-1>1,
由解得x>1;
当1由无解.
3.(4分)设f(x)=则f(f(-2))=________. ?
【解析】因为f(-2)=10-2>0,f(10-2)=lg 10-2,令lg 10-2=a,则10a=10-2,
所以a=-2,所以f(f(-2))=-2.
答案:-2
4.(4分)已知对数函数过点(2,4),则f(x)的解析式为________. ?
【解析】设该函数的解析式为y=logax(a>0,且a≠1,x>0),则4=loga2,则a4=2,解得a=,故所求对数函数的解析式为f(x)=lox.
答案:f(x)=lox
5.(14分)(2019·衢州高二检测)已知函数f(x)=lg(ax2+x+1).
(1)若a=0,求不等式f(1-2x)-f(x)>0的解集.
(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
【解析】(1)a=0时,f(x)=lg(x+1),
所以f(1-2x)-f(x)=lg(2-2x)-lg(x+1)>0,
所以lg(2-2x)>lg(x+1),
所以2-2x>x+1>0,
所以x∈.
(2)因为f(x)的定义域是R,所以得ax2+x+1>0恒成立.当a=0时,显然不成立,
当a≠0时,由解得a>.
综上a>.
1.若函数y=log2(kx2+4kx+5)的定义域为R,则k的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.(-∞,0)∪
【解析】选B.由题意得:kx2+4kx+5>0在R上恒成立,
k=0时,成立,k≠0时,由解得02.(2019·佛山高二检测)已知函数f=log2.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.
(2)解不等式f<-1.
【解析】(1)f(x)为奇函数,
证明:>0?-1f(-x)+f(x)=log2+log2
=log2=log21=0,
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)由(1)知-1log2<-1,所以<2-1=,
-==<0,
所以>0,所以x<-或x>1.
又因为-1综上,不等式f(x)<-1的解集为.
课堂检测·素养达标
1.函数y=3+loga(2x+3)的图像必经过定点P的坐标为 ( )
A.(-1,3) B.(-1,4)
C.(0,1) D.(2,2)
【解析】选A.令2x+3=1,求得x=-1,y=3,故函数y=3+loga(2x+3)的图像必经过定点P的坐标为(-1,3).
2.已知f(x)=2+log3x,x∈,则f(x)的最小值为 ( )
A.-2 B.-3 C.-4 D.0
【解析】选A.因为≤x≤9,
所以log3≤log3x≤log39,即-4≤log3x≤2,
所以-2≤2+log3x≤4.所以当x=时,f(x)min=-2.
3.函数y=|log2x|的图像是图中的 ( )
【解析】选A.y=|log2x|的图像是将y=log2x的图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折得到的.
4.已知函数f(x)的图像如图所示,则函数g(x)= 的定义域是________.?
【解析】由题意知,f(x)>0,由所给图像可知f(x)>0的解集为{x|2答案:{x|2【新情境·新思维】
已知函数f(x)=|ln x|,若存在两个互不相等的实数a,b,满足f(a)=f(b),则ab=________.?
【解析】由题意函数f(x)=|ln x|=
存在两个互不相等的实数a,b,满足f(a)=f(b),设a1,可得
-ln a=ln b,即ln a+ln b=0,那么ln ab=ln 1,所以ab=1.
答案:1
课时素养评价 七
对数函数的性质与图像的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知函数f(x)=loga(x-m)的图像过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是
( )
A.增函数 B.减函数
C.奇函数 D.偶函数
【解析】选A.由题意,
解得所以f(x)=log4(x-3),
所以f(x)是增函数,因为f(x)的定义域是(3,+∞),不关于原点对称.所以f(x)为非奇非偶函数.
【加练·固】
已知函数f(x)=loga(x-2),若图像过点(11,2),则f(5)的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【解析】选B.由函数图像过点(11,2),
则loga(11-2)=2,解得a=3.
故f(5)=log3(5-2)=1.
2.(2019·重庆高一检测)已知a=21.1,b=log23,c=,则a,b,c的大小关系为
( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
【解析】选A.21.1>2,=.又2>log23>log2=log2=,所以a>b>c.
3.(2019·临安高一检测)函数f(x)=2+log6(6x+1),x∈R的值域为 ( )
A.(0,1] B.(0,+∞)
C.[1,+∞) D.(2,+∞)
【解析】选D.因为6x+1>1,所以log6(6x+1)>0,
故f(x)=2+log6(6x+1)>2.
4.(多选题)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则 ( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)在(0,10)上单调递增
D.f(x)在(0,10)上单调递减
【解析】选B、D.由得x∈(-10,10),
故函数f(x)的定义域为(-10,10),关于原点对称,
又由f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),
故函数f(x)为偶函数,
而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),
y=100-x2在(0,10)上递减,y=lg x在(0,10)上递增,故函数f(x)在(0,10)上递减.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知f(x)=lg,x∈(-1,1),则函数f(x)是________函数(填奇或偶或非奇非偶).若f(a)=2,则f(-a)=________. ?
