课堂检测·素养达标
1.若函数y=f(x)的图像位于第一、二象限,则它的反函数y=f-1(x)的图像
位于 ( )
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第二、三象限 D.第一、四象限
【解析】选D.结合函数与反函数关于y=x对称得出,即可得出反函数位于第一、四象限.
2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则
f(8)= ( )
A.3 B. C.-3 D.-
【解析】选A.由题意可知f(x)=logax,f(2)=loga2=1,a=2,
即f(x)=log2x,f(8)=log28=3.
3.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的反函数图像经过点(9,-2),则a=________.?
【解析】反函数图像过(9,-2),则原函数图像过(-2,9),
f(-2)=a-2=9,所以a=.
答案:
4.若函数f(x)的图像和g(x)=ln(2x)的图像关于直线x-y=0对称,则f(x)的解析式为________.?
【解析】因为函数f(x)的图像与g(x)=ln(2x)的图像关于x-y=0对称,所以f(x)=ex.
答案:f(x)=ex
【新情境·新思维】
函数f(x)=loga(x2-4x+3)(a>0,a≠1)在x∈[m,+∞)上存在反函数,则m的取值范围是________.?
【解析】因为函数f(x)在x∈[m,+∞)上存在反函数,
所以函数f(x)在x∈[m,+∞)上单调,
因为函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),
y=x2-4x+3的对称轴为x=2,所以m∈(3,+∞).
答案:(3,+∞)
课时素养评价 八
指数函数与对数函数的关系
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.函数y=的反函数是 ( )
A.y=(x∈R且x≠-4)
B.y=(x∈R且x≠3)
C.y=(x∈R且x≠)
D.y=(x∈R且x≠-)
【解析】选B.由y=,得x=.
故所求反函数为y=(x∈R且x≠3).
2.(多选题)函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是 ( )
A.[-1,1] B.(-∞,0]
C.[-2,4] D.[2,4]
【解析】选A,C.函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在[-1,1], [-2,4]上不单调.
3.设y=+m和y=nx-9互为反函数,那么m,n的值分别是 ( )
A.-6,3 B.2,1 C.2,3 D.3,3
【解析】选D.求出y=+m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数,得m=3,n=3.
4.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是 ( )
A.aC.a>b D.无法确定
【解析】选A.因为f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,所以f(3)> f(2),f-1(3)>f-1(2),即b>a.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=的反函数是________.?
【解析】函数的值域为[0,+∞),令y=,
将其中的x,y对调得x=,
解得y=4-x2,
所以反函数f-1(x)=4-x2(x≥0).
答案:f-1(x)=4-x2(x≥0)
6.若函数y=f(x)的反函数是y=- (-1≤x≤0),则原函数的定义域是________,f(-1)=________.?
【解析】因为原函数的定义域为反函数的值域,
又-1≤x≤0,所以1≤2-x2≤2,
即y∈[-,-1].
令-=-1,解得x=±1,
因为原函数的定义域为[-,-1],
所以x=-1.
答案:[-,-1] -1
【加练·固】
函数f(x)=log2x+1(x≥4)的反函数f-1(x)的定义域是________.?
【解析】函数f(x)的值域为[3,+∞),
所以f-1(x)的定义域是[3,+∞).
答案:[3,+∞)
三、解答题(共26分)
7.(12分)求出下列函数的反函数,并画出原函数和其反函数的图像.
(1)y=-1.
(2)y=-3x2-2(x≤0).
【解析】 (1)因为原函数的定义域是x≥1,
所以值域为y≥-1,
由y=-1,
得反函数y=(x+1)2+1(x≥-1).
函数y=-1与它的反函数y=(x+1)2+1的图像如图所示.
(2)由y=-3x2-2(x≤0)得值域y≤-2,
反函数y=-(x≤-2).
它们的图像如图所示.
8.(14分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1).
(1)若f(x0)=2,求f(3x0).
