课堂检测·素养达标
1.种植某种花的球根200个,进行调查发芽天数的试验,样本是 ( )
A.200个球根发芽天数的数值
B.200个球根
C.无数个球根发芽天数的数值集合
D.无法确定
【解析】选A.由样本的概念可知,选项A正确.
2.下列抽样试验中,适合用抽签法的是 ( )
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲,乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
【解析】选B.A,D中总体的个数较大,不适于用抽签法;C中甲,乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大,因此未达到搅拌均匀的条件,也不适于用抽签法;B中个体数和样本容量均较小,且同厂生产的两箱产品,性质差别不大,可以看做是搅拌均匀.
3.用抽签法进行抽样有以下几个步骤:①制签;②抽签;③将签摇匀;④编号;⑤将抽取的号码对应的个体取出,组成样本.这些步骤的正确顺序为________.?
【解析】由抽签法的步骤知,正确顺序为④①③②⑤.
答案:④①③②⑤
4.某工厂的质检人员对生产的100件产品,采用随机数法抽取10件进行检查,对100件产品采用下面的编号方法:①1,2,3,…,100;②001,002,003,…,100;③00,01,02,03,…,99.其中最恰当的序号是________.?
【解析】只有编号时数字位数相同,才能达到随机等可能抽样,所以①不恰当.②③的编号位数相同,都可以采用随机数法.但②中号码是三位数,读数费时,所以③最恰当.
答案:③
【新情境·新思维】
从一群参加游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分到过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为 ( )
A. B.k+m-n
C. D.不能估计
【解析】选C.设参加游戏的小孩有x人,
则=,x=.
课堂检测·素养达标
1.某地区为了了解居民家庭生活状况,先把居民按所在行业分为几类,然后每个行业抽的居民家庭进行调查,这种抽样是 ( )
A.抽签法 B.随机数表法
C.分层抽样 D.以上都不是
【解析】选C.由于居民按行业可分为不同的几类,符合分层抽样的特点.
2.某中学共有1 000名学生,其中高一年级350人,该校为了了解本校学生视力情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查,则应从高一年级抽取的人数为 ( )
A.20 B.25 C.30 D.35
【解析】选D.高一年级抽取的人数为×100=35.
3.当前,国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲,乙,丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户,若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题,先采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为
( )
A.40 B.30 C.20 D.36
【解析】选A.×90=40.
4.某中学高一年级有400人,高二年级有320人,高三年级有280人,若每人被抽到的可能性为20%,用随机数法在该中学抽取容量为n的样本,则n等于________.?
【解析】由×100%=20%,解得n=200.
答案:200
【新情境·新思维】
某单位有2000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如表所示:
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1 200
小计
160
320
480
1040
2000
(1)若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?
【解析】(1)因为总体是由差异比较明显的几部分组成,所以要抽取40人调查身体状况,应用分层抽样方法,从老年人中抽取40×=4(人),
从中年人中抽取40×=12(人),
从青年人中抽取40×=24(人).
(2)要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,应采用分层抽样法,
从管理层抽取25×=2(人),
从技术开发部抽取25×=4(人),
从营销部抽取25×=6(人),
从生产部抽取25×=13(人).
课时素养评价 十三
分 层 抽 样
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )
A.抽签法 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.随机数表法
【解析】选C.事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.
2.(2019·长春高二检测)一班有学员54人,二班有学员42人,现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是 ( )
A.9、7 B.15、1
C.8、8 D.12、4
【解析】选A.设一班被抽取的人数是x,则=,解得x=9,所以一班被抽取的人数是9,二班被抽取的人数是16-9=7.
【加练·固】
某单位有职工160人,其中业务员104人,管理人员32人,后勤服务人员24人,现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本,则抽取管理人员有 ( )
A.3人 B.4人 C.7人 D.12人
【解析】选B.由=,设管理人员x人,则=,解得x=4.
3.某服装加工厂某月生产A,B,C三种产品共4 000件,为了保证产品质量,进行抽样检验,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:
产品类型
A
B
C
产品数量/件
2 300
样本容量/件
230
由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C的产品数量是
( )
A.80 B.800 C.90 D.900
【解析】选B.因为抽样比为,所以样本总容量为400.因为A与C共170件,所以A有90件,C有80件.所以C的产品数量为800.
4.“民以食为天,食以安为先”,食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选C.设抽样比为k,k===,所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是10×+20×=2+4=6.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.为了调查某省各城市PM2.5的值,按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则乙组中应抽取的城市数为________.?
