课堂检测·素养达标
1.一个容量为20的样本数据,将其分组如下表:
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本在区间[10,50)上的频率为 ( )
A.0.5 B.0.25 C.0.6 D.0.7
【解析】选D.样本在区间[10,50)上的频率为==0.7.
2.为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男孩,平均身高1.60 m;从南方抽取了200个男孩,平均身高1.5 m,由此可推断我国13岁的男孩平均身高为 ( )
A.1.54 m B.1.55 m C.1.56 m D.1.57 m
【解析】选C.==1.56(m).
3.如图是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图,则此班的优秀(120分及以上为优秀)率为________.?
【解析】优秀率为10×(0.022 5+0.005+0.002 5)=0.3=30%.
答案:30%
4.空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0～50为优;51～100为良;101～150为轻度污染;151～200为中度污染;201～300为重度污染;大于300为严重污染.一环保人士从当地某年的AQI记录数据中,随机抽取10个,用茎叶图记录如图.根据该统计数据,估计当地该年AQI大于100的天数为________.(该年为365天)?
【解析】该样本中AQI大于100的频数为4,频率为,以此估计此地全年AQI大于100的频率为,故此地该年AQI大于100的天数约为365×=146.
答案:146
【新情境·新思维】
港珠澳大桥于2018年10月2日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长5千多米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100 km/h,现对大桥某路段上1 000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),试根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90 km/h的频率.
【解析】由频率分布直方图得:
在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的频率为0.06×5=0.3,所以在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数为:0.3×1 000=300(辆),行驶速度超过90 km/h的频率为:(0.05+0.02)×5=0.35.
课时素养评价 十六
用样本估计总体
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.观察新生婴儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿的体重在[2 700,3 000)内的频率为 ( )
A.0.001 B.0.01 C.0.003 D.0.3
【解析】选D.频率=×组距,
组距=3 000-2 700=300,=0.001,
所以频率=0.001×300=0.3.
2.为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计,甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是,,则下列说法正确的是 ( )
A.>,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛
B.>,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛
C.<,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛
D.<,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛
【解析】选D.由茎叶图知,甲的平均成绩是=82,乙的平均成绩是=87,所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩,从茎叶图看出乙的成绩稳定.
3.(2019·济南高一检测)2018年2月20日,摩拜单车在济南推出“做文明骑士,周一摩拜单车免费骑”活动.为了解单车使用情况,记者随机抽取了五个投放区域,统计了半小时内被骑走的单车数量,绘制了如图所示的茎叶图,则该组数据的方差为 ( )
A.9 B.4 C.3 D.2
【解析】选B.由茎叶图得该组数据的平均数=(87+89+90+91+93)=90.
所以方差为[(87-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(93-90)2]=4.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.某企业三个分厂生产同一种电子产品,三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试,则第一分厂应抽取的件数为________;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时.?
【解析】第一分厂应抽取的件数为100×50%=50(件);该产品的平均使用寿命为1 020×0.5+980×0.2+1 030×0.3=1 015(小时).
答案:50 1 015
5.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图,
则:(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数是________.?
(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为________.?
(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为________.?
【解析】(1)(0.04×10+0.025×10)×20
=13(人).
(2)设中位数为x,则0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5.
(3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.
答案:(1)13 (2)62.5 (3)64
三、解答题(共30分)
6.(14分)一批食品,每袋的标准重量是50 g,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取10袋食品,称出各袋的重量(单位:g),并得到其茎叶图(如图).
(1)求这10袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数.
(2)若某袋食品的实际重量小于或等于47 g,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合格率.
【解析】(1)根据茎叶图可知,50出现次数最多,有3次,
所以这10袋食品重量的众数为50 g,
设这10袋食品重量的平均数为,
则=(45+46+46+49+50+50+50+51+51+52)=49,
所以估计这批食品实际重量的平均数为49 g.
(2)根据茎叶图知,这10袋食品重量小于或等于47 g的有3袋,
由随机抽样的性质可知,
这批食品重量的合格率约为1-=0.7=70%.
7.(16分)某校为指导学生合理选择文理科的学习,根据数理综合测评成绩,按6分为满分进行折算.若学生成绩低于m分则建议选择文科,不低于m分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生).现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合测评成绩作为样本,整理得到分数的频率分布直方图(如图所示).
(1)求直方图中t的值.
(2)根据此次测评,为使80%以上的学生选择理科,整数m至多定为多少?
(3)若m=4,试估计该校高一学生中候选理科生的平均成绩.(精确到0.01)
【解析】(1)0.15×1+t×1+0.30×1+t×1+0.15×1=1,解得t=0.2.
(2)根据频率分布直方图可知,分数落在[1,2]组的频率为0.15,所以为使80%以上的学生选择理科,整数m至多定为2.