(2)若f(x)的图像过点(2,4),记g(x)是f(x)的反函数,
求g(x)在区间上的值域.
【解析】(1)因为f(x0)==2,
所以f(3x0)==()3=23=8.
(2)因为f(x)的图像过点(2,4),
所以f(2)=4,即a2=4,解之得a=2(舍负) ,
因此,f(x)的解析式为y=2x,
因为g(x)是f(x)的反函数,所以g(x)=log2x,
因为g(x)在区间上是增函数,
g=log2=-1,g(2)=log22=1,
所以g(x)在区间上的值域为[-1,1].
(15分钟·30分)
1.(4分)若f(x)为y=2-x的反函数,则f(x-1)的图像大致是 ( )
【解析】选C.由题意,f(x)的图像与y=2-x的图像关于y=x对称,即f(x)=lox,所以f(x-1)的图像就是将f(x)=lox右移一个单位得到.
2.(4分)函数f(x)与g(x)=互为反函数,则函数f(4-x2)的单调增区间是
( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-2,0] D.[0,2)
【解析】选D.因为f(x)与g(x)=互为反函数,
所以f(x)=lox,
所以f(4-x2)=lo(4-x2),x>0,
由4-x2>0,所以-2因为y=4-x2在[0,2)上是减函数,
所以f(x)在[0,2)上是增函数.
3.(4分)设点(9,3)在函数f(x)=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图像上,则f(x)的反函数f-1(x)=________. ?
【解析】因为点(9,3)在函数f(x)=loga(x-1)(a>0,a≠1)的图像上,所以loga(9-1)=3,可得a=2,
则令函数f(x)=y=log2(x-1),那么x=2y+1.
把x与y互换可得y=2x+1,
所以f(x)的反函数f-1(x)=2x+1.
答案:2x+1
4.(4分)设a>0且a≠1,若函数f(x)=+2的反函数的图像经过定点P,则点P的坐标是________. ?
【解析】因为函数f(x)=+2经过定点(1,3),
所以函数f(x)的反函数的图像经过定点P(3,1).
答案:(3,1)
【加练·固】
若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),则实数a=________.?
【解析】函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),即函数f(x)=log2(x+1)+a的图像经过点(1,4),
所以4=log2(1+1)+a,
所以4=1+a,a=3.
答案:3
5.(7分)已知函数f(x)=lg(x+1).
(1)当x∈[1,9]时,求函数f(x)的反函数.
(2)若0【解析】(1)令y=f(x)=lg(x+1),
所以当x∈[1,9]时,y∈[lg2,1],
且x+1=10y,即x=10y-1,
互换x,y得,y=10x-1,
所以,f-1(x)=10x-1,x∈[lg2,1].
(2)不等式000,
解得x∈,
所以,原不等式中x的取值范围为:.
6.(7分)已知奇函数f(x)=的反函数f-1(x)的图像过点A(-3,1).
(1)求实数a,b的值.
(2)解关于x的不等式f-1(x)>-1.
【解析】(1)因为奇函数f(x)=的反函数f-1(x)过点A(-3,1),
所以
解得a=b=-1.
(2)由(1)知,f(x)=,
则f-1(x)=log2(x>1或x<-1),
解不等式f-1(x)=log2>-1?x>3或x<-1.
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=,那么f -1(-9)的值为 ( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
【解析】选A.设f -1(-9)=x,则f(x)=-9,
设x>0,则-x<0.
因为当x<0时,f(x)=,
所以f(-x)==3x.
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-3x.所以-3x=-9,故x=2.
2.已知函数y=f(x)=中,a,b,c,d均不为零,试求a,b,c,d满足什么条件时,它的反函数仍是自身.
【解析】f(x)=+,
因为常数函数没有反函数,
所以bc-ad≠0,又f-1(x)=,
要使=,
对定义域内一切x值恒成立,
令x=0,得-a=d,即a+d=0.
当a+d=0时,必有f-1(x)=f(x),
因此所求的条件是bc-ad≠0,且a+d=0.