【解析】乙组城市数占总城市数的比例为=,样本容量为12,
故乙组中应抽取的城市数为12×=4.
答案:4
【加练·固】
某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200件,400件,300件,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取__________件.?
【解析】所求产品数为60×=18(件).
答案:18
6.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.?
【解析】设乙设备生产的产品总数为x件,则甲设备生产的产品总数为(4 800-x)件.
由题意,得=,解得x=1 800.
答案:1 800
三、解答题(共26分)
7.(12分)某政府机关有在编人员100人,其中科级以上干部10人,科员70人,办事员20人.上级机关为了了解他们对政府机构改革的看法,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用哪种方法抽取,并写出具体的抽样过程.
【解析】因为个体差异较大,而且机构改革关系到每个人的不同利益,故采用分层抽样法抽取.
抽样过程如下:第一步,确定抽样比:=.
第二步,确定各层抽取的人数:
从科级以上干部中抽取10×=2(人);
从科员中抽取70×=14(人);
从办事员中抽取20×=4(人).
第三步,在各层中分别用简单随机抽样法抽取,抽取科级以上干部2人,科员14人,办事员4人.
第四步,将所抽取的个体组合在一起构成样本.
8.(14分)某县共有320个自然村,其中山区32个,丘陵地区240个,平原地区48个.为调查村民收入状况,要从中抽出20个村进行调查,试设计一种比较合理的抽样方案,并简述抽样过程.
【解析】由于各地区自然条件的限制,各地区村民的经济收入有较大差异,故采用分层抽样法较为合理.
因为=,所以按的比例抽取,
应在山区抽取32×=2(个),
丘陵地区抽取240×=15(个),
平原地区抽取48×=3(个).
具体实施过程:对于山区和平原地区,由于自然村数量较少,可采用抽签法,具体实施过程略.对于丘陵地区,自然村个数较多且差异不大,可采取随机数表法.首先将240个村按001,002,…,240编号.然后用随机数表法抽取15个人,这样便得到了一个容量为20的样本.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·大庆高二检测)某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且2b=a+c,则第二车间生产的产品数为 ( )
A.800 B.1 000 C.1 200 D.1 500
【解析】选C.由2b=a+c,则第二车间生产的产品数为3 600×=3 600×
=1 200.
2.(4分)某地区高中分三类,A类为示范性高中共有4 000名学生,B类为重点高中共有2 000名学生,C类为普通高中共有3 000名学生,现欲抽样分析某次考试成绩,若抽取900份试卷,那么应从A类高中抽取试卷份数为 ( )
A.450 B.400 C.300 D.200
【解析】选B.因为A类高中共有学生4 000人,B类高中共有学生2 000人,C类高中共有学生3 000人,所以这个地区的高中共有4 000+2 000+3 000=9 000人,因为要抽样分析某次考试的情况,若抽取900份试卷进行分析,所以每个个体的试卷被抽到的概率是=,所以从A类高中抽取的试卷份数应为4 000×=400.
【加练·固】
我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣 ( )
A.104人 B.108人
C.112人 D.120人
【解析】选B.由题设可知这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为300×=300×=108(人).
3.(4分)某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试,其中高三有学生900人,已知高一与高二共抽取了14人,则全校学生的人数为________. ?
【解析】设全校学生的人数为n,则=,解得n=3 000.
答案:3 000
4.(4分)为了解世界各国的早餐饮食习惯,现从由中国人、美国人、英国人组成的总体中用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本进行分析.若总体中的中国人有400人、美国人有300人、英国人有300人,且所抽取的样本中,中国人比美国人多10人,则样本容量m=________.?
【解析】根据分层抽样的概念得到三国的人抽得的比例为4∶3∶3,设中国人抽取x人,则美国人抽取(x-10)人,英国人抽取(x-10)人,根据比例得到=,解得x=40人.
因此,各国抽取的人数为:
中国人:40人,美国人:30人,英国人30人,共100人.
答案:100
5.(14分)某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为12 000人,其中持各种态度的人数如表:
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2 435
4 567
3 926
1 072
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取60人进行更为详细的调查,应当怎样进行抽样?
【解析】可用分层抽样方法,其总体容量为12 000.“很喜爱”占=,应抽取60×487÷2 400≈12(人);
“喜爱”占,
应抽取60×4 567÷12 000≈23(人);
“一般”占,
应抽取60×3 926÷12 000≈20(人);
“不喜爱”占,
应抽取60×1 072÷12 000≈5(人).
