课堂检测·素养达标
1.随着我国经济的不断发展,2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元,预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长,那么2021年年底该地区的农民人均年收入为 ( )
A.3 000×1.06×7元 B.3 000×1.067元
C.3 000×1.06×8元 D.3 000×1.068元
【解析】选B.根据题意,逐年归纳,总结规律建立关于年份的指数型函数模型,设经过x年,该地区的农民人均年收入为y元,依题意有y=3 000×1.06x,因为2014年年底到2021年年底经过了7年,故把x=7代入,即可求得y=3 000×1.067.
2.在一定的储存温度范围内,某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718 28…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0 ℃时的保鲜时间为120小时,在30 ℃时的保鲜时间为15小时,则该食品在20 ℃时的保鲜时间为 ( )
A.30小时 B.40小时 C.50小时 D.80小时
【解析】选A.由题意可知
所以e30k=,所以e10k=,
所以e20k+b=(e10k)2·eb=·120=30.
3.已知汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位:千米/时)成正比,当汽车行驶速度为60千米/时,刹车距离为20米.若某人驾驶汽车的速度为90千米/时,则刹车距离为________米.?
【解析】由汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位:千米/时)成正比,设y=kv2,当汽车行驶速度为60千米/时,刹车距离为20米,
所以20=3 600k,解得k=,所以y=v2,
当v=90千米/时,所以y=×902=45(米).
答案:45
4.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级,若它们释放的能量分别为E1和E2,则=________.?
【解析】因为lg E=4.8+1.5M,
所以lg E1=4.8+1.5×8=16.8,
lg E2=4.8+1.5×7.5=16.05,
所以E1=1016.8,E2=1016.05,所以=100.75.
答案:100.75
【新情境·新思维】
在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[H+])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.已知pH值的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间,那么健康人体血液中的可以为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈
0.48) ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意得pH=-lg[H+]∈(7.35,7.45),
且[H+]·[OH-]=10-14,
所以lg=lg=lg[H+]2+14
=2lg[H+]+14,
因为7.35<-lg[H+]<7.45,
所以-7.45所以-0.9<2lg[H+]+14<-0.7,
即-0.9因为lg=-lg 2≈-0.30,故A错误,
lg=-lg 3≈-0.48,故B错误,
lg=-lg 6=-(lg 2+lg 3)≈-0.78,故C正确,
lg=-1,故D错误.
课时素养评价 十一
函数的应用(二)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(2019·宝鸡高一检测)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/ml.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少,则他至少要经过______小时后才可以驾驶机动车. ( )?
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.设n个小时后才可以驾车,由题得方程0.8(1-50%)n=0.2, 0.5n=,n=2,即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车.
2.(多选题)如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像.由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2,3所示.你能根据图像判断下列说法错误的是 ( )
①图2的建议为减少运营成本
②图2的建议可能是提高票价
③图3的建议为减少运营成本
④图3的建议可能是提高票价
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选B、C.根据题意和图2知,两直线平行即票价不变,直线向上平移说明当乘客量为0时,收入是0但是支出的变少了,即说明了此建议是降低成本而保持票价不变;由图3看出,当乘客量为0时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即相同的乘客量时收入变大,即票价提高了,即说明了此建议是提高票价而保持成本不变,综上可得①④正确,②③错误.
3.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的______倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.
( )?
A.e6 B.e6-1 C.e6+1 D.106-1
【解析】选B.当v=12 000米/秒时,
2 000·ln=12 000,
所以ln=6,所以=e6-1.
4.研究人员发现某种物质的温度y(单位:摄氏度)随时间x(单位:分钟)的变化规律是:y=2·2x+21-x(x≥0)经过______分钟,该物质温度为5摄氏度. ( )?
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选A.某种物质的温度y(单位:摄氏度)随时间x(单位:分钟)的变化规律是:
y=2·2x+21-x(x≥0),
当y=5时,2·2x+21-x=5,
由x≥0,解得x=1.
所以经过1分钟,该物质温度为5摄氏度.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.(2019·西城高一检测)为绿化生活环境,某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵,计划3年后全年植树12.5万棵.若植树的棵数每年的增长率均为a,则a=________.?
【解析】由题意可知6.4(1+a)3=12.5,
所以(1+a)3=,所以1+a=,
故a==25%.
答案:25%
6.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒),平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=,若l=6.05,则最大车流量为________辆/时.?
【解析】当l=6.05时,
F==,
因为v+≥2=22,当且仅当v=即v=11时取等号.所以F≤=
2 018.
答案:2 018
三、解答题(共26分)
7.(12分)家用冰箱制冷使用的氟化物,释放后破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q0,其中Q0是臭氧的初始量.
