课堂检测·素养达标
1.在某次测量中得到的A样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是 ( )
A.平均数 B.标准差 C.众数 D.中位数
【解析】选B.设样本A中的数据为xi,则样本B中的数据为yi=xi-5,则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数,平均数,中位数都相差5,只有标准差没有发生变化.
2.甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如表所示,则进入决赛的最佳人选应是 ( )
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选B.因为=>=,
且=<<,所以应选择乙进入决赛.
3.数据8,12,15,18,21,23,23,23,28,33,34,35的80%分位数是________.?
【解析】这组数据有12个数,因为12×80%=9.6,
所以这组数据的中位数是x10=33.
答案:33
4.若五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a=________,这五个数的标准差是________.?
【解析】由=3,得a=5;
由s2=[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,得标准差s=.
答案:5
【新情境·新思维】
全国文明城市,简称文明城市,是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识,争创全国文明城市,某市组织了文明城市知识竞赛,现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩(单位:分)如表:
甲单位
87
88
91
91
93
乙单位
85
89
91
92
93
根据表中的数据,分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差,并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好.
【解析】=(87+88+91+91+93)=90,
=(85+89+91+92+93)=90,
=[(87-90)2+(88-90)2+(91-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=,
=[(85-90)2+(89-90)2+(91-90)2+(92-90)2+(93-90)2]=8.
显然=<,可知,甲单位的成绩比乙单位稳定,即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好.
课时素养评价 十四
数据的数字特征
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.某地铁运行过程中,10个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,
40,30,30,10,则这组数据的众数、极差的和为 ( )
A.120 B.165 C.160 D.150
【解析】选A.这组数据的众数是60,极差为70-10=60,它们的和为120.
2.(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是 ( )
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
【解析】选A.由于去掉1个最高分、1个最低分,不影响中间的数值,故中位数不变.
3.计算= ( )
A.6 B.9 C.10 D.15
【解析】选D.(2i+1)=(2×1+1)+(2×2+1)+(2×3+1)
=3+5+7=15.
4.某射手在一次训练中12次射击的成绩分别为9.6,9.7,9.0,9.1,9.4,9.4, 9.8,9.9,9.4,9.6,9.6,9.7,则该射手五次射击的成绩的75%分位数是 ( )
A.9.5 B.9.6 C.9.7 D.9.8
【解析】选C.将这12个数从小到大排列:
9.0,9.1,9.4,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.7,9.7,9.8,9.9,
这组数据有12个数,因为12×75%=9,
所以这组数据的75%分位数是
==9.7.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.一个样本数据按从小到大的顺序排列为:13,14,19,x,23,27,28,31,中位数为22,则x=________.?
【解析】由题意知=22,则x=21.
答案:21
6.若k1,k2,…,k6的方差为3,则2(k1-3),2(k2-3),…,2(k6-3)的方差为________.?
【解析】设k1,k2,…,k6的平均数为,
则[(k1-)2+(k2-)2+…+(k6-)2]=3.
而2(k1-3),2(k2-3),…,2(k6-3)的平均数为2(-3).
则所求方差为[4(k1-)2+4(k2-)2+…+4(k6-)2]=4×3=12.
答案:12
三、解答题(共26分)
7.(12分)为了了解市民的环保意识,某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况,有关数据如表:
每户丢弃旧塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
17
15
12
(1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数;
(2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75%分位数.
【解析】(1)平均数=×(2×6+3×17+4×15+5×12)==3.66.中位数是4.
(2)因为50×75%=37.5,所以这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75%分位数是x38=4.
8.(14分)甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm的零件.为了检验产品质量,从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量,结果如表所示
甲
40.0
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
乙
40.0
40.0
39.9
40.0
39.9
40.1
40.1
40.1
40.0
39.9
通过计算可以得出:甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均数都是40 mm.但从表中数据不难发现,甲生产的产品尺寸波动幅度比乙大.我们可以选择哪些数来刻画这两组数据的离散程度?