因此采用分层抽样法在“很喜爱”“喜爱”“一般”和“不喜爱”的2 435人,4 567人,3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.
1.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆轿车进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________. ?
【解析】设三种型号的轿车依次抽取x辆,y辆,z辆,则有
解得
答案:6,30,10
2.为了对某课题进行研究,分别从A,B,C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0(1)若A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,求m,n.
(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,求三所高校的教授的总人数.
【解析】(1)因为0(2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,所以(m+n)=72,解得m+n=108,
所以三所高校的教授的总人数为m+n+72=180.
课时素养评价 十二
总体与样本及简单随机抽样
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.为了了解全校240名学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量,下列说法正确的是 ( )
A.总体是240
B.个体是每一个学生
C.样本是40名学生
D.样本容量是40
【解析】选D.总体是240名学生的身高,个体是每一个学生的身高,样本是所抽取的40名学生的身高,样本容量为40,A,B,C均错误.
2.下列抽样方法是简单随机抽样的是 ( )
A.小刚从小贩的菜筐里挑了5根黄瓜
B.小强从超市挑选并购买了3支中性笔芯
C.从湖里捞出20尾鱼苗研究生长情况
D.小明从8个跑道中随机抽取一个跑道试跑
【解析】选D.由简单随机抽样的定义可知,只有D是简单随机抽样.
3.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性 ( )
A.与第n次有关,第一次可能性最大
B.与第n次有关,第一次可能性最小
C.与第n次无关,与抽取的第n个样本有关
D.与第n次无关,每次可能性相等
【解析】选D.因为在简单随机抽样中,每个个体被抽到的可能性都相等,与第n次无关,所以选项D正确.
【加练·固】
用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中,有放回地抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性,“第二次被抽到”的可能性分别是 ( )
A., B.,
C., D.,
【解析】选A.简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等,都为.
4.总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成,现从中抽取一个容量为6的样本,从以下随机数表第1行第1组第3个数开始,向右读取,则选出来的第5个个体的编号为 ( )
70291 71213 40331 23826 13895 10356
62183 73596 83508 77597 12559 36481
A.12 B.13 C.26 D.40
【解析】选C.依次取出的编号为29,17,12,13,40(舍),33(舍),12(舍),38(舍), 26.所以选出来的第5个个体的编号为26.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽到的可能性为25%,则N=________.?
【解析】依题意得×100%=25%,
所以N=120.
答案:120
6.某班对八校联考成绩进行分析,利用随机数表法抽取样本时,先将70个同学按01,02,03,…,70进行编号,然后从随机数表第9行第2组第4个数开始向右读,则选出的第7个个体的编号是________.?
(注:如表为随机数表的第8行和第9行)
63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 23879
33211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 27954.
【解析】找到第9行第2组第4个数开始向右读,符合条件的是29,64,56,07,52,42,44,
故选出的第7个个体是44.
答案:44
三、解答题(共26分)
7.(12分)到西部去,到基层去,到祖国最需要的地方去,2019年5月,大学生志愿服务西部计划报名工作现已开始.某高校数学系共有50名志愿者参与了报名,现要从中随机抽出6人参加一项活动,请用抽签法进行抽样,并写出过程.
【解析】第一步,将50名志愿者编号,号码为1,2,3,…,50.
第二步,将号码分别写在一张纸条上,揉成团,制成号签.
第三步,将所有号签放入一个不透明的箱子中,充分搅匀.
第四步,一次取出1个号签不放回,连取6次,并记录其编号.
第五步,将对应编号的志愿者选出即可.
8.(14分)某车间工人加工了一批零件共40件.为了了解这批零件的质量情况,从中抽取10件进行检验,利用下面的随机数表,从第三行第二组第四个数开始,写出抽样步骤.
16227 79439 49544 35482 17379 32378 87352 09643 84263 49164
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676
63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 44395 23879
33211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 27954
57608 63444 09472 79654 49174 60962 90528 47727 08027 34328
【解析】抽样步骤是:
第一步,先将40件零件编号,可以编号为00,01,02,…,38,39.
第二步:从选定的数5开始向右读下去,得一个两位数字号码59,由于59>39,将它去掉;继续向右读,得到16,将它取出;继续下去,又得到19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是12,由于它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得到34.至此,10个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.选出与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体.
