课堂检测·素养达标
1.如图,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则= ( )
A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2)
C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1)
【解析】选A.==(+)
=(+)=(5e1+3e2).
2.如图,线段AB与CD互相平分,则可以表示为 ( )
A.- B.-+
C.(-) D.-(-)
【解析】选B.线段AB与CD互相平分,所以=(-).
3.设a,b是两个非零向量,若8a-kb与-ka+b共线,则实数k=________.?
【解析】由题意知8a-kb=λ(-ka+b),即
所以k=±2.
答案:±2
【新情境·新思维】
已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,试判断A,B,C,D四点构成的图形.
【解析】因为=++=-8a-2b,所以=2.
若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ,
即a+2b=-4λa-λb,所以矛盾,
所以A,B,C三点不共线,故A,B,C,D四点不共线.所以∥,||=2||
≠||,故A,B,C,D四点构成一个梯形.
课时素养评价 二十八
向量基本定理
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列叙述正确的是 ( )
A.若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb
B.b=3a(a为非零向量),则a,b共线
C.若m=3a+4b,n=a+2b,则m∥n
D.若a+b+c=0,则a+b=-c
【解析】选B,C,D.判断非零向量a与b共线的方法是:存在实数λ,使a=λb.在A选项中,若a=b=0时不成立.所以A选项错误,B选项正确;在C选项中,m=2n,所以m∥n,所以C选项正确;D选项也正确.
2.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= ( )
A.- B.-
C.+ D.+
【解析】选A.如图所示
=-=-=-·(+)=-.
3.(2019·日照高一检测)如图,向量a-b等于 ( )
A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2 D.3e1-e2
【解析】选C.如图不妨令a=,b=,则a-b=-=,由平行四边形法则可知=e1-3e2.
4.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ (λ∈R),则x,y满足的关系是 ( )
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
【解析】选A.由=λ,得-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又因为2=x+y,所以消去λ得x+y=2.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.(2019·天水高一检测)已知a,b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=________.?
【解析】因为a,b不共线,所以a,b可以作为一组基底,又因为c与b共线,所以c=λ2b,所以λ1=0.
答案:0
6.如图,在平面内有三个向量,,,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,||=5,设=m+n(m,n∈R),则m+n=________.?
【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ,
则∠COQ=∠OCP=90°,在Rt△QOC中,2OQ=QC,||=5,则||=5,||=10,
所以||=10,又||=||=1,
所以=10,=5,所以=+=10+5,所以m+n=10+5=15.
答案:15
三、解答题(共26分)
7.(12分)设a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否作为基底.
【解析】假设存在唯一实数λ,使c=λd,则2a-b=λ(3a-2b),即a+b=0.
由a,b不共线得所以
所以这样的λ是不存在的,从而c,d不共线,
所以c,d能作为基底.
8.(14分)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.
【解析】设=e1,=e2,
则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,
所以存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2,
所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又因为=+=2e1+3e2,
所以解得
所以=,即AP∶PM=4∶1.
(15分钟·30分)
1.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法错误的是 ( )
A.=+ B.=-
C.=+ D.=+
【解析】选D.由向量减法的三角形法则知,=-,排除B;由向量加法的平行四边形法则知,=+,==+,排除A,C.
2.(4分)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ
=+λ=(1-λ)+λ.
又因为=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-λ∈,即x的取值范围是.
3.(4分)已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为________. ?
【解析】若能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.
a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb即得λ≠4.
答案:(-∞,4)∪(4,+∞)
4.(4分)若G是△ABC的重心,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则++ =________.?
【解析】令=a,=b,则=-=-=-(a+b).=-=-=- =-b+a,=-=-= =-a+b,所以++=-a-b-b +a-a+b=0.
答案:0
5.(14分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:a,b可以作为一组基底.
(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.
(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
【解析】(1)若a,b共线,则存在v∈R,使a=vb,
则e1-2e2=v(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得?
所以v不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.
(2)设c=ma+nb(m,n∈R),则
3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
所以?所以c=2a+b.
(3)由4e1-3e2=λa+μb,得
4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)
=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.
所以?
故所求λ,μ的值分别为3和1.
1.在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为________. ?
【解析】因为=+,
所以3=2+,
即2-2=-,所以2=,
即P为AB的一个三等分点,如图所示.
因为A,M,Q三点共线,
所以=x+(1-x)
=+(x-1),
而=-,
所以=+.
又=-=-+,
由已知=t,
可得+=t,
又,不共线,所以解得t=.
答案:
2.设a,b是两个不共线的非零向量,记=a,=tb(t∈R),=(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线?
【解析】因为=a,=tb,=(a+b),
所以=-=tb-a,
=-=(a+b)-a=b-a.
因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使=λ,即tb-a=
由于a,b不共线,所以
解得故当t=时,A,B,C三点共线.