【解析】已知直径的平均数:==40(mm).
直径的标准差:
s甲=
≈0.161(mm)
s乙=
≈0.077(mm)
由上面的计算可以看出:甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同,而甲机床生产的产品直径的标准差约为0.161 mm,比乙机床的标准差0.077 mm大,说明乙机床生产的零件更标准些,即乙机床的生产过程更稳定一些.
(15分钟·30分)
1.(4分)有一笔统计资料,共有11个数据如下(不完全以大小排列):2,4,4,5,5,
6,7,8,9,11,x,已知这组数据的平均数为6,则这组数据的方差为 ( )
A.6 B. C.66 D.6.5
【解析】选A.因为=(2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)=(61+x)=6,所以x=5.
方差为:s2=
==6.
【加练·固】
从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为 ( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A. B. C.3 D.
【解析】选B.因为
=
==3,
所以s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
=×[20×22+10×12+30×02+30×(-1)2+10×(-2)2]==.所以s=.
2.(4分)某班有50名学生,在一次考试中统计出平均分数为70,方差为75,后来发现有2名学生的成绩统计有误,学生甲实际得分是80分却误记为60分,学生乙实际得分是70分却误记为90分,更正后的平均分数和方差分别是 ( )
A.70和50 B.70和67
C.75和50 D.75和67
【解析】选B.设更正前甲,乙,…的成绩依次为a1,a2,…,a50,则a1+a2+…+a50=50×70,
即60+90+a3+…+a50=50×70,
(a1-70)2+(a2-70)2+…+(a50-70)2=50×75,
即(-10)2+202+(a3-70)2+…+(a50-70)2=50×75.
更正后平均分为=×(80+70+a3+…+a50)=70.
方差为s2=×[(80-70)2+(70-70)2+(a3-70)2+…+(a50-70)2]=×[100+(a3-70)2+…+(a50-70)2]
=×[100+50×75-(-10)2-202]=67.
3.(4分)某学习小组10名同学在一次数学测试中的得分分别为85,78,66,91, 67,78,67,87,96,88,则这10名同学成绩的60%分位数为__________.?
【解析】这组数据按照从小到大排列后为66,67,67,78,78,85,87,88,91,96,
10×60%=6,所以这10名同学成绩的60%分位数为==86.
答案:86
4.(4分)一组数据从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,10,其中x≠5,已知该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的标准差是________. ?
【解析】由题意得该组数据的中位数为,众数为2.所以=2×,所以x=4.
所以该组数据的平均数为
=×(1+2+2+4+5+10)=4,
所以该组数据的方差为s2=×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9,
所以该组数据的标准差为3.
答案:3
【加练·固】
一个容量为5的样本中,数据均为整数,已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未污损,即9,10,11,1
,那么这组数据的方差s2可能的最大值是________.?
【解析】设这组数据的最后2个分别是:10+x,y,
则9+10+11+(10+x)+y=50,
得:x+y=10,故y=10-x,
故s2=[1+0+1+x2+(-x)2]=+x2,
显然x最大取9时,s2最大是.
答案:
5.(14分)(2019·连云港高一检测)甲,乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试,各射击10次,命中的环数如下:
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
(1)分别计算两组数据的平均数及方差.
(2)现要从甲、乙两人中选拔一人去参加比赛,根据上面的测试成绩,你认为应该派谁去合适?并且说明理由.
【解析】(1)甲的平均数为=
×=7,
乙的平均数为
=×=7,
甲的方差为=[(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2 +(4-7)2+(7-7)2]=×(1+1+1+1+4+4+9+9)==3
乙的方差为=[(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2 +(9-7)2+(5-7)2]
=×==1.2
(2)由于=,则两人平均数相同,由于>,则甲数据不如乙数据稳定,故应选派乙参加比赛.
