课堂检测·素养达标
1.下列各式中不表示向量的是 ( )
A.0·a B.a+3b
C.|3a| D.e(x,y∈R,且x≠y)
【解析】选C.向量的数乘运算结果仍为向量,显然只有|3a|不是向量.
2.6×( )
A.化简结果为2a B.与向量a同向
C.与向量a反向 D.其长度为2
【解析】选C. 6×=-2a,与向量a反向,其长度为.
3.向量-与的长度之比为________.?
【解析】因为-=,所以∶=2∶3.
答案:2∶3
4.点C在线段AB上,且=,则=______?,=______?.
【解析】因为C在线段AB上,且=,
所以与方向相同,与方向相反,且=,=,所以=,=-.
答案: -
【新情境·新思维】
设V是平面向量的集合,映射f:V→V满足f(a)= 则对任意的a,b∈V,λ∈R.
求证:f(|a|·a)=f(a).
【证明】若a=0,则f(|a|·a)=f(a)=0;若a≠0,则f(|a|·a)=
且f(a)= 所以f(|a|·a)=f(a).
综上可得对任意向量a,均有f(|a|·a)=f(a).
课时素养评价 二十六
数 乘 向 量
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.点M在AB上,且=,则等于 ( )
A.-3 B.
C.- D.3
【解析】选B.如图=,所以=.
2.(多选题)向量a=2e,b=-6e ,则下列说法正确的是 ( )
A.a∥b
B.向量a,b 方向相反
C.
D.b=-3a
【解析】选A,B,D.因为b=-6e=-3 =-3a,所以a∥b,a,b 方向相反,且
3.点C在线段AB上,且=,=λ,则λ为 ( )
A. B. C.- D.-
【解析】选D.由题意知=,即=-,所以=×=-,故λ=-.
4.若5=-3,且||=||,则四边形ABCD是 ( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.等腰梯形
【解析】选D.由5= -3知,∥且||≠||,故此四边形为梯形,又因为||=||,所以梯形ABCD为等腰梯形.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知|a|=4,|b|=8,若两向量同向,则向量a与向量b的关系为b=________a.?
【解析】由于|a|=4,|b|=8,则|b|=2|a|,又两向量同向,故b=2a.
答案:2
6.已知=,若=λ,则λ等于________.?
【解析】因为=,
所以-=(+),
即=-=λ,所以λ=-.
答案:-
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知A,B,C三点共线,且C为线段AB的靠近A的四等分点,写出向量,的关系.
【解析】根据题意画出图形,
因为BC=AB,所以=-.
8.(14分)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧),且AB∶AC=2∶3.
①用表示;②用表示.
【解析】如图a,因为点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.
①如图b,向量与方向相同,
所以=2;
②如图c,向量与方向相反,
所以=-3.
(15分钟·30分)
1.(4分)下列结论成立的是 ( )
A.λa 与a的方向相同
B.λa 与a的方向相反的充要条件是λ<0
C.与a方向相同的单位向量可表示为
D.若平行四边形ABCD的对角线的交点为O,则=
【解析】选C.当λ<0且a≠0时,λa 与a的方向相反,故A,B不正确;若平行四边形ABCD的对角线的交点为O,则=,D不正确;C正确.
2.(4分)已知A,B,C三点共线,且C为线段AB的靠近B的五等分点,则下列结论正确的个数为 ( )
①=5;②∶=4∶1;
③=-.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.由题意知,=-5,=-,∶=4∶1,所以②③正确.
3.(4分)已知|a|=6,b与a的方向相反,且|b|=3,a=mb,则实数m=________.?
【解析】 ==2,所以|a|=2|b|,又a与b的方向相反,所以a=-2b,所以m=-2.
答案:-2
4.(4分)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则= ______?,=________. ?
【解析】因为-3+2=0,
所以-=2(-),所以=2,所以=2.
答案:2 2
5.(14分)点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.
【解析】如图,取AB的中点P,
连接EP,FP,在△ABC中,因为EP是△ABC的中位线,所以==a,
在△ABD中,因为FP是△ABD的中位线,所以==-b,在△EFP中,=+=-a-b=-(a+b).
1.下列计算正确的个数是 ( )
①(-5)·3a=-15a;②3(a+b)=3a+b;
③(-4+1)(a+2a)=-9a.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.因为(-5)·3a=-15a,故①正确;3(a+b)=3a+3b,故②错误;(-4+1)(a+2a)= -3×3a=-9a, 故③正确.
2.已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)a的方向与a的方向相同,且a的模是a的模的倍.
(2)-3a的方向与6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的.
(3)-4a与4a是一对相反向量.
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量.
(5)若a,b不共线,则0·a与b不共线.
【解析】(1)真命题.因为>0,所以a与a同向.
因为|a|=|a|,所以a的模是a的模的倍.
(2)真命题.因为-3<0,
所以-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|.
又因为6>0,所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|,
所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的.
(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知.
(4)假命题.因为a-b与b-a是相反向量,
所以a-b与-(b-a)是相等向量.
(5)假命题.0·a=0,所以0·a与b共线.
