课堂检测·素养达标
1.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确结论的个数为 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.对立必互斥,互斥不一定对立,所以②③对,①错;又A∪B=A时,P(A∪B)=P(A),④错;只有事件A,B对立时,P(A)=1-P(B)才成立,⑤错.
2.从1,2,…,9中任取两数,①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是 ( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
【解析】选C.从1,2,…,9中任取两数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.至少有一个奇数是(1)和(3),其对立事件显然是(2).
3.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则 ( )
A.A?B
B.A?B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
【解析】选C.由互斥事件的定义可知C正确.
4.某射手在一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 ( )
A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9
【解析】选A.此射手在一次射击中不超过8环的概率为1-0.2-0.3=0.5.
5.若A,B是互斥事件,则 ( )
A.P(A∪B)<1 B.P(A∪B)=1
C.P(A∪B)>1 D.P(A∪B)≤1
【解析】选D.因为事件A,B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1.(当A,B对立时,P(A∪B)=1).
课时素养评价 十八
事件之间的关系与运算
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 ( )
A.A?B
B.A=B
C.A+B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
【解析】选C.设A={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3.
2.P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A∪B)等于 ( )
A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不确定
【解析】选D.因为A与B的关系不确定,故P(A∪B)的值不能确定.
3.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一炮弹击中飞机},D={至少有一炮弹击中飞机},下列关系不正确的是 ( )
A.A?D B.B∩D=?
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
【解析】选D.“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一炮弹击中”包含两种情况:一种是恰有一炮弹击中,一种是两炮弹都击中,所以A∪B≠B∪D.
4.某城市2019年的空气质量状况如表所示:
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时,空气质量为优;50A. B. C. D.
【解析】选A.所求概率为++=.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是________.?
【解析】摸出红球、白球、黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率为1-0.42-0.28=0.3.
答案:0.3
6.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是________. ?
【解析】连续射击两次有以下四种情况:第一次中第二次不中,第一次不中第二次中,两次都中和两次都不中.故“至少一次中靶”的对立事件为“两次都不中靶”.
答案:两次都不中靶
三、解答题
7.(16分)国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示:
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员在一次射击中:
(1)命中9环或10环的概率.
(2)至少命中8环的概率.
(3)命中不足8环的概率.
【解析】记事件“射击一次,命中i环”为Ai(i ∈N,i≤10),则事件Ai之间彼此互斥.
(1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.
(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件,故P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
(15分钟·30分)
1.(4分)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
A.“至少有1个白球”和“都是红球”
B.“至少有1个白球”和“至多有1个红球”
C.“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D.“至多有1个白球”和“都是红球”
【解析】选C.该试验有三种结果:“恰有1个白球”“恰有2个白球”“没有白球”,故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件但不是对立事件.
2.(4分)掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+(表示事件B的对立事件)发生的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意知,表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件互斥,由概率的加法计算公式可得P(A+)=P(A)+P()=+==.
3.(4分)若A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则P(B)=________.?
【解析】因为A,B为互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B),所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.3.
答案:0.3
4.(4分)同时掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为,则5点或6点至少出现一个的概率是________. ?
【解析】记既不出现5点也不出现6点的事件为A,则P(A)=,5点或6点至少有一个出现的事件为B.
因为A∩B=?,A∪B为必然事件,所以A与B是对立事件,则P(B)=1-P(A)=1-=.
故5点或6点至少有一个出现的概率为.
答案:
5.(14分)袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?
【解析】从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=;
P(C∪D)=P(C)+P(D)=;
P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=.
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是,,.