【加练·固】
某教育集团为了办好人民满意的教育,每年年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意的民主测评(满意度最高分110,最低分0,分数越高说明人民满意度越高,分数越低说明人民满意度越低).去年测评的数据如下:
甲校:96,112,97,108,100,103,86,98.
乙校:108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数.
(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度的方差.
(3)根据以上数据你认为这两所学校哪所学校人民满意度比较好?
【解析】(1)甲学校人民满意度的平均数为:
=×(96+112+97+108+100+103+86+98)=100,
甲学校人民满意度的中位数为=99,
乙学校人民满意度的平均数为:=×(108+101+94+105+96+93+97+106)=100,乙学校人民满意度的中位数为=99.
(2)甲学校人民满意度的方差:
=[(-4)2+122+(-3)2+82+02+32+(-14)2+(-2)2]=55.25,乙学校人民满意度的方差:
=[82+12+(-6)2+52+(-4)2+(-7)2+(-3)2+62]=29.5.
(3)据(1)(2)求解甲乙两学校人民满意度的平均数相同、中位数相同,
而乙学校人民满意度的方差小于甲学校人民满意度的方差,故乙学校人民满意度比较好.
1.气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天日平均温度不低于22℃”,现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数,单位是℃)
①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;
②乙地:5个数据的中位数为27,平均数为24;
③丙地:5个数据中有一个数据是32,平均数为26,方差为10.2.
则肯定进入夏季的地区有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.对于①,甲地肯定进入夏季,因为众数为22,所以22至少出现两次,若有一天低于22℃,则中位数不可能为24;
对于②,乙地不一定进入夏季,如13,23,27,28,29;对于③,丙地肯定进入夏季,
根据方差的定义:[(x1-26)2+(x2-26)2+(x3-26)2+(x4-26)2+(32-26)2]=10.2,
即(x1-26)2+(x2-26)2+(x3-26)2+(x4-26)2=15,
显然x1,x2,x3,x4都要大于22,才能成立.故满足题意的有①③.
【加练·固】
一组数据共有7个数,记得其中有10,2,5,2,4,2,还有一个比2大的数没记清,但知道这组数满足:2×中位数=平均数+众数,则这个数的所有可能值的和为
( )
A.20 B.17 C.32 D.3
【解析】选A.设这个数字是x,且x>2,则平均数为,众数是2,当x≤4时,中位数为x,此时+2=2x,解得x=3,当x>4时,中位数为4,
此时+2=2×4,解得x=17,综上所述,x的所有可能值为3与17,其和为20.
2.在一次高一年级统一考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高一学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900.
(1)若采用随机数表法抽样,并按照以下随机数表,以方框内的数字5为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的75%分位数.
05269 37060 22358 51513 92035 15977 59567 80683 52910 57074
07971 08823 09984 29964 61716 29915 06512 91693 58057 70951
51268 78585 54876 64754 73320 81112 44959 26316 29562 42948
26996 16553 58377 88070 42105 06742 32175 58574 94446 71694
14655 26875 87593 62241 26786 30655 13082 70150 15293 93943
(2)若采用分层抽样,按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层,且样本中A题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4;样本中B题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.
【解析】(1)根据题意读出的编号依次是:
512,916(超界),935(超界),805,770,951(超界),512(重复),687,858,554,876,647,547,332,将有效编号从小到大排列,得:332,512,547,554,647,687,770,805,858,876,
因为10×75%=7.5,所以样本编号的75%分位数为x8=805.
(2)记样本中8个A题目成绩分别为x1,x2,…,x8,2个B题目成绩分别为y1,y2,
由题意知xi=8×7=56,
=8×4=32,
yi=16,=2×1=2,
所以样本平均数为:==7.2,
样本方差为:=
=(x1-7)2-0.4(xi-7)+8×0.22+
(yi-0.8)2+1.6(yi-8)+2×
0.82==3.56,
所以用样本估计900名考生选做题得分的平均数为7.2,方差为3.56.