(3)若m=4,则估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为
≈4.93.
(15分钟·30分)
1.(5分)某校为了了解学生的睡眠情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据,结果用如图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为 ( )
A.4 h B.5 h
C.6 h D.6.4 h
【解析】选D.方法一:要确定这50名学生的平均睡眠时间,就必须计算其总睡眠时间.总睡眠时间为5.5×0.1×50+6×0.3×50+6.5×0.4×50+7×0.1×50+7.5×0.1×50=27.5+90+130+35+37.5=320(h).
故平均睡眠时间为320÷50=6.4(h).
方法二:根据图形得平均每人的睡眠时间为
T=5.5×0.1+6×0.3+6.5×0.4+7×0.1+7.5×0.1=6.4(h).
【加练·固】
某校为了了解学生的课外阅读情况,随机抽查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用条形图表示(如图).根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )
A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h
【解析】选B.=0.9(h).
2.(5分)对某种电子元件使用寿命进行跟踪调查,所得样本频率分布直方图如图.由图可知,这一批电子元件中寿命在100～300 h的电子元件的数量与寿命在300～600 h的电子元件的数量的比是 ( )
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶6
【解析】选C.由题意,寿命在100～300 h的电子元件的频率为100×=0.2,寿命在300～600 h的电子元件的频率为100×=0.8,则寿命在100～300 h的电子元件的数量与寿命在300～600 h的电子元件的数量比大约是0.2∶0.8=1∶4.
3.(5分)(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________. ?
【解析】=0.98.
答案:0.98
4.(15分)对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加“社区志愿者”活动的次数.据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下:
分组
频数
频率
[10,15)
5
0.25
[15,20)
12
n
[20,25)
m
p
[25,30]
1
0.05
合计
M
1
(1)求出表中M,p及图中a的值.
(2)若该校高一学生有720人,试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的人数.
【解析】(1)根据频率分布表,
得=0.25,
所以样本容量M=20.
所以m=20-5-12-1=2,所以对应的频率为
p==0.1,n==0.6,
所以a==0.12.
(2)参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的频率为0.6,
所以估计参加“社区志愿者”活动的次数在[15,20)内的人数为720×0.6=432(人).
【加练·固】
PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取18天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如图所示(十位为茎,个位为叶).
(1)求这18个数据中不超标数据的方差.
(2)以这18天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中约有多少天的空气质量超标.
【解题指南】(1)先求出这18个数据中不超标数据的均值,由此能求出这18个数据中不超标数据的方差.
(2)一年中空气质量超标的概率P==,由此能求出一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.
【解析】(1)这18个数据中 不超标数据的均值为:=(26+27+33+34+36+39+42+43+55+65)=40,
这18个数据中 不超标数据的方差为:
s2=[(26-40)2+(27-40)2+(33-40)2+(34-40)2+(36-40)2+(39-40)2+(42-40)2+(43-40)2+(55-40)2+(65-40)2]=133.
(2)由题意,一年中空气质量超标的概率P==,
×360=160,一年(按360天计算)中约有160天的空气质量超标.
1.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:
(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________;?
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________.?
【解析】(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+ 0.06+0.02)=1,解得h=0.04.
(2)志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800=440.
答案:(1)0.04 (2)440
2.某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试,现从中等可能抽出n名学生的成绩作为样本,制成如图频率分布表:
分组
频数
频率
[85,95)
0.025
[95,105)
0.050
[105,115)
0.200
[115,125)
12
0.300
[125,135)
0.275
[135,145)
4
[145,155]
0.050
合计
n
1
(1)求n的值,并根据题中信息估计总体平均数是多少?
(2)若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”,试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”?
【解析】(1)由第四行数据可知0.3=,
所以n=40.数据[135,145)的频率为
1-(0.025+0.05+0.2+0.3+0.275+0.05)=0.1,
则利用组中值估计平均数为
90×0.025+100×0.05+110×0.2+120×0.3+
130×0.275+140×0.1+150×0.05=122.5(分).
(2)成绩不低于135分的同学的频率为0.1+0.05=0.15,
所以该校能参加集训队的人数大约为500×0.15=75(人).
【加练·固】
我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值.
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由.
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
【解析】(1)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1,因为频率=(频率/组距)×组距,
所以0.5×(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,
得a=0.3.
(2)由题图可知,全市居民中月均用水量不低于3吨的人数所占百分比为0.5×(0.12+0.08+0.04)=12%,
所以全市月均用水量不低于3吨的人数为:30×12%=3.6(万).
(3)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为:
0.5×(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73,
即73%的居民月均用水量小于2.5吨,
同理,88%的居民月均用水量小于3吨,
故2.5则x=2.5+0.5×
=2.9(吨).