(15分钟·30分)
1.(4分)某校共有1 200名高二学生参加2019年上学期期中考试,为了了解这1 200名学生的数学成绩,决定从中抽取50名学生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中,50名学生的数学成绩是 ( )
A.总体 B.样本的容量
C.个体 D.从总体中抽取的一个样本
【解析】选D.根据题意,从中抽取的50名学生的数学成绩是“从总体中抽取的一个样本”.
2.(4分)利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.根据题意=解得n=28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为=.
3.(4分)采用抽签法从含有5个个体的总体中不放回地抽取一个容量为2的样本,可能的样本共有________个. ?
【解析】假设5个个体分别记为a,b,c,d,e,容量为2的样本分别为a,b;a,c;a, d;a,e;b,c;b,d;b,e;c,d;c,e;d,e,共10个.
答案:10
4.(4分)某校高一(1)班有50名学生,学号从01到50,数学老师在上统计课时,利用随机数表法选5名学生提问,老师首先选定从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第2组第1个数“4”开始,从左向右依次选学号提问,则被提问的5个学生的学号为________. ?
33021 44709 79262 33116 80907 77689 69696 48420
77713 32822 64679 94095 95735 84535 74703 82890
25853 30963 76729 87613 65538 68978 13157 78834
64145 71516 11716 58309 89501 59717 56086 37459
68585 22783 22621 54263 41128 12663 82362 61855
【解析】依据选号规则,选取的5名学生的学号依次为:44,33,11,09,07.
答案:44,33,11,09,07
5.(14分)天津某中学从40名学生中选1人作为上海男篮拉拉队的成员,采用下面两种选法:
选法一 将这40名学生从1到40进行编号,相应地制作40个号签,把这40个号签放在一个暗箱中搅匀,最后随机地从中抽取1个号签,与这个号签编号一致的学生幸运入选.
选法二 将39个白球与1个红球(球除颜色外其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀,让40名学生逐一从中摸取一球,摸到红球的学生成为拉拉队成员.
试问这两种选法是否都是抽签法?为什么?这两种选法有何共同之处?
【解析】选法一满足抽签法的特征,是抽签法,选法二不是抽签法,因为抽签法要求所有的号签编号互不相同,而选法二中39个白球无法相互区分.这两种选法相同之处在于每名学生被选中的可能性都相等,均为.
【加练·固】
假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率,抽取60颗进行试验.利用随机数表抽取种子时,先将850颗种子按001,002,…,850进行编号,如果从随机数表第8行第1组第2个数3开始向右读,请你依次写出最先检测的4颗种子的编号.
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84421 75331 57245 50688 77047 44767
21763 35025 83921 20676
63016 37859 16955 56719 98105 07175
12867 35807 44395 23879
33211 23429 78645 60782 52420 74438
15510 01342 99660 27954
【解析】第8行第1组第2个数3开始向右读
第一个小于850的数字是301,
第二个数字是637,也符合题意,
第三个数字是859,大于850,舍去,
第四个数字是169,符合题意,
第五个数字是555,符合题意,
因此最先检测的4颗种子的编号依次是:301,637,169,555.
1.为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格,现从500件产品中抽出10件进行检验先将500件产品编号为000,001,002,…,499,在随机数表中任选一个数开始,例如选出第6行第2组第3个数4开始向右读(为了便于说明,下面摘取了一个随机数表,第6行至第8行),即第一个号码为439,则选出的第4个号码是
( )
16227 79439 49544 35482 17379 32378
84421 75331 57245 50688 77047 44767
63016 37859 16955 56719 98105 07175
A.548 B.443 C.379 D.217
【解析】选D.选出第6行第2组第3个数4开始向右读,第一个号码为439,选出的前4个号码是:439,495,443,217,所以选出的第4个号码是217.
2.某电视台举行颁奖典礼,邀请20名港台、内地艺人演出,其中从30名内地艺人中随机选出10人,从18名香港艺人中随机选出6人,从10名台湾艺人中随机选出4人.试用抽签法确定选中的艺人,并确定他们的表演顺序.
【解析】第一步:先确定艺人
(1)将30名内地艺人从01到30编号,然后用相同的纸条做成30个号签,在每个号签上写上这些编号,然后放入一个不透明小筒中摇匀,从中抽出10个号签,则相应编号的艺人参加演出;
(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人,从18名香港艺人中抽取6人.
第二步:确定演出顺序
确定演出人员后,再用相同的纸条做成20个号签,上面写上1到20这20个数字,代表演出的顺序,让每个演员抽一张,每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序,再汇总即可.
