课堂检测·素养达标
1.若事件A与B相互独立,则下列不相互独立的事件为 ( )
A.A与 B.与 C.B与 D.B与
【解析】选C.由相互独立性质知A与,与,B与也相互独立.
2.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A,因事件相互独立,所以P(A)=×+×=.
3.已知A,B是相互独立事件,若P(A)=0.2,P(AB+B+A )=0.44,则P(B)等于
( )
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
【解析】选A.因为A,B是相互独立事件,
所以,B和A, 均相互独立.
因为P(A)=0.2,P(AB+B+A )=0.44,
所以P(A)P(B)+P()P(B)+P(A)P()=0.44,所以0.2P(B)+0.8P(B)+0.2(1 -P(B))=0.44解得P(B)=0.3.
4.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是互相独立的,则灯亮的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.记“A,B,C,D四个开关闭合”分别为事件A,B,C,D,可用对立事件求解,图中含开关的三条线路同时断开的概率为:P()P()[1-P(AB)]=×× =.所以灯亮的概率为1-=.
课时素养评价 二十一
随机事件的独立性
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.抛掷3枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则A与B的关系是 ( )
A.互斥事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.不相互独立事件
【解析】选C.由已知,有P(A)=1-=,P(B)=1-=,P(AB)=,满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立.
2.一个学生通过一种英语能力测试的概率是,他连续测试两次,那么其中恰有一次通过的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意知,恰有一次通过的概率为
×+×=.
3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为P(A)=,P(B)=,所以P()=,P()=.又A,B为相互独立事件,
所以P( )=P()P()=×=.所以A,B中至少有一件发生的概率为1-
P( )=1-=.
4.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.左边圆盘指针落在奇数区域的概率为=,右边圆盘指针落在奇数区域的概率为,
所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×=.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.甲袋中有8个白球,4个红球;乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为________.?
【解析】设“从甲袋中取白球”为事件A,
则P(A)==.设“从乙袋中取白球”为事件B,则P(B)==.取得同色球为AB+
.
P(AB+ )=P(AB)+P( )=P(A)·P(B)+P()·P()=×+×=.
答案:
6.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概率是________,三人中至少有一人达标的概率是________. ?
【解析】三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5=0.24.
三人都不达标的概率为(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.2×0.4×0.5=0.04,
三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96.
答案:0.24 0.96
三、解答题(共26分)
7.(12分)在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求:
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率.
【解析】记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B.显然事件A,B相互独立且P(A)=,P(B)=.
(1)P(AB)=P(A)P(B)=×=.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为
P=1-P( )=1-P()P()=1-×=.
8.(14分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率.
(2)求至多有两人当选的概率.
【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,则有P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)因为事件A,B,C相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(A )+
P( B )+P( C)
=P(A)·P()·P()+P()·P(B)·P()+P()·P()·P(C)
=××+××+××=.
(2)至多有两人当选的概率为
1-P(ABC)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-××=.
(15分钟·30分)
1.(4分)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则表示 ( )
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰有1个红球的概率
【解析】选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,由于A,B相互独立,所以1-P()P()=1-×=.根据对立事件可知C正确.
2.(4分)在荷花池中,有一只青蛙在如图成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是
( )
A. B. C. D.
【解析】选A.青蛙跳三次要回到A只有两条途径:
第一条:按A→B→C→A,P1=××=;
第二条,按A→C→B→A,P2=××=.
所以跳三次之后停在A叶上的概率为
P=P1+P2=+=.
3.(4分)加工某零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________. ?
【解析】加工出来的零件的正品率为××=,所以次品率为1-=.
答案:
4.(4分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是,,两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________. ?
【解析】由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为,,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A)=×+×+×=.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
答案:
【加练·固】
某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.?
【解析】此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮,说明此选手第2个问题回答错误,第3、第4个问题均回答正确,第1个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0.2×0.82=0.128.
答案:0.128
5.(14分)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,,,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测,求:
(1)三人都合格的概率.
(2)三人都不合格的概率.
(3)出现几人合格的概率最大.
【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率:
P3=P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)
=××=.
(2)三人都不合格的概率:
P0=P( )=P()·P()·P()
=××=.
(3)恰有两人合格的概率:
P2=P(A B )+P(A C)+P( BC)
=××+××+××=.
恰有一人合格的概率:P1=1-P0-P2-P3=1---==.综合(1)(2)可知P1最大.
所以出现恰有一人合格的概率最大.
1.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由P(A )=P(B ),得P(A)P()=P(B)·P(),
即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],
所以P(A)=P(B).又P( )=,
所以P()=P()=,所以P(A)=.
2.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手被淘汰的概率.
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率.
【解析】记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i=1,2,3,4),则P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(A3)=0.5,P(A4)=0.2.
(1)方法一:该选手被淘汰的概率:
P=P(∪A1∪A1A2∪A1A2A3)
=P()+P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()+
P(A1)P(A2)P(A3)P()=0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.976.
方法二:P=1-P(A1A2A3A4)
=1-P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)
=1-0.6×0.4×0.5×0.2=1-0.024=0.976.
(2)方法一:P=P(A1∪A1A2∪A1A2A3)=
P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()+
P(A1)P(A2)P(A3)P()=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.576.
方法二:P=1-P()-P(A1A2A3A4)=1-(1-0.6)-0.6×0.4×0.5×0.2=0.576.
