课堂检测·素养达标
1.已知a=e1+2e2,b=3e1-2e2,则3a-b= ( )
A.4e2 B.4e1 C.3e1+6e2 D.8e2
【解析】选D.3a-b=3(e1+2e2)-(3e1-2e2)
=3e1+6e2-3e1+2e2=8e2.
2. 等于 ( )
A.a-b+2c B.5a-b+2c
C.a+b+2c D.5a+b
【解析】选A. =(3a-2a)+ +(c+c)=a-b+2c.
3.已知平行四边形ABCD中,=a,=b,其对角线交点为O,则等于( )
A.a+b B.a+b
C.(a+b) D.a+b
【解析】选C.+=+==2,所以=(a+b).
4.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=________,y=________.?
【解析】由已知得解得x=y=.
答案:
课时素养评价 二十七
向量的线性运算
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则= ( )
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈(0,)
C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-),λ∈(0,)
【解析】选A.设P是对角线AC上的一点(不含A,C),过点P分别作BC,AB的平行线,设=λ,则λ∈(0,1),于是=λ(+),λ∈(0,1).
2.(多选题)如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中不成立的是 ( )
A.r=-p+q B.r=-p+2q
C.r=p-q D.r=-q+2p
【解析】选B、C、D.因为=+,=-3=3,所以=,所以=+=+(-).
所以r=q+(r-p).所以r=-p+q.
3.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是
( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
【解析】选A.=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2,所以,共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.
4.(2019·临沂高一检测)点P是△ABC所在平面内一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P一定在 ( )
A.△ABC内部
B.AC边所在的直线上
C.AB边所在的直线上
D.BC边所在的直线上
【解析】选B.因为=λ+,所以-=λ,
所以=λ,所以,共线,且有公共点P,所以P,A,C三点共线,
所以点P一定在AC边所在的直线上.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.如图正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,则=________(用向量,表示).?
【解析】=+=+=-.
答案:-
6.已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,能使a,b共线的是________.?
①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0;③xa+yb=0(实数x,y满足x+y=0);④已知在梯形ABCD中,=a,=b.
【解析】①由已知条件得,10a-b=0,故满足条件;②显然满足条件;对于③,当x+y=0时,a,b不一定共线;④中,若AB∥CD,则a,b共线,若AD∥BC,则a,b不共线.
答案:①②
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知e,f为两个不共线的向量,且四边形ABCD满足=e+2f, =-4e-f,=-5e-3f.
(1)将用e,f表示.
(2)求证:四边形ABCD为梯形.
【解析】(1)根据向量的线性运算法则,有=++= (e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.
(2)因为=-8e-2f=2(-4e-f)=2,所以与同向,且的长度为长度的2倍,所以在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形.
8.(14分)如图,在△ABC中,点D为BC的中点,E,F分别为AC,BA的中点,AD,BE,CF相交于点O,
求证:(1)=(+).
(2)++=0.
(3)++=0.
【证明】(1)因为D为BC的中点,
所以=+,=+,
所以2=+++,
所以=(+).
(2)因为=(+),=(+),=(+),所以++=0.
(3)因为=-,=-,
=-,
所以++=0.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2019怀化高一检测)已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足++=,则点P与△ABC的关系为 ( )
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边所在直线上
D.P是AC边的三等分点
【解析】选D.因为=-,所以++=-,即2+=0,即=2,故=,所以点P是AC边的一个三等分点.
2.(4分)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的 ( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
【解析】选C.设BC中点为点M,则=,则有=+λ,即=λ,所以P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.
3.(4分)若=t(t∈R),O为平面上任意一点,则=________.(用,表示)?
【解析】=t,-=t(-),
=+t-t=(1-t)+t.
答案:(1-t)+t
4.(4分)过△OAB的重心G的直线与边OA,OB分别交于点P,Q,设=h·, =k,则+=________. ?
【解析】延长OG交边AB于点M,则M为AB边的中点,所以=(+) =(+)=+,又因为=,所以=+.因为P,Q,G三点共线,且,是不共线的向量,所以+=1,即+=3.
答案:3
5.(14分)如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD,求证:M,N,C三点共线.
【证明】=-,
因为=,==(+),
所以=+-
=-①,
=-=-②,
由①,②可知=3,即∥,
又因为,有公共点M,所以M,N,C三点共线.
1.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+ λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的 ( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
【解析】选B.如图,为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),
所以λ的方向与+的方向相同.=+λ,
所以点P在上移动.所以P的轨迹一定通过△ABC的内心.
2.如图,点O是梯形ABCD对角线的交点,|AD|=4,|BC|=6,|AB|=2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.
(1)用a0和b0表示,和.
(2)若点P在梯形ABCD所在平面上运动,且||=2,求||的最大值和最小值.
【解析】(1)由题意知=6a0,=2b0,
所以=-=6a0-2b0;
因为∥,所以=4a0,
则=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0;
因为AD∥BC,所以OA∶OC=AD∶BC=2∶3,
则=-=-(6a0-2b0)=-a0+b0.
(2)由题意知点P是在以点C为圆心,2为半径的圆周上运动,所以由几何意义即得||的最大值和最小值分别应该为8和4.
