课堂检测·素养达标
1.下列试验是古典概型的是 ( )
A.口袋中有2个白球和3个黑球,从中任取一球,基本事件为“取中白球”和“取中黑球”
B.在区间[-1,5]上任取一个实数x,使x2-3x+2>0
C.从一副扑克牌(去掉大、小王)中随机抽取一张,观察其是红桃、黑桃、方片还是梅花
D.某人走到一个路口遇到红灯或绿灯
【解析】选C.A中两个基本事件不是等可能的;B中基本事件的个数是无限的;D中“遇到红灯”与“遇到绿灯”不是等可能的;C符合古典概型的两个特征.
2.抛掷一枚骰子,出现偶数点的基本事件个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.因为抛掷一枚骰子出现数字的样本点有6个,它们分别是1,2,3,4, 5,6,故出现偶数点的样本点是3个.
3.在国庆阅兵中,某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.用(A,B,C)表示A,B,C通过主席台的次序,则样本空间为Ω ={ (A,B, C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A) },共6种,其中B先于A,C通过的有:(B,C,A)和(B,A,C),共2种,故所求概率P==.
4. 一个袋中装有2个红球和2个白球,现从袋中取出1个球,然后放回袋中再取出1个球,则取出的2个球同色的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.把红球标记为红1、红2,白球标记为白1、白2,本试验的样本点共有16个,其中2个球同色的事件有8个:红1、红1,红1、红2,红2、红1,红2、红2,白1、白1,白1、白2,白2、白1,白2、白2,故所求概率为P==.
课时素养评价 十九
古 典 概 型
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.下列不是古典概型的是 ( )
A.从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗骰子,点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
【解析】选C.A、B、D为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征:有限性和等可能性,而C不适合等可能性,故不为古典概型.
2.(2019·玉林高二检测)某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌,从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色,则所选颜色中含有白色的概率是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.从黄、白、蓝、红 4 种颜色中任意选 2 种颜色的所有基本事件有{黄白},{黄蓝},{黄红},{白蓝},{白红},{蓝红},共 6 种.其中包含白色的有 3 种,选中白色的概率为.
3.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m,n,则点P(m,n)在直线x+y=4上的概率是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.由题意(m,n)的样本空间为Ω ={ (1,1),(1,2),…,(1,6);(2,1), (2,2),…,(2,6);…;(6,1),(6,2),…,(6,6) },共36种情况,而满足点P(m,n)在直线x+y=4上的情况有(1,3),(2,2),(3,1),共3种.故所求概率为=.
4.设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个基本事件(a,b).记“这些基本事件中,满足logba≥1”为事件E,则E发生的概率是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.分别从两个集合中取1个数字,共有4×3=12种结果,可以列举出所有满足logba≥1的事件,当b=2时,a=2,3,4,当b=3时,a=3,4,共有3+2=5个,所以根据古典概型的概率公式得到概率是.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.用1,2,3组成无重复数字的三位数,这些数能被2整除的概率是________.?
【解析】用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个,即样本空间为Ω ={123, 132,213,231,312,321},其中能被2整除的有132,312这2个数,故能被2整除的概率为.
答案:
6.甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A,B两个不同的岗位,且每个岗位至少1人,则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为________.?
【解析】所有可能的分配方式如表:
A
甲、乙
甲、丙
乙、丙
甲
乙
丙
B
丙
乙
甲
乙、丙
甲、丙
甲、乙
共有6个基本事件,令事件M为“甲、乙两人被分到同一岗位”, 则事件M包含2个基本事件,所以P(M)==.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(12分)在一次“知识竞赛”活动中,有A1,A2,B,C四道题,其中A1,A2为难度相同的容易题,B为中档题,C为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.
(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率;
(2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.
【解析】由题意可知,甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题,所有可能的结果有16个,样本空间为Ω ={(A1,A1),(A1,A2),(A1,B),(A1,C),(A2,A1),
(A2,A2),(A2,B),(A2,C),(B,A1),(B,A2),(B,B),(B,C),(C,A1),(C,A2),(C,B),
(C,C)}.
(1)用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”,则M包含(A1,A1),(A1,A2),(A2,A1),(A2,A2),(B,B),(C,C),所以P(M)==.
(2)用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”,则N包含的基本事件有:(B,A1),(B,A2),(C,A1),(C,A2),(C,B).
所以P(N)=.
8.(14分)抛掷两枚骰子,求
(1)点数之和是4的倍数的概率.
(2)点数之和大于5小于10的概率.
【解析】如图,样本点共36个.
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A,从图中可以看出,事件A包含的基本事件共有9个,即(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6).
所以P(A)=.
(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B,从图中可以看出,事件B包含的基本事件共有20个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4), (4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),
(6,3).所以P(B)=.
(15分钟·30分)
1.(4分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),
(2,4,5),(3,4,5) ,其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为.
2.(4分)古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,样本空间为Ω ={(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土) },共10种等可能发生的结果.其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也有5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为.
3.(4分)一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0无实数根的概率是________. ?
【解析】基本事件共有36个.因为方程无实根,所以Δ=(m+n)2-16<0,即m+n<4,其中有(1,1),(1,2),(2,1),共3个基本事件.所以所求概率为=.
答案:
4.(4分)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为________. ?
【解析】记事件A:甲或乙被录用.从五人中录用三人,样本空间为Ω ={(甲,乙,丙)、(甲,乙,丁)、(甲,乙,戊)、(甲,丙,丁)、(甲,丙,戊)、(甲,丁,戊)、(乙,丙,丁)、(乙,丙,戊)、(乙,丁,戊)、(丙,丁,戊) },共10种可能,而A的对立事件仅有(丙,丁,戊)一种可能,所以A的对立事件的概率为P()=,所以P(A)=1-P()=.
答案:
5.(14分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率.
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
【解析】(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,样本空间为Ω ={(A1,A2), (A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点为:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个.
则所求事件的概率为P==.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其所有可能的结果组成的样本点有:
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有:(A1,B2),(A1,B3),共2个,
则所求事件的概率为P=.
1.一袋中装有大小相同,且编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得的两个球的编号之和不小于15的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.用(i,j)表示第一次取得的球编号为i,第二次取得的球编号为j的一个基本事件(i,j=1,2,3,…,8).则所有基本事件的总数n=64,其中取得的两个球的编号和不小于15的基本事件有(7,8),(8,7),(8,8)共3种,故所求的概率P=.
2.从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,连续取两次.
(1)若每次取出后不放回,连续取两次,求取出的产品中恰有一件是次品的概率.
(2)若每次取出后又放回,求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率.
【解析】(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,样本空间为Ω ={(a1,a2), (a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2) },其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.由6个基本事件组成,而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
事件A由4个基本事件组成.因而P(A)==.
(2)有放回地连续取出两件,样本空间为Ω ={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1), (a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1) }共9个基本事件.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件B由4个基本事件组成,因而P(B)=.