【解析】因为lg=lg,所以x∈(-1,1),且f(-x)=lg=lg =-lg=-f(x),所以f(x)为奇函数,
所以f(-a)=-f(a)=-2.
答案:奇 -2
6.(2019·徐州高一检测)函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1)在区间(a-2,a)上单调递减,则a的取值范围为________.?
【解析】因为函数在区间(a-2,a)上单调递减,
所以解得1答案:{a|1三、解答题(共26分)
7.(12分)(2019·静海高一检测)已知函数f=loga(x+2)-1(a>0且a≠1).
(1)若f=2,求函数f(x)的零点.
(2)若f(x)在[1,2]上的最大值与最小值互为相反数,求a的值.
【解析】(1)因为f(6)=2,所以loga8-1=2,
所以loga8=3,即a3=8,所以a=2.
所以f(x)=log2(x+2)-1,
令f(x)=0,即log2(x+2)-1=0,
所以log2(x+2)=1,
所以x+2=2,所以x=0.
即f(x)的零点为0.
(2)因为无论a>1或0 所以最值均在区间端点取得
因为f(x)在x∈[1,2]上的最大值与最小值互为相反数,所以f(1)+f(2)=0,
即loga3-1+loga4-1=0,
所以loga3+loga4=2,
所以loga12=2,
所以a2=12,所以a=±2,
又因为a>0且a≠1,
所以a=2.
8.(14分)已知1≤x≤4,求函数f(x)=log2×log2的最大值与最小值.
【解析】因为f(x)=log2×log2
=(log2x-2)(log2x-1)=-,
又因为1≤x≤4,
所以0≤log2x≤2,
所以当log2x=,
即x==2时,f(x)取最小值-;
当log2x=0,
即x=1时,f(x)取最大值2,
所以函数f(x)的最大值是2,最小值是-.
【加练·固】
设函数f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定义域为.
(1)若t=log2x,求t的取值范围.
(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值.
【解析】(1)因为t=log2x为单调递增函数,而x∈,
所以t的取值范围为,
即t∈[-2,2].
(2)记t=log2x,则
y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1)=(t+2)(t+1)=-(-2≤t≤2).
因为y=-在上递减,在上递增,
所以当t=log2x=-,即x==时,
y=f(x)有最小值f=-;
当t=log2x=2,即x=22=4时,
y=f(x)有最大值f(4)=12.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知a【解析】选B.由题图可知02.(4分)已知函数y=|logx|的定义域为,值域为[0,1],则m的取值范围为 ( )
A. B.
C.[1,2] D.[1,+∞)
【解析】选C.作出y=|logx|的图像(如图),
可知f=f(2)=1,
由题意结合图像知:1≤m≤2.
3.(4分)(2019·蚌埠高一检测)已知函数f(x)=lg(+ax)图像关于原点对称.则实数a的值为________. ?
【解析】函数图像关于原点对称,通过表达式可知函数的定义域是R,故得到函数是奇函数,
故-f(1)=f(-1),-lg(a+)=lg(-a),a+=,解得a=±2.
答案:±2
4.(4分)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增加的,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是________. ?
【解析】由题意可知,由f(log4x)<0,得-即log4答案:
5.(7分)已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图像上时,点在函数y=g(x)的图像上.
(1)写出y=g(x)的解析式.
(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.
【解析】(1)依题意,得
则g=log2(x+1),
故g(x)=log2(3x+1).
(2)由f(x)-g(x)=0,
得log2(x+1)=log2(3x+1),
所以解得x=0或x=1.
6.(7分)设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.
【解析】(1)由题意,f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,
所以a=3,所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),
所以解得-3所以f(x)的定义域是(-3,3).
(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)
=log3[(3+x)(3-x)]
=log3(9-x2)且x∈(-3,3),
所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,f(x)min=log33=1.
1.(2019·郑州高一检测)若函数f(x)=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是________.?
【解析】令t=x2-ax+1,y=logat,
(1)当0(2)当a>1时,函数y=logat单调递增,当且仅当Δ=a2-4<0时函数t=x2-ax+1有最小值,因此,可得:1综上,1答案:12.已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)若不等式f(x)>m有解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)要使函数的解析式有意义,
自变量x须满足可得-2故函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)的定义域为(-2,2).
(2)因为不等式f(x)>m有解,所以mf(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2),
令t=4-x2,因为-2因为y=lg x为增函数,
所以f(x)的最大值为lg 4,所以m的取值范围为m