(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少?
(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?(提示:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099)
【解析】(1)因为Q0>0,-<0,e>1,
所以Q=Q0为减函数,
所以随时间的增加,臭氧的含量是减少的.
(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失,
则Q=Q0=Q0,即=,
取对数可得:-=ln
解得x=400ln 2≈277.2.
所以278年以后将会有一半的臭氧消失.
8.(14分)(2019·吉林高一检测)我国加入WTO时,根据达成的协议,某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P(x)=(其中t为关税的税率,且t∈[0,),x为市场价格,b,k为正常数).当t=时的市场供应量曲线如图所示.
(1)根据图像求b,k的值.
(2)当关税的税率t=时,求市场供应量P不低于1 024时,市场价格至少为多少?
【解析】(1)由图可知,,
解得k=6,b=5,
(2)由(1)可得P(x)=,
设m=(1-6t)(x-5)2,
当t=时,m=(x-5)2,
因为市场供应量P不低于1 024时,
所以2m≥1 024,解得m≥10,
所以(x-5)2≥10,解得x≥10.
故市场供应量P不低于1 024时,市场价格至少为10.
(15分钟·30分)
1.(4分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg3≈0.48) ( )
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
【解析】选D.因为=1,而lg=lgM-lgN=lg3361-lg1080=361lg3-80lg10,
又lg3≈0.48,所以lg≈361×0.48-80≈93.
故≈1093.
2.(4分)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-b t(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过______min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. ( )?
A.8 B.16 C.24 D.32
【解析】选B.依题意有a·e-b×8=a,
所以b=,所以y=a·,若容器中只有开始时的时,则有:a·=a,解得t=24.
所以再经过24-8=16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
3.(4分)某个病毒经30 min繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ek t(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=______,经过5 h,1个病毒能繁殖为______个.?
【解析】当t=0.5时,y=2,所以2=.
所以k=2ln 2.
所以y=,当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
答案:2ln 2 1 024
4.(4分)汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车,这一过程中,由于人的反应需要时间,汽车在惯性的作用下有一个刹车距离,设停车安全距离为S,驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1,刹车距离为S2,则S=S1+S2.而S1与反应时间t有关,S1=10ln(t+1),S2与车速v有关,S2=bv2.某人刹车反应时间为-1秒,当车速为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20米,若在限速100 km/h的高速公路上,则该汽车的安全距离为________.(精确到米) ?
【解析】因为刹车反应时间为(-1)s,
所以S1=10ln(-1+1)=10ln=5,
当车速为60 km/h时紧急刹车后滑行的距离为20 m,
则S2=b·(60)2=20,解得b=,
即S2=v2,若v=100,则S2=×1002≈56,S1=5,
则该汽车的安全距离S=S1+S2=56+5=61(m).
答案:61
5.(14分)为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长10%.
(1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?
(参考数据lg 0.11≈-0.959,lg 1.1≈0.041,lg 11≈1.041,lg 2≈0.301)
【解析】(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2万元,第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式y=100(1+10%)x万元,其定义域为{x∈N*|x≤10}.
(2)由100(1+10%)x>200可得1.1x>2,
即x>≈≈7.3,
即企业从第8年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元.
【加练·固】
为了预防甲型H1N1流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧完后满足y=,如图所示,现测得药物8 min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg,请按题中所供给的信息,解答下列各题.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?
【解析】(1)当0≤x≤8时,
设y=λx,代入(8,6),
解得λ=,
所以y=x(0≤x≤8).
当x≥8时,将(8,6)代入y=,
可得k=48,
所以y=,所以y=
(2)当x∈[0,8]时,x=3,解得x=4,
当x>8时,=3,解得x=16.
所以空气中每立方米的含药量不低于3 mg时的持续时间为16-4=12(min)>10,所以此次消毒有效.
1.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要________分钟.?
【解析】由题意知Ta=24,T0=88,T=40,
可得:40-24=(88-24),
解得h=10,
此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,
可得:32-24=(40-24),
解得t=10.
答案:10
2.在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验:将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克.联想到教科书中研究“物体冷却”的问题,小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a,k是常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量.
(1)a=________.?
(2)求k的值.
(3)设这个试验中t分钟末已溶解的糖块的质量为M,请画出M随t变化的函数关系的草图,并简要描述试验中糖块的溶解过程.
【解析】(1)由题意,t=0,S=a=7.
(2)因为5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克,
所以3.5=7e-5k,解得k=.
(3)M随t变化的函数关系的草图如图所示.
溶解过程,随着时间的增加,逐渐溶解,溶解的速度越来越慢.
